İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler 10. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. Sınıf İkinci Dereceden Denklemler ünitesinde yer alan İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kavramı

$a \ne 0$ , $a,b,c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax^2$ + $bx$ + $c$ = 0 şeklindeki denklemler, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri ifade eder. Bu denklemlerin a,b,c gerçek sayılar ise katsayıları olarak adlandırılır. Denklemi sağlayan $x$ sayılarına denklemin kökleri denir ve köklerin oluşturduğu küme, denklemin çözüm kümesi olarak bilinir.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=x^2+b x+\frac{b^2}{4}$ olduğundan $x^2+b x+c$ ifadesinde $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$ ni elde etmek için bu ifadeye $\frac{b^2}{4}$ terimi eklenip çıkarılır.

$a \ne 0$ , $a,b,c,p,q \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax^2$ + $bx$ + $c$ = 0 denkleminde $ax^2$ + $bx$ + $c$ üç terimlisi çarpanlarına ayrılıyorsa çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.

Verilen ifadede,$px . qx = ax^2$ , m . n = c ve p . n . x + q. m . x =bx ise, $ax^2 + bx + c = (px + m) . (qx + n) = 0$ olur. Bu iki çarpanın çarpımları 0 olduğuna göre,

$$\begin{array}{rlrl} p x+m =0 \text { veya } q x+n =0 \\ p \cdot x =-m q \cdot x =-n \\ x =-\frac{m}{p} x =-\frac{n}{q} \text { olur. } \end{array}$$

Köklerine $x_1$ ve $x_2$ denilen değerler, $a x^2+b x+c=0$ şeklindeki denklemin çözümleridir. Bir köke $x_1=-\frac{m}{p}$ ve diğerine $x_2=-\frac{n}{q}$ denilebilir. Denklemin çözüm kümesi ÇK $=\left\{-\frac{m}{p},-\frac{n}{q}\right\}$ şeklinde gösterilir

$a \ne 0$ , $a,b,c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax^2 + bx + c = 0$ denklemi ele alalım.  $c = 0$ olduğunda denklem $ax^2$ + $bx$ = 0 şeklinde yazılabilir ve ortak çarpan yöntemi kullanılarak çözüm kümesi bulunabilir.

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminde $b=0$ ise bu denklem $a x^2+c=0$ olur. Buradan $a x^2=-c$ ve $x^2=-\frac{c}{a}$ elde edilir.
- Eğer $-\frac{c}{a}>0$ ise $a x^2+b x+c=0$ denkleminin kökleri $x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}}$ veya $x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$ olacaktır.
- $-\frac{c}{a}<0$ ise $a x^2+b x+c=0$ denkleminin gerçek kökleri yoktur. Dolayısıyla ÇK $=\varnothing$ olur.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Köklerini Veren Formül ve Diskriminant Kavramı

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere, $a x^2+b x+c=0$ denkleminin köklerini bulmak için diskriminant kullanılır. Diskriminant, $b^2-4 a c$ şeklinde ifade edilir ve $\Delta$ (delta) (delta) olarak gösterilir. $a x^2+b x+c=0$ denkleminde;
- Eğer $\Delta=b^2-4 a c>0$ ise bu denklemin iki farklı gerçek kökü vardır ve bu kökler, $\mathrm{x}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ ve $\mathrm{x}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ olur.
- $\Delta=b^2-4 a c=0$ ise bu denklemin kökleri birbirine eşittir (çakışık iki kök). Bu kökler, $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}$ olarak ifade edilir.
- $\Delta=\mathrm{b}^2-4 \mathrm{ac}<0$ ise bu denklemin gerçek kökleri yoktur. Denklemin $\mathbb{R}$ deki çözüm kümesi boş kümedir. ÇK $=\varnothing$ olur.