Karmaşık Sayılarda İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde sıkça karşımıza çıkan ve hemen her soruda çözüm kümesine (yani denklemin köklerine) ulaşmamızı sağlayan $\triangle (delta)$ formülünü hatırladınız mı? b kare eksi dört a c dediğinizi duyar gibiyiz. Peki delta formülünü daha önce görmüş olmamıza rağmen neden karmaşık sayılarla hiç karşılaşmadık? Gelin bu konuyu birlikte inceleyelim.

$ax^{2}+bx+c=0$ şeklinde ifade edilen bir denklemin köklerini bulmak yani denklemdeki x’in alabileceği değerlere ulaşmak için öncelikle $\triangle = b^{2} - 4ac$ formülünü kullanmamız gerekir. Formülü uygulayarak elde ettiğimiz $\triangle$ değeri sıfırdan küçükse denklemin gerçek kökünün olmadığını yani denklemin bildiğimiz sayılarla çözülemeyeceğini söyleriz. İşte tam da bu noktada karmaşık sayılar kümesi  imdadımıza yetişir. Eğer ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin deltası sıfırdan küçükse, çözüm kümesi $m+ni$ şeklinde ifade edilen karmaşık sayılardan oluşacaktır. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin karmaşık sayılar arasındaki köklerini bulmak için aşağıdaki iki formülü kullanırız:

$x_{1} =\frac{-b+ \sqrt { \triangle }} {2a}$ 

$x_{2} = \frac{-b- \sqrt { \triangle }}{2a}$

Bu iki formülü dikkatlice incelediğimizde birbirlerine çok benzediklerini hatta iki formül arasındaki tek farkın pay kısmındaki toplama ve çıkarma işlemleri olduğunu görebiliriz. Yani ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin karmaşık sayı kökleri birbirlerinin eşleniğidir. Problemleri çözerken ilk kökümüzü $x_{1} = m+ni$ şeklinde bulduysak, ikinci kök için hesaplama yapmadan $x_{2} = m-ni$ yazabiliriz.

Şimdi, buraya kadar öğrendiklerimizi basit bir örnekle pekiştirelim.

Örneğin; $x^{2} -2x +2$ denkleminin çözüm kümesini birlikte bulalım.

Bu denklemde

$a: \; x^2 in \; katsayısı \; yani \; 1e \; eşittir.$

$b: \; -2x \; in \; kat \; sayısı \; yani \; -2ye \; eşittir.$

$c: \; sabit \; sayı \; olan \; +2ye \; eşittir.$

Deltayı bulup köklerin var olup olmadığını kontrol etmeliyiz, eğer kökler yok dediğimiz durum, yani delta küçük sıfır $( \triangle< 0 )$ çıkarsa karmaşık sayılarla budurumun üstesinden gelebiliriz.

$\triangle = b^{2} -4ac$

$= (-2)^{2} – 4 \cdot 1 \cdot 2$

$= 4-8$

$latex= -4$

$\triangle = -4$ oldu. Burda delta sıfırdan küçük olduğundan denklemin karmaşık kökü vardır.

O halde denklemin ilk kökü;

$x_{1} = \frac{-b+ \sqrt { \triangle }}{2a }$ formülünü kullanarak

$x_{1} = \frac{-(-2)+ \sqrt {- 4}}{2\cdot 1 }$

$latex= \frac{2+2i }{2 } = 1+i$ şeklinde bulunur. İkinci kök, birinci kökün eşleniği olacağından formül ve işlemlerle uğraşmadan doğrudan $x_{2} = 1-i$ yazabiliriz. Yani denklemimizin çözüm kümesini matematiksel olarak

$Ç=((1+i), (1-i))$ şeklinde ifade edebiliriz.

Karmaşık Sayılarda Kök Bulma

Karmaşık sayılarda kök bulma, ikinci dereceden denklemlerin çözümünde önemli bir konudur. Size Karmaşık sayılarda kök bulma konusu ile ilgii önemli kısımları özetledim.

İkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Kökler

İki bilinmeyenli bir $ax^2 + bx + c = 0$ denklemini düşünelim, burada $a, b$ ve $c$ gerçel sayıdır ve $a \neq 0$ kabul edelim.
Denklemin diskriminantı ($\Delta$), $b^2 - 4ac$ şeklinde ifade edilir. Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin içinde karmaşık sayıları barındıran kökleri vardır.
Denklemin kökleri şu şekilde ifade edilir:

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Bu kökler, birbirinin eşleniğidir. Yani, $m, n \in \mathbb{R}$ olmak üzere, bir kök $m + ni$ ise diğeri $m - ni$ şeklinde ifade edilir.

Diskriminantın Değerine Göre Köklerin Türleri

Karmaşık sayılarda kök bulma matematik alanında geçen ikinci dereceden denklemlerin çözümünde belirleyici bir rol oynayan diskriminantın değerine göre köklerin çeşitliliğine bir göz atalım.

$\Delta \neq 0$ - İki Farklı Reel Kök

Eğer $\Delta \neq 0$ ise, denklemin iki farklı gerçel (reel) kökü bulunmaktadır.

$\Delta > 0$ - İki Farklı Reel Kök

Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı reel kökü vardır ve grafiği $x$ ekseni üzerinde iki farklı noktada keser.

$\Delta = 0$ - Çift Katlı Reel Kök

Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin çift katlı bir reel kökü vardır ve grafiği $x$ ekseni üzerinde teğet keser.

$\Delta < 0$ - İki Karmaşık Sayı Kök

Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin iki karmaşık sayı kökü vardır ve grafiği $x$ ekseni üzerinde iki farklı noktada keser.