İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Özet Konu Anlatımı - 10. Sınıf

10. Sınıf İkinci dereceden denklemler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

$\Delta$,
denklemin diskriminantı denir, delta şeklinde okunur.
$\mathbb{C}$,
Karmaşık sayılar kümesi gösterimi
$i$,
Sanal sayı birimi denir ve bu şekilde okunur.
$z = a+ib$,
karmaşık sayı örneğidir ve z eşittir 'a' artı 'ib' şeklinde okunur.
$İm(z)$,
İmajiner (sanal) kısım denir ve imajiner parantez içinde z şeklinde okunur.
$Re(z)$
Gerçek kısım denir ve gerçek kısım parantez içinde z şeklinde okunur.
$\bar{z} = a - bi$,
karmaşık sayının eşleği denir ve z üstü çizgi eşittir a eksi bi şeklinde okunur.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kavramı

$a \ne 0$ , $a,b,c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax^2 + bx + c = 0$ biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem; a, b, c gerçek sayılarına ise bu denklemin katsayıları denir.

Denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye ise denklemin çözüm kümesi denir.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=x^2+b x+\frac{b^2}{4}$ olduğundan $x^2+b x+c$ ifadesinde $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$ ni elde etmek için bu ifadeye $\frac{b^2}{4}$ terimi eklenip çıkarılır.

$a \ne 0$ , $a,b,c,p,q \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax^2$ + $bx$ + $c$ = 0 denkleminde $ax^2$ + $bx$ + $c$ üç terimlisi çarpanlarına ayrılıyorsa çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.

İfadesinde $px$ . $qx$ = $ax^2$ , $m . n = c$ ve $p . n . x + q. m . x = bx$ ise,

$ax^2$ + $bx$ + $c$ = $(px + m) . (qx + n)$ = 0 olur. Bu iki çarpanın çarpımları 0 olduğuna göre,

$\begin{array}{rlrl} p x+m =0 \text { veya } q x+n =0 \\ p \cdot x =-m q \cdot x =-n \\ x = \frac{m}{p} x =-\frac{n}{q} \text { olur. } \end{array}$

Bulunan $x$ değerlerine $a x^2+b x+c=0$ denkleminin kökleri denir. Bu kökler $x_1$ ve $x_2$ ile gösterilebilir (Bulunan köklerden herhangi birine $x_1=-\frac{m}{p}$, diğerine ise $x_2=-\frac{n}{q}$ denilebilir.). Denklemin çözüm kümesi $ÇK =\left\{-\frac{m}{p},-\frac{n}{q}\right\}$ şeklinde gösterilir.

$a \ne 0$ , $a,b,c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminde $c = 0$ için denklem $ax^2 + bx = 0$ biçiminde yazılır ve ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılarak çözüm kümesi bulunabilir.

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminde $b=0$ ise bu denklem $a x^2+c=0$ olur. Buradan $a x^2=-c$ ve $x^2=-\frac{c}{a}$ bulunur.
$-\frac{c}{a}>0$ ise $a x^2+b x+c=0$ denkleminin kökleri $x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}}$ veya $x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$ olur.
$-\frac{c}{a}<0$ ise $a x^2+b x+c=0$ denkleminin gerçek kökleri yoktur. Dolayısıyla ÇK $=\varnothing$ olur.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Köklerini Veren Formül ve Diskriminant Kavramı

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere,

$a x^2+b x+c=0$ denkleminin köklerini veren bağıntıda $b^2-4 a c$ ifadesine denklemin diskriminantı denir ve $\Delta$ (delta) ile gösterilir. $a x^2+b x+c=0$ denkleminde

$\Delta=b^2-4 a c>0$ ise bu denklemin iki farklı gerçek kökü vardır ve bu kökler, $\mathrm{x}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ ve $\mathrm{x}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ olur.

• $\Delta=b^2-4 a c=0$ ise bu denklemin kökleri birbirine eşittir (çakışık iki kök). Bu kökler, $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2=-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}$ olarak ifade edilir.

• $\Delta=\mathrm{b}^2-4 \mathrm{ac}<0$ ise bu denklemin gerçek kökleri yoktur. Denklemin $\mathbb{R}$ deki çözüm kümesi boş kümedir. ÇK $=\varnothing$ olur.

Bir Karmaşık Sayının a + ib ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) Biçiminde İfade Edilmesi

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminde $\Delta=b^2-4 a c<0$ ise bu denklemin $\mathbb{R}$ 'de (gerçek sayılarda) çözüm kümesi yoktur. Örneğin $x^2+9=0$ denkleminin çözüm kümesi, $x^2+9=0 \Rightarrow x^2=-9 \Rightarrow x_1=-\sqrt{-9}$ veya $x_2=\sqrt{-9}$ olur. $\sqrt{-9} \notin \mathbb{R}$ olduğundan bu denklemin $\mathbb{R}$ de çözüm kümesi boş kümedir.
Bu denklemde $a=1, b=0$ ve $c=9$ olduğundan $\Delta=b^2-4 a c=0^2-4 \cdot 1 \cdot 9=-36<0$ olur. Bu durumda verilen denklemde $\Delta<0$ ise bu denklemin gerçek sayılar kümesini de kapsayan yeni bir sayı kümesine ihtiyaç vardır. Bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar kümesi denir ve karmaşık sayıların kümesi $\mathbb{C}$ ile gösterilir. $\sqrt{-9}$ sayısı karmaşık sayılar kümesinin bir elemanıdır.
$\sqrt{-9}=\sqrt{9 \cdot(-1)}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}=3 \cdot \sqrt{-1}$ olur.
$i$ sanal sayı birimi $(\sqrt{-1}=\mathrm{i})$ olmak üzere $\sqrt{-9}=3 \cdot \sqrt{-1}=3$ i bulunur.
Buradan verilen denklemin çözüm kümesi, $x_1=-\sqrt{-9} \Rightarrow x_1=-3 i$ veya $x_2=\sqrt{-9} \Rightarrow x_2=3 i$ ve ÇK $=\{-3 \mathrm{i}, 3 \mathrm{i}\}$ olur.

$a, b \in \mathbb{R}$ ve $i$ sanal sayı birimi ($i^2$ = -1) olmak üzere $z = a + bi$ şeklindeki sayılara karmaşık sayılar, bu sayıların oluşturduğu kümeye ise karmaşık sayılar kümesi denir ve $\mathbb{C}$ sembolü ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$ = { z I z = a + bi ve $a, b \in \mathbb{R}$ , i = $\sqrt{-1}$ şeklindedir.

a sayısına z karmaşık sayısının gerçek kısmı denir ve Re(z) = a ile gösterilir.
b sayısına z karmaşık sayısının imajiner (sanal) kısmı denir ve İm(z) = b ile gösterilir.
Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır, $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ olur.

$\sqrt{-1}=i$ sayısına sanal sayı birimi denir. i sanal sayı biriminin kuvvetleri,

$$\begin{aligned} &i^0=1 \\ &i^1=\sqrt{-1} \\ &i^2=-1 \\ &i^3=i^2 \cdot i=(-1) \cdot i=-i \\ &i^4=i^2 \cdot i^2=(-1) \cdot(-1)=1 \\ &i^5=i^4 \cdot i=(1) \cdot i=i \\ &i^6=i^5 \cdot i=(i) \cdot i=i^2=-1 \\ &i^7=i^6 \cdot i=(-1) \cdot i=-i \\ &i^8=i^7 \cdot i=(-i) \cdot i=-i^2=(-1) \cdot(-1)=1 \end{aligned}$$

$$i^0=i^4=i^8=1$$
$$i^1=i^5=i$$
$$i^2=i^6=-1$$
$$i^3=i^7=-i$$ şeklinde olur.

 $a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere $z = a + bi$ karmaşık sayısının sanal kısmının işareti değiştirilerek oluşturulan $a – bi$ karmaşık sayısının eşleneği denir ve $\bar{z} = a -bi$ ile gösterilir.

$a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleminde $\Delta<0$ ise denklemin sanal kökleri vardır.

Kökler $\mathrm{x}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ ve $\mathrm{x}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ olur ve bu kökler birbirinin eşleniğidir. Bir başka ifadeyle $m, n \in \mathbb{R}$ olmak üzere sanal köklerden biri $m+n$ ise diğeri $m - ni$ olur.

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişki

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ve $x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$ olur.

Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Elde Etme

$a \ne 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{Q}$ olmak üzere $ax^2$ + $bx$ + $c$ = 0  denkleminin $m, n \in \mathbb{R}$ için bir kökü $m$ + $\sqrt{n}$ ise diğer kökü $m$ - $\sqrt{n}$ dir.  

İkinci Dereceden DenklemlerTerimler ve Kavramlar

• İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
• Denklemin kökü
• Kökler toplamı, Kökler çarpımı
• Diskriminant
• Karmaşık sayı
• Eşlenik