Karmaşık Sayılarda İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde sıkça karşımıza çıkan ve hemen her soruda çözüm kümesine (yani denklemin köklerine) ulaşmamızı sağlayan $\triangle (delta)$ formülünü hatırladınız mı? b kare eksi dört a c dediğinizi duyar gibiyiz. Peki delta formülünü daha önce görmüş olmamıza rağmen neden karmaşık sayılarla hiç karşılaşmadık? Gelin bu konuyu birlikte inceleyelim.

$ax^{2}+bx+c=0$ şeklinde ifade edilen bir denklemin köklerini bulmak yani denklemdeki x’in alabileceği değerlere ulaşmak için öncelikle $\triangle = b^{2} - 4ac$ formülünü kullanmamız gerekir. Formülü uygulayarak elde ettiğimiz $\triangle$ değeri sıfırdan küçükse denklemin gerçek kökünün olmadığını yani denklemin bildiğimiz sayılarla çözülemeyeceğini söyleriz. İşte tam da bu noktada karmaşık sayılar kümesi imdadımıza yetişir. Eğer ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin deltası sıfırdan küçükse, çözüm kümesi $m+ni$ şeklinde ifade edilen karmaşık sayılardan oluşacaktır. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin karmaşık sayılar arasındaki köklerini bulmak için aşağıdaki iki formülü kullanırız:

$x_{1} =\frac{-b+ \sqrt { \triangle }} {2a}$

$x_{2} = \frac{-b- \sqrt { \triangle }}{2a}$

Bu iki formülü dikkatlice incelediğimizde birbirlerine çok benzediklerini hatta iki formül arasındaki tek farkın pay kısmındaki toplama ve çıkarma işlemleri olduğunu görebiliriz. Yani ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin karmaşık sayı kökleri birbirlerinin eşleniğidir. Problemleri çözerken ilk kökümüzü $x_{1} = m+ni$ şeklinde bulduysak, ikinci kök için hesaplama yapmadan $x_{2} = m-ni$ yazabiliriz.

Şimdi, buraya kadar öğrendiklerimizi basit bir örnekle pekiştirelim.

Örneğin; $x^{2} -2x +2$ denkleminin çözüm kümesini birlikte bulalım.

Bu denklemde

$a: \; x^2 ' in \; katsayısı \; yani \; 1'e \; eşittir.$

$b: \; -2x \; in \; kat \; sayısı \; yani \; -2'ye \; eşittir.$

$c: \; sabit \; sayı \; olan \; +2 'ye \; eşittir.$

Deltayı bulup köklerin var olup olmadığını kontrol etmeliyiz, eğer kökler yok dediğimiz durum, yani delta küçük sıfır $( \triangle< 0 )$ çıkarsa karmaşık sayılarla budurumun üstesinden gelebiliriz.

$\triangle = b^{2} -4ac$

$= (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2$

$= 4-8$

$= -4$

$\triangle = -4$ oldu. Burda delta sıfırdan küçük olduğundan denklemin karmaşık kökü vardır.

O halde denklemin ilk kökü;

$x_{1} = \frac{-b+ \sqrt { \triangle }}{2a }$ formülünü kullanarak

$x_{1} = \frac{-(-2)+ \sqrt {- 4}}{2\cdot 1 }$

$= \frac{2+2i }{2 } = 1+i$ şeklinde bulunur. İkinci kök, birinci kökün eşleniği olacağından formül ve işlemlerle uğraşmadan doğrudan $x_{2} = 1-i$ yazabiliriz. Yani denklemimizin çözüm kümesini matematiksel olarak

$Ç=((1+i), (1-i))$ şeklinde ifade edebiliriz.

Leave a Comment Cevabı iptal et