Üslü İfadeler – 12. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

12. Sınıf Üslü ve Köklü ifadeler ünitesinde yer alan Köklü İfadeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Üslü Sayılar

Bir gerçek sayı olan x ve pozitif tam sayı olan n için, n tane x’in çarpımı x^ şeklinde ifade edilir. Bu ifadede, x sayısına taban, n sayısının ise üs ya da kuvvet denir.

\underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x=x^n}_{n \text { tane }}

Üslü Sayıların Özellikleri

  1. x sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere, x^0=1 olur.
  2. x sıfırdan farklı bir gerçek sayı, n ise tam sayı olduğunda, x^{-n}=\left(\frac{1}{x}\right)^n olur.
  3. Negatif bir gerçek sayının çift sayı kuvvetlerinin sonucunda pozitif işaretli sayı elde edilirken, tek sayı kuvvetlerinin sonucu negatif işaretli sayı elde edilir.
  4. Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yaparken, eğer üslü ifadenin hem tabanı hem de üssü aynı ise, üslü ifadenin ortak parantezindeki katsayılar toplanabilir veya çıkarılabilir.
    \mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{k}}, \mathrm{x} \in \mathbb{R} ve \mathrm{k} \in \mathbb{Z}^{+}olmak üzere,
    \mathrm{a}_1 \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\mathrm{a}_2 \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_2+\ldots+\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\right) \mathrm{x}^{\mathrm{n}} olur.
  5. Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpma işlemi yapılırken, ortak taban üzerindeki üsler toplanır. Bu durumda, \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}} olur.
    \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}=\underbrace{\mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}}_{\mathrm{n} \text { tane }}=\underbrace{\mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \mathrm{x} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}}_{\mathrm{m} \text { tane }}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}
  6. Tabanları aynı olan üslü ifadelerin bölme işlemi yapılırken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve sonuç ortak tabana üs olarak yazılır. Yani,
    \mathrm{x} \neq 0 olmak üzere \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{m}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}}}=\mathrm{x}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}} olur.
    \frac{x^m}{x^n}=\overbrace{\frac{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}}^{\mathrm{m} \text { tane }}=\overbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots . \cdot}^{m \text { tane }} \cdot \underbrace{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{x}}_{n \text { tane }}=x^m \cdot\left(\frac{1}{x}\right)^n=x^m \cdot x^{-n}=x^{m-n}
  7. Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü ifadelerin çarpma işlemi yapılırken, ortak üs altında tabanlar çarpılır. Bu durumda,

        \[\begin{aligned}& x^n \cdot y^n=(x \cdot y)^n \text { olur. } \\& x^n \cdot y^n=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \cdot y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{n \text { tane }} \underbrace{}_{n \text { tane }}=\frac{(x \cdot y) \cdot(x \cdot y) \cdot \ldots \cdot(x \cdot y)}{n \text { tane }}=(x \cdot y)^n\end{aligned}\]

  8. Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü ifadelerin bölme işlemi yapılırken, ortak üs altında tabanlar bölünür. Yani,

        \[\frac{x^m}{y^m}=\left(\frac{x}{y}\right)^m\]


    y \neq 0 olmak üzere \frac{x^m}{y^m}=\underbrace{\frac{{x} \cdot x \cdot \ldots \cdot x}{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}}_{m \text { tane }}=\underbrace{\left(\frac{x}{y}\right) \cdot\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\frac{x}{y}\right)}_{m \text { tane }}=\left(\frac{x}{y}\right)^m olur.
  9. Bir üslü ifadenin üssü alınırken üslerin çarpımı tabana üs olarak yazılır. x sıfırdan farklı bir gerçek sayı, m ve n de birer tam sayı olmak üzere,

        \[\begin{aligned}& \left(x^n\right)^m=x^{n \cdot m} \\& \left(x^n\right)^m=\underbrace{x^n \cdot x^n \cdot \ldots \cdot x^n}_{m \text { tane }}=x^{m \cdot n} \text { olur. }\end{aligned}\]

Bir negatif reel sayı olan a ve tam sayı olan n için, (\text { a })^{2 n} pozitif, (a)^{2 n+1} negatif olur.

Ayrıca, x>1 için
\mathrm{x}^{\mathrm{m}}<\mathrm{x}^{\mathrm{n}} ise \mathrm{m}<\mathrm{n} olur.

Benzer şekilde 0<x<1 için
\mathrm{x}^{\mathrm{m}}>\mathrm{x}^{\mathrm{n}} ise \mathrm{m}<\mathrm{n} olur.

Üslü Denklemler

\mathrm{a} \in \mathbb{R}-\{-1,0,1\} olmak üzere,
\mathrm{a}^{\mathrm{x}}=\mathrm{a}^{\mathrm{y}} ise
\mathrm{x}=\mathrm{y} olur.
Bu özellik, a sayısının gerçel sayılar kümesinde -1, 0 veya 1 olmadığı durumda geçerlidir. Eğer a^x = a^y eşitliği sağlanıyorsa, x ve y’nin eşit olması gerekir. Yani, aynı tabana sahip üslü ifadelerin eşitlik sağlaması durumunda, üsler de eşit olur.

\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}-{-1,0,1} olarak kabul edelim. Eğer a^x=b^x eşitliği sağlanıyorsa, aşağıdaki durumlar geçerlidir:
Eğer x bir tek sayı ise (x çift olmayan bir tam sayı), bu durumda a=b olur. Yani, aynı üssü olan farklı tabanlar birbirine eşit olur.
Eğer x bir çift sayı ise (x çift bir tam sayı), bu durumda iki durum söz konusu olabilir:

a=-b olabilir. Yani, aynı üssü olan tabanlar arasında ters işaret ilişkisi vardır.
Alternatif olarak, a=b olabilir. Yani, aynı üssü olan tabanlar birbirine eşittir.

a^n=1 şeklindeki denklemlerin çözümü üç farklı durumu içerir:
Durum 1: a = 1 olmalıdır. Bu durumda, herhangi bir n değeri için denklemi sağlar. Yani, herhangi bir üs değeriyle birlikte a=1 olduğunda denklem geçerlidir.
Durum 2: n=0 ve a \neq 0 olmalıdır. Bu durumda, herhangi bir reel sayı olan a için denklemi sağlar. Üsün sıfır olması, herhangi bir sayının sıfırıncı kuvvetinin her zaman 1 olduğu anlamına gelir.
Durum 3: a=-1 ve n çift tam sayı olmalıdır. Bu durumda, sadece çift tam sayı üslere sahip olan a=-1 değeri, denklemi sağlar. Negatif bir sayının çift sayı kuvveti her zaman pozitif bir değer olarak sonuçlanır.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.