Karmaşık Sayılarda İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde sıkça karşımıza çıkan ve hemen her soruda çözüm kümesine (yani denklemin köklerine) ulaşmamızı sağlayan Matematik Formülü formülünü hatırladınız mı? b kare eksi dört a c dediğinizi duyar gibiyiz. Peki delta formülünü daha önce görmüş olmamıza rağmen neden karmaşık sayılarla hiç karşılaşmadık? Gelin bu konuyu birlikte inceleyelim.

Matematik Formülü şeklinde ifade edilen bir denklemin köklerini bulmak yani denklemdeki x’in alabileceği değerlere ulaşmak için öncelikle Matematik Formülü formülünü kullanmamız gerekir. Formülü uygulayarak elde ettiğimiz Matematik Formülü değeri sıfırdan küçükse denklemin gerçek kökünün olmadığını yani denklemin bildiğimiz sayılarla çözülemeyeceğini söyleriz. İşte tam da bu noktada karmaşık sayılar kümesi  imdadımıza yetişir. Eğer ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin deltası sıfırdan küçükse, çözüm kümesi Matematik Formülü şeklinde ifade edilen karmaşık sayılardan oluşacaktır. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin karmaşık sayılar arasındaki köklerini bulmak için aşağıdaki iki formülü kullanırız:

Matematik Formülü 

Matematik Formülü

Bu iki formülü dikkatlice incelediğimizde birbirlerine çok benzediklerini hatta iki formül arasındaki tek farkın pay kısmındaki toplama ve çıkarma işlemleri olduğunu görebiliriz. Yani ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin karmaşık sayı kökleri birbirlerinin eşleniğidir. Problemleri çözerken ilk kökümüzü Matematik Formülü şeklinde bulduysak, ikinci kök için hesaplama yapmadan Matematik Formülü yazabiliriz.

Şimdi, buraya kadar öğrendiklerimizi basit bir örnekle pekiştirelim.

Örneğin; Matematik Formülü denkleminin çözüm kümesini birlikte bulalım.

Bu denklemde

Matematik Formülü

Matematik Formülü

Matematik Formülü

Deltayı bulup köklerin var olup olmadığını kontrol etmeliyiz, eğer kökler yok dediğimiz durum, yani delta küçük sıfır Matematik Formülü çıkarsa karmaşık sayılarla budurumun üstesinden gelebiliriz.

Matematik Formülü

Matematik Formülü

Matematik Formülü

Matematik Formülü

Matematik Formülü oldu. Burda delta sıfırdan küçük olduğundan denklemin karmaşık kökü vardır.

O halde denklemin ilk kökü;

Matematik Formülü formülünü kullanarak

Matematik Formülü

Matematik Formülü şeklinde bulunur. İkinci kök, birinci kökün eşleniği olacağından formül ve işlemlerle uğraşmadan doğrudan Matematik Formülü yazabiliriz. Yani denklemimizin çözüm kümesini matematiksel olarak

Matematik Formülü şeklinde ifade edebiliriz.

Bir Yorum Yapın.

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.