Köklü İfadeler

12. Sınıf Üslü ve Köklü ifadeler ünitesinde yer alan Köklü İfadeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

$\mathrm{a}, \mathrm{x} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ denkleminde $\mathrm{x}$ ‘in değeri $\mathrm{a}$ ‘nın $\mathrm{n}$ . kuvvetten kökü olarak adlandırılır ve $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ şeklinde gösterilir.

$\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ denkleminin çözümünde üç farklı durum bulunmaktadır:
1. Durum: $\mathrm{a}>0$ olduğunda,
– Eğer $\mathrm{n}$ tek ise, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ olur.
– Eğer $\mathrm{n}$ çift ise, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ veya $\mathrm{x}=-\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ olur.
2. Durum: $\mathrm{a}<0$ olduğunda,
– Eğer $\mathrm{n}$ tek ise, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}$ şeklinde yalnızca bir gerçek sayı kökü vardır.
– Eğer $\mathrm{n}$ çift ise, $\mathrm{x}$ ‘in gerçek sayı kökü yoktur.
3. Durum: $\mathrm{a}=0$ olduğunda, $\mathrm{x}=\sqrt[\mathrm{n}]{0}=0$ olur.

Köklü Sayıların Özellikleri

$\mathrm{a} \geq 0$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}, \mathrm{m} \in \mathbb{Z}, \mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\sqrt[n]{\mathrm{a}^m}=\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}$ eşitliği geçerlidir.
$\mathrm{n}$ tek pozitif tam sayı ve $\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \in \mathbb{R}$ olur. $\mathrm{n}$ pozitif çift tam sayı ve $\mathrm{a} \geq 0$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \in \mathbb{R}$ olur. $\mathrm{n}$ pozitif çift tam sayı ve $\mathrm{a}<0$ ise $\sqrt[n]{\mathrm{a}} \notin \mathbb{R}$ olur.
$\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{n}$ pozitif tam sayı olduğunda, $\sqrt[2n]{\mathrm{a}^{2n}}=|\mathrm{a}|$ ve $\sqrt[2n+1]{\mathrm{a}^{2n+1}}=\mathrm{a}$ olur.
ve , olmak üzere,
- $\mathrm{a}>0$ ise $a \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n \cdot b}$ olur.
- $\mathrm{a}<0$ ise $a \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^n \cdot b}$ olur.
$\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$ , $\mathrm{n} \geq 2$ , $\mathrm{m} \in \mathbb{R}$ ve $\mathrm{a} \geq 0$ olmak üzere, $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ olur.
$\mathrm{a}>0$ , $\mathrm{c}>0$ ve $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$ , $\mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere, $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n \cdot c]{a^{m \cdot c}}=\sqrt[\frac{n}{c}]{a^{\frac{m}{c}}}$
Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken, kök dereceleri ve kök içeriği aynı olan köklü ifadelerin ortak parantezindeki katsayılar toplanabilir veya çıkarılabilir. $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}<em>2, \ldots, \mathrm{a}</em>\mathrm{k} \in \mathbb{R}$ , $\mathrm{x} \in \mathbb{R}^{+}$ ve $\mathrm{k}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}^{+}$ , $\mathrm{n} \geq 2$ olmak üzere $a_1 \cdot \sqrt[n]{x}+a_2 \cdot \sqrt[n]{x}+\ldots+a_k \cdot \sqrt[n]{x}=\left(a_1+a_2+\ldots+a_k\right) \cdot \sqrt[n]{x}$ eşitliği sağlanır.
Köklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri yapılırken, kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler birbirleriyle çarpılabilir veya bölünebilir. $\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{a \cdot b}$ ve $b \neq 0$ olmak üzere $\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$ olur.
Kök dereceleri farklı olan köklü ifadeler çarpılırken veya bölünürken, kök dereceleri eşit hale getirildikten sonra çarpma veya bölme işlemleri yapılır.
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{\sqrt[p]{a}}}=\sqrt[n \cdot m \cdot p]{a}$
$\sqrt[n]{a^x \cdot \sqrt[m]{p}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{(a^x)^m \cdot p}}=\sqrt[n \cdot m]{a^{mx} \cdot p}$
Payı rasyonel yaparken:
- Paydada $\sqrt{a}$ varsa, pay ve payda eşleniği olan $\sqrt{a}$ ile çarpılır. $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
Paydada $\sqrt[n]{a^m}$ varsa, pay ile payda eşleniği olan $\sqrt[n]{a^{n-m}}$ ifadesi ile çarpılır (burada $a \in \mathbb{R}$ ve $n>m$ ). $\left(\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{a^{n-m}}}\right)=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{m+n-m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}$
Paydada $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ varsa, $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ile, $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ varsa $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ile genişletme yapılır. $(x-y) \cdot (x+y)=x^2-y^2$ özdeşliğinden yararlanılır.
$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ ve $\sqrt{a-2\sqrt{b}}$ ifadeleri kök dışına çıkarılırken, çarpımları $b$ ‘yi ve toplamları $a$ ‘yı veren sayılar bulunur.

Köklü Denklemler

Kök içeren denklemleri çözerken, köklü ifade eşitliğin bir tarafına taşınmalıdır. Sonrasında kökünü yok etmek için eşitliğin her iki tarafı üssü alınmalıdır. Elde edilen x değerleri, başlangıçtaki denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.

Köklü İfadeler – 12. Sınıf Konu Anlatımı Özeti