Karmaşık Sayılarda İşlemler

Tüm sayı kümelerinde olduğu gibi karmaşık sayılar kümesinde de dört işlem yapmaya ihtiyaç duyarız. Karmaşık sayılar kümesinde işlem yaparken; karmaşık sayılar ve sanal sayı birimi konularında öğrendiğimiz temel kavramlardan faydalanacağız. Hazırsanız, karmaşık sayılarda işlemleri öğrenmeye toplama ve çıkarma işlemleriyle başlayabiliriz.

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin temel mantığı aynıdır. Bu temel mantığı şu şekilde özetleyebiliriz: Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken sanal ve gerçek kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkartılır. Yani sanal kısım sanal kısımla, gerçek kısım ise gerçek kısımla işlem görür. Kısacası elmalar elmalarla, armutlar armutlarla işlem görmelidir. Gelin ne demek istediğimizi basit örneklerle açıklayalım:

Örneğin $z_{1}=5+7i$ ve $z_{2}=2+3i$ sanal sayılarıyla işlem yapalım.

Bu durumda $z_{1}+ z_{2} = (5+2)+(7+3)i$ yani

$7+10i$ olacaktır.

Aynı karmaşık sayıların farkını ise $z_{1} - z_{2}=(5-2)+(7-3)i$ yani

$3-4i$ olarak hesaplayabiliriz.

Gördüğünüz gibi iki veya daha çok karmaşık sayı arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparken reel kısımları ayrı, imajiner kısımları ayrı değerlendiriyoruz.

Karmaşık Sayılarda Çarpma

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi yapmak oldukça basit ve keyiflidir. Karmaşık sayılara çarpma işlemini uygularken; reel kısımları hem reel hem sanal kısımlarla, sanal kısımları da hem reel hem de sanal kısımlarla ayrı ayrı çarpıp daha sonra reel kısımları reel kısımlarla, sanal kısımları ise sanal kısımlarla toplarız.

Örneğin; $z_{1}= -2+2i$ ve $z_{2}= 2+ 4i$ ile çarpma yapalım.

$z_{1}\times z_{2}$ işlemini aşağıdaki gibi çözebiliriz:

$= (-2 \times 2)+( -2 \times 4i) + ( 2i \times 2) + (2i \times 4i)$

$= (-4)+(-8i)+(4i)+(8i^2)$

$= -12-8i$ olarak buluruz.

Burada $i^{2}=-1$ kuralından faydalanarak $8i^{2}$ ifadesini $-8$ olarak hesapladığımıza dikkat etmelisiniz.

Karmaşık Sayılarda Bölme

Karmaşık sayılarda bölme işlemin de, kuralı bildiğiniz sürece problemleri rahatlıkla çözebilirsiniz. Karmaşık sayılarda bölme işlemi yapmak, aslında paydada (yani bölüm kısmında) yer alan karmaşık sayının tersini hem pay hem de payda ile çarpmak demektir.

Örneğin; $\frac{2+i }{1+i }$ işleminin sonucunu bulmak için