Üslü ve Köklü İfadeler Konu anlatımı özeti - 12. Sınıf

12. Sınıf Üslü ve Köklü ifadeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Semboller

$\mathrm{x}^{\mathrm{n}$ ,
X üssü n şeklinde ya da x’in n. kuvveti şeklinde okunur ve gösterilir.
$\mathrm{R}$ ,
Rasyonel sayılar kümesini ifade etmektedir.
$\mathrm{Z}$
Tam sayılar kümesini ifade etmektedir.
$\mathrm{Z}^{+}$ ,
Pozitif tam sayılar, kümesini ifade etmektedir.
$\mathrm{R}^{+}$ ,
Pozitif rasyonel sayılar, kümesini ifade etmektedir.
$\leq$ ,
Küçük eşittir ifadesinin gösterimidir.
$\notin$
Elemanı değildir, ifadesinin gösterimidir.
$\ \sqrt[n]{\mathrm{x}^{\mathrm{m}}}$
n derece kökün içinde x’in m üssünü ifade etmektedir.
$\mathrm{Z}$
Tam sayılar kümesini ifade etmektedir.
$<$
Küçüktür ifadesinin gösterimidir.
$\geq$
Büyük eşittir ifadesinin gösterimidir.
$|\mathrm{x}|$
mutlak içinde X ifadesini gösterimidir.
$[\mathrm{a}, \mathrm{b}],(\mathrm{a}, \mathrm{b})$
Köşeli parantez aç a virgül b köşeli parantez kapa, parantez aç a virgül b parantez kapa şeklinde ifade edilir.
$\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}$
x üssü m bölü n ifadesinin gösterimidir.
$\mathbb{R}^{+}$
pozitif rasyonel sayılar kümesinin gösterimidir.
$>$
Büyüktür ifadesini gösterimidir.
$\in$
Elemanıdır, ifadesinin gösterimidir.
${\approx}$
Yaklaşık değer ifadesinin gösterimidir.
$[\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{a}, \mathrm{b}]$
Köşeli parantez aç a virgül b parantez kapa, parantez aç a virgül b köşeli parantez kapa şeklinde ifade edilir.

Bir gerçek sayı olan x ve pozitif tam sayı olan n için, n tane x’in çarpımı $x^$ şeklinde ifade edilir. Bu ifadede, x sayısına taban, n sayısının ise üs ya da kuvvet denir.

$\underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x=x^n}_{n \text { tane }}$

Başlıklar

Üsslü sayıların özellikleri

$\mathrm{x} \neq 0$ olmak üzere $\mathrm{x}^0=1$ olur.
x sıfırdan farklı bir gerçek sayı, $n$ tam sayı olmak üzere $x^{-n}=\left(\frac{1}{x}\right)^n$ olur.
Negatif bir gerçek sayının çift sayı kuvvetlerinin sonucunda pozitif işaretli sayı elde edilirken , tek sayı kuvvetlerinin sonucu negatif işaretli sayı elde edilir.
Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken, üslü ifadenin hem tabanı hem de üssü aynı ise üslü ifadenin ortak parantezinde katsayıları toplanabilir veya çıkarılabilir.
$\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{k}}, \mathrm{x} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{k} \in \mathbb{Z}^{+}$ olmak üzere,
$\mathrm{a}_1 \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\mathrm{a}_2 \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_2+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\right) \mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ olur.
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpma işleminde ortak taban üzerinde üsler toplanır. $\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}$ olur.
$\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}=\underbrace{\mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}}_{\mathrm{n} \text { tane }}=\underbrace{\mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}}_{\mathrm{m} \text { tane }}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}$
Tabanları aynı olan üslü ifadelerin bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve çıkan sonuç ortak tabana üs olarak yazılır.
$\mathrm{x} \neq 0$ olmak üzere $\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}}}=\mathrm{x}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}}$ olur.
$\frac{x^m}{x^n}=\overbrace{\frac{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}}^{\mathrm{m} \text { tane }}=\overbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots . \cdot}^{m \text { tane }} \cdot \underbrace{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{x}}_{n \text { tane }}=x^m \cdot\left(\frac{1}{x}\right)^n=x^m \cdot x^{-n}=x^{m-n}$
Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadelerde çarpma işlemi yapılırken ortak üs, tabanlar çarpımına üs olarak yazılır.
$\begin{aligned}& x^n \cdot y^n=(x \cdot y)^n \text { olur. } \\& x^n \cdot y^n=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \cdot y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{n \text { tane }} \underbrace{}_{n \text { tane }}=\frac{(x \cdot y) \cdot(x \cdot y) \cdot \ldots \cdot(x \cdot y)}{n \text { tane }}=(x \cdot y)^n\end{aligned}$
Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadelerde bölme işlemi yapılırken ortak üs altında tabanlar birbirine bölünür.
$\frac{x^m}{y^m}=\left(\frac{x}{y}\right)^m$

$y \neq 0$ olmak üzere $\frac{x^m}{y^m}=\underbrace{\frac{{x} \cdot x \cdot \ldots \cdot x}{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}}_{m \text { tane }}=\underbrace{\left(\frac{x}{y}\right) \cdot\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\frac{x}{y}\right)}_{m \text { tane }}=\left(\frac{x}{y}\right)^m$ olur.
Bir üslü ifadenin üssü alınırken üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. x sıfırdan farklı bir gerçek sayı, $m$ ve $n$ de birer tam sayı olmak üzere,
$\begin{aligned}& \left(x^n\right)^m=x^{n \cdot m} \\& \left(x^n\right)^m=\underbrace{x^n \cdot x^n \cdot \ldots \cdot x^n}_{m \text { tane }}=x^{m \cdot n} \text { olur. }\end{aligned}$

a negatif reel sayı, $n$ tam sayı olmak üzere, $(\text { a })^{2 n}$ pozitif, $(a)^{2 n+1}$ negatiftir.

$x>1$ için
$\mathrm{x}^{\mathrm{m}}<\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ ise $\mathrm{m}<\mathrm{n}$ olur.

$0<x<1$ için
$\mathrm{x}^{\mathrm{m}}>\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ ise $\mathrm{m}<\mathrm{n}$ olur.

Üslü Denklemler

$\mathrm{a} \in \mathbb{R}-\{-1,0,1\}$ olmak üzere,
$\mathrm{a}^{\mathrm{x}}=\mathrm{a}^{\mathrm{y}}$ ise
$\mathrm{x}=\mathrm{y}$ olur.
$\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}-\{-1,0,1\}$ olmak üzere,
$a^x=b^x$ ise $\begin{cases}a=b & , x \text { tek sayı ise } \\ a=-b \text { veya } a=b & , x \text { çift sayı ise }\end{cases}$
biçimindeki denklemlerin çözümünde 3 farklı durum var;
- 1. durumda, $a = 1$ olmalı.
- 2. durumda, $\mathrm{n}=0$ ve $\mathrm{a} \neq 0$ olmalı.
- 3. durumda, $a=-1$ ve $n$ çift tam sayı olmalı.

Köklü İfadeler

$\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ eşitliğini sağlayan $\mathrm{x}$ sayısına a nın $\mathbf{n}$ . kuvvetten kökü denir.

$\mathrm{x}=\sqrt[\mathfrak{n}]{\mathrm{a}}$ şeklinde gösterilir.
$\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ denkleminin çözümünde üç farklı durum bulunur;
1. durumda: $a>0$ olduğunda,
$\mathrm{n}$ tek ise $\mathrm{x}=\sqrt[n]{\mathrm{a}}$ olur.
$n$ çift ise $x=\sqrt[n]{a}$ veya $x=-\sqrt[n]{a}$ olur.

2. durumda: $a<0$ olduğunda,
$n$ tek ise $x=\sqrt[n]{a}$ olmak üzere sadece bir gerçek sayı kökü vardır.
$\mathrm{n}$ çift ise $\mathrm{x}$ in bir gerçek sayı kökü yoktur.

3. durumda: $a=0$ için $x=\sqrt[n]{0}=0$ olur.

Köklü Sayıların Özellikleri

$\mathrm{a} \geq 0$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{m} \in \mathbb{Z}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere $\sqrt[n]{\mathrm{a}^m}=\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}$ olur.
$\mathrm{n}$ tek pozitif tam say1, $\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \in \mathbb{R}$ olur.
n pozitif çift tam sayı ve a $\geq 0$ olmak üzere $\sqrt[n]{a} \in \mathbb{R}$ olur.
n pozitif çift tam sayı ve $a<0$ olmak üzere $\sqrt[n]{a} \notin \mathbb{R}$ olur.
$\mathrm{a} \in \mathbb{R}, \mathrm{n}$ pozitif tam sayı olmak üzere,
$\sqrt[2 n]{\mathrm{a}^{2 n}}=|\mathrm{a}|$
$\sqrt[2 n+1]{a^{2 n+1}}=a$ olur.
$\mathrm{b} \in \mathbb{R}^{+}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere,
$a>0$ iken $a \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n \cdot b}$
$a<0$ iken $a \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^n \cdot b}$ olur.
$\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$ , $\mathrm{n} \geq 2$ , $\mathrm{m} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{a} \geq 0$ olmak üzere
$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m} \text { olur. }$
$\mathrm{a}>0, \mathrm{c}>0$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere,
$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n \cdot c]{a^{m \cdot c}}=\sqrt[\frac{n}{c}]{a^{\frac{m}{c}}}$
Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken, kök dereceleri ve kök içeriği aynı olan köklü ifadelerin ortak parantezindeki katsayılar toplanabilir veya çıkarılabilir.
$\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{k}} \in \mathbb{R}, \mathrm{x} \in \mathbb{R}^{+}$ ve $\mathrm{k}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+} \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere $a_1 \cdot \sqrt[n]{x}+a_2 \cdot \sqrt[n]{x}+\ldots+a_k \cdot \sqrt[n]{x}=\left(a_1+a_2+\ldots+a_k\right) \cdot \sqrt[n]{x} \quad$ eşitliği sağlanır.
Köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri yapılırken, kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler birbirleriyle çarpılabilir veya bölünebilir.
$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{a \cdot b}$
$b \neq 0$ olmak üzere $\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$ olur.
Kök dereceleri aynı olmayan köklü ifadeler çarpılırken veya bölürken kök dereceleri eşit hale getirildikten sonra çarpma veya bölme işlemleri yapılır.
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{\sqrt[p]{a}}}=\sqrt[n \cdot m \cdot p]{a}$
$\sqrt[n]{a^x \cdot \sqrt[m]{p}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{\left(a^x\right)^m \cdot p}}=\sqrt[n \cdot m]{a^{m x} \cdot p}$
Paydayı rasyonel yaparken;
Paydada $\sqrt{\mathrm{a}}$ varsa paydayı rasyonel yapmak için pay ve payda, eşleniği olan $\sqrt{\mathrm{a}}$ ile çarpılır.
$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
Paydada $\sqrt[n]{a^m}$ varsa pay ile payda, eşleniği olan $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ ifadesi ile çarpilır $(a \in \mathbb{R}$ ve $n>m$ olmak üzere).
$\begin{aligned}\left(\frac{1}{\left(\sqrt[n]{a^m}\right.}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{a^{n-m}}}\right) & =\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{m+n-m}}} \\& =\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}\end{aligned}$
Paydada $\sqrt{\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{b}}$ varsa $\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}}$ ile, $\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}}$ varsa $\sqrt{\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{b}}$ ile genişletme yapılır. $(x-y) \cdot(x+y)=x^2-y^2$ özdeşliğinden yararlanılır.
$\sqrt{a+2 \sqrt{b}}$ ve $\sqrt{a-2 \sqrt{b}}$ ifadeleri kök dışına çıkarılırken çarpımları b yi, toplamları a’yı veren sayılar bulunur.

$\sqrt{a+2 \sqrt{b}}$ ve $\sqrt{a-2 \sqrt{b}}$ ifadeleri kök dışına çıkarılması

Köklü Denklemler

Kök içeren denklemleri çözerken, köklü ifade eşitliğin bir tarafına taşınmalıdır. Sonrasında kökünü yok etmek için eşitliğin her iki tarafı üssü alınmalıdır. Elde edilen x değerleri, başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.

Üslü ve Köklü İfadeler Terim ve kavramlar

Üslü ifade
Taban
Üst
Köklü fade
Rasyonel kuvvet

Üslü ve Köklü İfadeler Konu anlatımı özeti – 12. Sınıf

Üsslü sayıların özellikleri

Üslü Denklemler

Köklü İfadeler

Köklü Sayıların Özellikleri

Köklü Denklemler

Bir Yorum YazınYanıtı İptal Et