Karmaşık Sayılarda İşlemler

Tüm sayı kümelerinde olduğu gibi karmaşık sayılar kümesinde de dört işlem yapmaya ihtiyaç duyarız. Karmaşık sayılar kümesinde işlem yaparken; karmaşık sayılar ve sanal sayı birimi konularında öğrendiğimiz temel kavramlardan faydalanacağız. Hazırsanız, karmaşık sayılarda işlemleri öğrenmeye toplama ve çıkarma işlemleriyle başlayabiliriz.

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin temel mantığı aynıdır. Bu temel mantığı şu şekilde özetleyebiliriz: Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken sanal ve gerçek kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkartılır. Yani sanal kısım sanal kısımla, gerçek kısım ise gerçek kısımla işlem görür. Kısacası elmalar elmalarla, armutlar armutlarla işlem görmelidir. Gelin ne demek istediğimizi basit örneklerle açıklayalım:

Örneğin $z_{1}=5+7i$ ve $z_{2}=2+3i$ sanal sayılarıyla işlem yapalım.

Bu durumda $z_{1}+ z_{2} = (5+2)+(7+3)i$ yani

$7+10i$ olacaktır.

Aynı karmaşık sayıların farkını ise $z_{1} - z_{2}=(5-2)+(7-3)i$ yani

$3-4i$ olarak hesaplayabiliriz.

Gördüğünüz gibi iki veya daha çok karmaşık sayı arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparken reel kısımları ayrı, imajiner kısımları ayrı değerlendiriyoruz. 

Karmaşık Sayılarda Çarpma Nedir?

Karmaşık sayıların çarpma işlemi, gerçek ve sanal kısımları ayrı ayrı ele alarak yapılır. Karmaşık sayılarda çarpma şu şekilde yapılır:

1. İlk olarak, karmaşık sayının gerçek kısmıyla, hem gerçek hem de sanal kısmı ayrı ayrı çarpılır.
2. Ardından, karmaşık sayının sanal kısmıyla yine hem gerçek hem de sanal kısmı ayrı ayrı çarpılır.
3. Bu iki çarpım sonucuyla, gerçek kısımları bir araya getirilip toplanır. Bu, yeni karmaşık sayının gerçek kısmını oluşturur.
4. Aynı şekilde, sanal kısımları da bir araya getirilip toplanır ve bu da yeni karmaşık sayının sanal kısmını verir.

Bu işlem, karmaşık sayıların çarpılmasında kullanılır ve karmaşık sayıların özelliklerini daha iyi anlamamıza yardımcı olur.

Örneğin; $z_{1}= -2+2i$ ve $z_{2}= 2+ 4i$ ile çarpma yapalım.

$z_{1}\times z_{2}$ işlemini aşağıdaki gibi çözebiliriz:

$= (-2 \times 2)+( -2 \times 4i) + ( 2i \times 2) + (2i \times 4i)$

$= (-4)+(-8i)+(4i)+(8i^2)$

$= -12-8i$ olarak buluruz.

Burada $i^{2}=-1$ kuralından faydalanarak $8i^{2}$ ifadesini $-8$ olarak hesapladığımıza dikkat etmelisiniz.

Karmaşık Sayılarda Bölme

Karmaşık sayılarda bölme işlemin de, kuralı bildiğiniz sürece problemleri rahatlıkla çözebilirsiniz. Karmaşık sayılarda bölme işlemi yapmak, aslında paydada (yani bölüm kısmında) yer alan karmaşık sayının tersini hem pay hem de payda ile çarpmak demektir.

Örneğin; $\frac{2+i }{1+i }$ işleminin sonucunu bulmak için

Öncelikle paydada yer alan karmaşık sayının tersini buluruz.

$1+i$ sayısının tersi $1-i$ olacaktır.

Şimdi ilk paragrafta kalın yazıyla belirtttiğimiz genişletme metodunu uygulayarak

$\frac{(2+i) \times (1-i)}{ (1+i) \times (1-i) }$ ifadesini elde ederiz.

Ardından karmaşık sayılarda çarpma işleminde öğrendiklerimizi kullanarak sonucu

$\frac{(1-i)}{ (2)}$  şeklinde hesaplayabiliriz.