Polinomların Çarpanlara Ayrılması 10.Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. Sınıf Polinomlar ünitesinde yer alan Polinomların Çarpanlara Ayrılması konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Bir Polinomu Çarpanlarına Ayırma

Bir polinomun iki ya da daha fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılması işlemine çarpanlara ayırma denir.
Bu durumda, P(x), Q(x) ve R(x) olmak üzere R(x) = P(x) . Q(x) eşitliğinde, P(x) ve Q(x) polinomları R(x) polinomunun çarpanları olarak tanımlanır.

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Çarpanlara ayırmanın birkaç farklı yöntemi vardır. Burada bu yöntemlerden bahsedeceğiz.

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir polinomun her bir terimindeki ortak çarpanın paranteze alındığı işlem, "ortak çarpan parantezine alma" yöntemiyle çarpanlara ayırma olarak adlandırılır.
A(x), B(x) ve C(x) polinomları için, A(x) . B(x) + A(x) . C(x) ifadesi, A(x) [B(x) + C(x)] şeklinde yazılabilir.

Gruplandırma Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma

Eğer verilen polinomda her terimde ortak bir sayı, ortak bir değişken veya ortak bir terim bulunmuyorsa, ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek gruplandırılır. Her grup, parantez içindeki ifadeleri aynı olacak şekilde çarpanlarına ayrılır. Ardından gruplar, ortak çarpan parantezine alınır.

Özdeşlikler Yardımıyla Çarpanlarına Ayırma

+  $(x + y)^2$ ve $(x – y)^2$ biçimindeki ifadelere tam kare ifadeler denir.

$(x + y)^2$ (x artı y karesi) ifadesinin açılımı,
$(x + y) ( x + y) = x^2 + 2xy +y^2$ 
(x kare artı 2xy artı y kare)

Ayrıca, $(x - y)^2$ ifadesinin açılımı,
$(x – y) (x – y) = x^2 - 2xy +y^2$ (x kare eksi 2xy artı y kare)

+ İki Kare Farkı Özdeşliği

$x^2$ - $y^2$
(x kare eksi y kare) ifadesinin açılımı,
$x^{2}-y^{2}= (x-y) . (x+y)$

"x eksi y çarpı x artı y"

+ İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü Özdeşliği

$(x + y)^3$ (x artı y üssü 3) ifadesinin açılımı,
$(x + y)^3 =x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
x küp artı 3x kare y artı 3xy kare artı y küp

Aynı şekilde, $(x - y)^3$ (x eksi y üssü 3) ifadesinin açılımı,
$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$
x küp eksi 3x kare y artı 3xy kare eksi y küp

+ İki Terimin Küplerinin Toplamı ve Farkının Özdeşliği

$x^3$ + $y^3$ (x küp artı y küp) ifadesine iki terimin küpleri toplamı denir. Bu ifade, şu şekilde açıklanabilir:
$x^3 + y^3= (x +y) . (x^2 - xy + y^2)$
x artı y çarpı x kare eksi xy artı y kare

$x^3$ - $y^3$ (x küp eksi y küp) ifadesine iki terimin küpleri farkı denir. Bu ifade, şu şekilde açıklanabilir:
$x^3 - y^3= (x - y) . (x^2 + xy + y^2)$
x eksi y çarpı x kare artı xy artı y kare

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c$ şeklindeki üç terimliler çarpanlarına ayrıldığında $a$ ve $c$ değerlerinin çarpanlarına bağlı olduğunu gözlemleyebiliriz. Öyle ki, $a=k \cdot t$ ve $c=m \cdot n$ olacak şekilde $k, t, m, n \in \mathbb{R}$ sayılarını bulabiliriz. Ayrıca, $\mathrm{kn} + \mathrm{tm} = \mathrm{b}$ ilişkisi de geçerlidir. Eğer bu koşullar sağlanıyorsa, $ax^2 + bx + c$ ifadesi, çarpanlarına ayrılabilir ve $(kx + m)(tx + n)$ şeklinde yazılabilir.

+ Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma

Değişken değiştirme yöntemi ile çarpanlara ayırma yöntemi, bir polinomdaki benzer terimlerin daha basit bir hâle getirilmesi için yeni bir değişkenle adlandırıldıktan sonra çarpanlara ayrılması işlemidir.