POLİNOMLARLAR Özet Konu Anlatımı - 10. Sınıf

10. Sınıf Polinomlar konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

$P(x)$ ,
Polinomlar P parantez içinde x şeklinde okunur ve gösterilir.

Başlıklar

Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler

Polinom kavramı, derecesi, katsayıları ve sabit terimi ile ilgili bilgileri özetledim.

Bir Değişkenli Polinom Kavramı

$x$ bir değişken, $n \in \mathbb{N}$ ve $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ birer gerçek sayı olmak üzere,

$P(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+\ldots+a_2 \cdot x^2+a_1 \cdot x^1+a_0$

biçimindeki ifadeye gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom adı verilir. x değişkenine bağlı polinomlar $P(x), Q(x), R(x), \dotso$ gibi ifadelerle gösterilir.

Polinomun Derecesi, Katsayıları ve Sabit Terimi

$\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{a}_n \cdot x^n+\mathrm{a}_{n-1} \cdot x^{n-1}+\ldots+a_2 \cdot x^2+a_1 \cdot x^1+a_0$ polinomunda,

– $a_n \cdot x^n, a_{n-1} \cdot x^{n-1}, a_2 \cdot x^2, a_1 \cdot x^1, a_0$ ifadelerine polinomun terimleri denir.
– $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
– x değişkeninin aldığı en büyük üsse polinomun derecesi denir ve der $[P(x)]$ şeklinde gösterilir.
– Bir polinomun en büyük dereceli teriminin katsayısına polinomun baş katsayısı denir.
– $a_0$ ifadesine polinomun sabit terimi denir.

Polinomun katsayıları toplamı, polinomun değişkeninin yerine 1 yazılarak bulunur.

– $P(x)$ polinomunun katsayıları toplamı $P(1)$ dir.
– $P(x+3)$ polinomunun katsayıları toplamı $P(1+3) = P(4)$ olur.
– $Q(x^2 + 5x- 1)$ polinomunun katsayıları toplamı $Q( 1^2 + 5. 1 - 1) = Q(5)$ olur.
– $(x^2 +3) . R (x-1)$ polinomunun katsayıları toplamı $(1^2 + 3) . R(1 - 1)$ olur.

Bir $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ polinomunda;
Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı $\frac{P(1)+P(-1)}{2}$ ,
Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı $\frac{P(1)-P(-1)}{2}$ olur.

Polinomun sabit terimi, polinomun değişkeninin yerine 0 yazılarak bulunur.
– $P(x)$ polinomunun sabit terimi $P(0)$ dır.
– $P(x+3)$ polinomunun sabit terimi $P( 0+3) =P(3)$ olur.
– $Q(2x^3 + 5x - 1)$ polinomunun sabit terimi $Q( 2. (0^3) + 5 (0) - 1) = Q(-1)$ olur.
– $(3x - 6) . R (x + 7)$ polinomunun sabit terimi $(3. (0) - 6) . R (0+7) = (- 6) . R (7)$ olur.

Sabit Polinom

$\mathrm{a}_0$ sıfırdan farklı gerçek sayı olmak üzere $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{a}_0$ ise, $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

$P(x)=-7, Q(x)=-\sqrt{3}, R(x)=2 a^2+a$ ve $T(x)=y^2-3 y$ polinomları birer sabit polinomdur.

Sıfır Polinomu

$P(x) = 0$ polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Eşit polinomlar, dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin katsayıları karşılıklı olarak eşit olan polinomlara denir.

$P(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+\ldots+a_2 \cdot x^2+a_1 \cdot x^1+a_0$

$Q(x)=b_n \cdot x^n+b_{n-1} \cdot x^{n-1}+\ldots+b_2 \cdot x^2+b_1 \cdot x^1+b_0$ polinomları birbirine eşit ise $a_n=b_n, a_{n-1}=b_{n-1}, \ldots, a_2=b_2, a_1=b_1, a_0=b_0$ olmalıdır.

Polinomlarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri

Polinomlarla yapılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine ait özellikleri ve önemli kısımları özetledim.

Polinomlarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Polinomlarla toplama ya da çıkarma işlemleri yapılırken, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Örneğin $a, b \in \mathbf{R}$ olmak üzere,
$\mathrm{P}(\mathrm{x})$ polinomunun bir terimi $\mathrm{a} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}, \mathrm{Q}(\mathrm{x})$ polinomunun bir terimi $\mathrm{b} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}$ ise,
$a \cdot x^m+b \cdot x^m=(a+b) \cdot x^m$ terimi $P(x)+Q(x)$ polinomunun bir terimidir.
$a \cdot x^m-b \cdot x^m=(a-b) \cdot x^m$ terimi $P(x)-Q(x)$ polinomunun bir terimidir.

Polinomlarla Çarpma İşlemi

$P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinom olmak üzere $P(x) . Q(x)$ işlemi yapılırken $P(x)$ polinomunun her terimi $Q(x)$ polinomunun her terimiyle çarpılır. Elde edilen ifadelerin toplamı, x değişkeninin azalan ya da artan kuvvetlerine göre sıralanarak yazılır. Örneğin $P(x)$ polinomuna ait herhangi bir terim $a . x^m$ ve $Q(x)$ polinomuna ait herhangi bir terim $b . x^n$ ise $a . x^m . b x^n = a . b . x^m+ n$ terimi $P(x) . Q(x)$ polinomunun bir terimidir.

$P(x) \ne 0$ ve $Q(x) \ne 0$ olmak üzere,
$der [P(x)] = m$ ve $der [Q(x)] = n$ , $der [P(x) . Q(x)] = m+ n$ olur.

Polinomlarla Bölme İşlemi

$P(x)$ ve $Q(x) \neq 0$ polinomları için, $\operatorname{der}[P(x)] \geq \operatorname{der}[Q(x)] \geq 1$ olmak üzere $P(x)$ polinomunun $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ polinomu ile bölümü:

Polinom bölünme

$P(x)$ : Bölünen polinom,
$Q(x)$ : Bölen polinom,
$B(x)$ : Bölüm polinomu,
$K(x)$ : Kalan polinomudur.

– $\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{Q}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{B}(\mathrm{x})+\mathrm{K}(\mathrm{x})$ olur. Bu eşitliğe bölme eşitliği denir.
– $\mathrm{K}(\mathrm{x})=0$ ise $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ polinomu $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ polinomuna tam bölünüyor denir.
– $\operatorname{der}[K(x)]<\operatorname{der}[Q(x)]$ olur.
– $\operatorname{der}[B(x)]=\operatorname{der}[P(x)]-\operatorname{der}[Q(x)]$ olur.

Polinomlarda bölme işlemi;
– Bölünen ve bölen polinomlarının değişkeni azalan kuvvetlerine göre yazılır.
– Bölünen polinomun en büyük dereceli terimi, bölen polinomun en büyük dereceli terimine bölünür ve elde edilen sonuç bölüm polinomunun ilk terimi olarak yazılır.
– Bölüm polinomuna ait bulunan ilk terim, bölen polinomla çarpılır ve elde edilen ifade bölünen polinomdan çıkarılır.
– Bu işlemler, çıkarma işlemi sonucunda elde edilen her polinoma kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar uygulanır.

• Bir $P(x)$ polinomunun $x - a$ ile bölümünden kalan $P(a)$ dır.
• $P(a) = 0 -> (x - a)$ , $P(x)$ polinomunun bir çarpanıdır.
• $x = a$ için $P(a) = 0$ ise $x = a$ sayısına, $P(x)$ polinomunun sıfırı (bir kökü) denir.

Polinomların Çarpanlara Ayrılması

Polinomu çarpanlara ayırmada kullanılan yöntemleri ile ilgili özellikleri ve önemli kısımları özetledim.

Bir Polinomu Çarpanlarına Ayırma

Bir polinomun iki ya da daha fazla polinomun çarpımı şeklinde yazılmasına çarpanlara ayırma denir.

$P(x), Q(x) ve R(x)$ birer polinom olmak üzere $R(x) = P(x) . Q(x)$ şeklinde ifade edilen eşitlikte $P(x) ve Q(x)$ polinomlarına $R(x)$ polinomunun çarpanları denir.

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir polinomun her teriminde bulunan ortak çarpanın paranteze alınması işlemine ortak çarpan parantezine alma yoluyla çarpanlara ayırma yöntemi denir.

$A (x), B (x)$ ve $C (x)$ birer polinom olmak üzere,

$A(x) . B(x) + A(x) . C(x) = A(x) [B(x) + C(x)]$ olur.

Gruplandırma Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma

Verilen polinomun her teriminde ortak bir sayı, ortak bir değişken veya ortak bir terim bulunmuyor ise ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek gruplandırılır. Her grup parantez içindeki ifadeleri aynı olacak biçimde çarpanlarına ayrılır. Sonra gruplar, ortak çarpan parantezine alınır.

Özdeşlikler Yardımıyla Çarpanlarına Ayırma

$(x + y)^2$ ve $(x - y)^2$ biçimindeki ifadelere tam kare ifadeler denir.

$(x + y)^2$ = (x + y) ( x + y) = $x^2$ + xy + yx + $y^2$ = $x^2$ + 2xy + $y^2$
Parantez içinde BİRİNCİ artı İKİNCİ çarpı parantez içinde BİRİNCİ artı İKİNCİ eşittir, BİRİNCİNİN karesi ARTI Birinci ve ikincinin iki katı ARTI İKİNCİNİN karesi

$(x - y)^2$ = (x – y) (x – y) = $x^2$ – xy – yx + $y^2$ = $x^2$ – 2xy + $y^2$ olur.
Parantez içinde BİRİNCİ eksi İKİNCİ çarpı parantez içinde BİRİNCİ eksi İKİNCİ eşittir, BİRİNCİNİN karesi EKSİ Birinci ve ikincinin iki katı ARTI İKİNCİNİN karesi

+ İki Kare Farkı Özdeşliği

$x^2$ – $y^2$ ifadesine iki kare farkı durumundaki ifade denir.

$x^2$ – $y^2$ = (x – y) . (x +y) olur.
BİRİNCİNİN karesi EKSİ İKİNCİNİN karesi eşittir, Parentez içinde BİRİNİCİ eksi İKİNCİ çarpı BİRİNİCİ artı İKİNCİ

+ İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü Özdeşliği

$(x + y)^3$ = (x + y) . (x + y) . (x + y) = $x^3$ + $3x^2y$ + $3xy^2$ + $y^3$ olur.
BİRİNCİNİN küpü ARTI BİRİNCİNİN karesi ve İKİNCİNİN üç katı ARTI BİRİNCİ ve İKİNCİNİN karesinin üç katı artı İKİNCİNİN küpü

Buradan = $x^3$ + $y^3$ = $(x + y)^3$ – $3x^2y$ + $3xy^2$ = $(x + y)^3$ – 3 xy(x +y) elde edilir.

$(x - y)^3$ = (x – y) . (x – y) . (x – y) = $x^3$ – $3x^2y$ + $3xy^2$ – $y^3$ olur.
BİRİNCİNİN küpü EKSİ BİRİNCİNİN karesi ve İKİNCİNİN üç katı ARTI BİRİNCİ ve İKİNCİNİN karesinin üç katı eksi İKİNCİNİN küpü

Buradan = $x^3$ – $y^3$ = $(x - y)^3$ + $3x^2y$ – $3xy^2$ = $(x - y)^3$ + 3 xy(x -y) elde edilir.

+ İki Terimin Küplerinin Toplamı ve Farkının Özdeşliği

$x^3$ + $y^3$ ifadesine iki terimin küpleri toplamı denir. $x^3$ + $y^3$ = (x +y) . ( $x^2$ – xy + $y^2$ ) olur.
Parantez içinde BİRİNCİ artı İKİNCİ çarpı parantez içinde BİRİNCİNİN karesi eksi BİRİNCİ ve ikinicinin çarpımı artı İKİNCİNİN karesi

$x^3$ – $y^3$ ifadesine iki terimin küpleri farkı denir. $x^3$ – $y^3$ = (x – y) . ( $x^2$ + xy + $y^2$ ) olur.
Parantez içinde BİRİNCİ eksi İKİNCİ çarpı parantez içinde BİRİNCİNİN karesi artı BİRİNCİ ve ikinicinin çarpımı artı İKİNCİNİN karesi

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c$ şeklindeki üç terimliler çarpanlarına ayrılırken a ve c nin çarpanlarına bakılır, $a=k \cdot t$ ve $c=m \cdot n$ olmak üzere

Çarpanlara ayırma

ve $\mathrm{kn}+\mathrm{tm}=\mathrm{b}$ olacak şekilde $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{k}, \mathrm{t} \in \mathrm{R}$ sayıları bulunabiliyorsa

$ax^2$ + bx + c = (kx + m) . (tx + n) biçiminde çarpanlarına ayrılır.

+ Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma

Bir polinomda benzer terimlerin yeni bir değişkenle adlandırılıp daha sade bir hâle getirildikten sonra çarpanlara ayrılması işlemine değişken değiştirme yöntemi ile çarpanlara ayırma yöntemi denir.

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

$\mathrm{P}(\mathrm{x})$ ve $\mathrm{Q}(\mathrm{x})$ birer polinom ve $\mathrm{Q}(\mathrm{x}) \neq 0$ olmak üzere $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{Q}(\mathrm{x})}$ şeklindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.

Rasyonel ifadelerde çıkarma, toplama bölme ve çarpma işlemleri, rasyonel sayılarda olduğu gibi yapılır. Rasyonel ifadelerde öncelikle pay ve paydada yer alan ifadeler çarpanlarına ayrılır, eğer ortak çarpanlar varsa bu çarpanlar sadeleştirilir.

Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri

$\mathrm{Q}(\mathrm{x}) \neq 0, T(\mathrm{x}) \neq 0$ iken $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{Q}(\mathrm{x})}$ ve $\frac{\mathrm{R}(\mathrm{x})}{\mathrm{T}(\mathrm{x})}$ birer rasyonel ifade olmak üzere,
a) Toplama işlemi $\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{P(x) \cdot T(x)+R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot T(x)}$ biçiminde yapılır.
b) Çıkarma işlemi $\frac{P(x)}{Q(x)}-\frac{R(x)}{T(x)}=\frac{P(x) \cdot T(x)-R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot T(x)}$ biçiminde yapılır.

Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri

$\mathrm{Q}(\mathrm{x}) \neq 0, R(x) \neq 0, T(x) \neq 0$ iken, $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{Q}(\mathrm{x})}$ ve $\frac{\mathrm{R}(\mathrm{x})}{\mathrm{T}(\mathrm{x})}$ birer rasyonel ifade olmak üzere,
a) Çarpma işlemi $\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{T(x)}=\frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot T(x)}$ biçiminde yapılır.
b) Bölme işlemi $\frac{P(x)}{Q(x)}: \frac{R(x)}{T(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{T(x)}{R(x)}=\frac{P(x) \cdot T(x)}{Q(x) \cdot R(x)}$ biçiminde yapılır.

Polinom terimler ve kavramlar

Polinom, Polinomun derecesi
Polinomun katsayısı
Polinomun baş katsayısı
Polinomun sabit terimi
Sabit polinomun, Sıfır polinomun
Polinomun sıfırları
Çarpan
Özdeşlik
Değişken değiştirme
Rasyonel ifade

POLİNOMLARLAR Özet Konu Anlatımı – 10. Sınıf