Köklü İfadeler - 12. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

12. Sınıf Üslü ve Köklü ifadeler ünitesinde yer alan Köklü İfadeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Köklü İfadeler

$\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ denkleminde $\mathrm{x}$'in değeri $\mathrm{a}$'nın $\mathrm{n}$. kuvvetten kökü olarak adlandırılır ve $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ şeklinde gösterilir.

$\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ denkleminin çözümünde üç farklı durum bulunmaktadır:
1. Durum: $\mathrm{a}>0$ olduğunda,
- Eğer $\mathrm{n}$ tek ise, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ olur.
- Eğer $\mathrm{n}$ çift ise, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ veya $\mathrm{x}=-\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ olur.
2. Durum: $\mathrm{a}<0$ olduğunda,
- Eğer $\mathrm{n}$ tek ise, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ şeklinde yalnızca bir gerçek sayı kökü vardır.
- Eğer $\mathrm{n}$ çift ise, $\mathrm{x}$'in gerçek sayı kökü yoktur.
3. Durum: $\mathrm{a}=0$ olduğunda, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{0}=0$ olur.

Köklü Sayıların Özellikleri

1. $\mathrm{a} \geq 0$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{m} \in \mathbb{Z}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\sqrt[n]{\mathrm{a}^m}=\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}$ eşitliği geçerlidir.
2. $\mathrm{n}$ tek pozitif tam sayı ve $\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \in \mathbb{R}$ olur. $\mathrm{n}$ pozitif çift tam sayı ve $\mathrm{a} \geq 0$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \in \mathbb{R}$ olur. $\mathrm{n}$ pozitif çift tam sayı ve $\mathrm{a}<0$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \notin \mathbb{R}$ olur.
3. $\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{n}$ pozitif tam sayı olduğunda, $\sqrt[2n]{\mathrm{a}^{2n}}=|\mathrm{a}|$ ve $\sqrt[2n+1]{\mathrm{a}^{2n+1}}=\mathrm{a}$ olur.
4. $\mathrm{b} \in \mathbb{R}^{+}$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$, $\mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere,
   • $\mathrm{a}>0$ ise $a \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n \cdot b}$ olur.
   • $\mathrm{a}<0$ ise $a \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^n \cdot b}$ olur.

$\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$, $\mathrm{n} \geq 2$, $\mathrm{m} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{a} \geq 0$ olmak üzere, $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ olur.

$\mathrm{a}>0$, $\mathrm{c}>0$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$, $\mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n \cdot c]{a^{m \cdot c}}=\sqrt[\frac{n}{c}]{a^{\frac{m}{c}}}$

Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken, kök dereceleri ve kök içeriği aynı olan köklü ifadelerin ortak parantezindeki katsayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. $\mathrm{a}_1, \mathrm{a} 2, \ldots, \mathrm{a} \mathrm{k} \in \mathbb{R}$, $\mathrm{x} \in \mathbb{R}^{+}$ ve $\mathrm{k}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$, $\mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere $a_1 \cdot \sqrt[n]{x}+a_2 \cdot \sqrt[n]{x}+\ldots+a_k \cdot \sqrt[n]{x}=\left(a_1+a_2+\ldots+a_k\right) \cdot \sqrt[n]{x}$ eşitliği sağlanır.

Köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri yapılırken, kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler birbirleriyle çarpılabilir veya bölünebilir. $\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{a \cdot b}$ ve $b \neq 0$ olmak üzere $\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$ olur.

Kök dereceleri farklı olan köklü ifadeler çarpılırken veya bölünürken, kök dereceleri eşit hale getirildikten sonra çarpma veya bölme işlemleri yapılır.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{\sqrt[p]{a}}}=\sqrt[n \cdot m \cdot p]{a}$

$\sqrt[n]{a^x \cdot \sqrt[m]{p}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{(a^x)^m \cdot p}}=\sqrt[n \cdot m]{a^{mx} \cdot p}$

Payı rasyonel yaparken:

• Paydada $\sqrt{a}$ varsa, pay ve payda eşleniği olan $\sqrt{a}$ ile çarpılır. $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$

Paydada $\sqrt[n]{a^m}$ varsa, pay ile payda eşleniği olan $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ ifadesi ile çarpılır (burada $a \in \mathbb{R}$ ve $n>m$). $\left(\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{a^{n-m}}}\right)=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{m+n-m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}$

Paydada $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ varsa, $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ile, $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ varsa $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ile genişletme yapılır. $(x-y) \cdot (x+y)=x^2-y^2$ özdeşliğinden yararlanılır.

$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ ve $\sqrt{a-2\sqrt{b}}$ ifadeleri kök dışına çıkarılırken, çarpımları $b$'yi ve toplamları $a$'yı veren sayılar bulunur.

Köklü Denklemler

Kök içeren denklemleri çözerken, köklü ifade eşitliğin bir tarafına taşınmalıdır. Sonrasında kökünü yok etmek için eşitliğin her iki tarafı üssü alınmalıdır. Elde edilen x değerleri, başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.