Bir Karmaşık Sayının a + ib Biçiminde İfade Edilmesi 10. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. İkinci Dereceden Denklemler ünitesinde yer alan Bir Karmaşık Sayının a + ib ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) Biçiminde İfade Edilmesi konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Bir Karmaşık Sayının a + ib ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) Biçiminde İfade Edilmesi

$a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olduğunda $a x^2+b x+c=0$ denkleminde $\Delta=b^2-4 a c<0$ ise bu denklemin gerçek sayılar kümesinde ($\min \mathbb{R}$) çözümü yoktur. Örneğin $x^2+9=0$ denkleminin çözüm kümesi, $x^2+9=0 \Rightarrow x^2=-9 \Rightarrow x_1=-\sqrt{-9}$ veya $x_2=\sqrt{-9}$ şeklinde ifade edilir. Ancak $\sqrt{-9} \notin \mathbb{R}$ olduğundan, bu denklemin gerçek sayılar kümesinde ($\min \mathbb{R}$)  çözümü yoktur ve çözüm kümesi boştur.

Bu denklemde $a=1, b=0$ ve $c=9$ olduğu için $\Delta=b^2-4 a c=0^2-4 \cdot 1 \cdot 9=-36<0$ olur. Bu durumda $\Delta<0$ olduğunda gerçek sayılar kümesini kapsayan yeni bir sayı kümesine ihtiyaç duyulur. Bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar kümesi denir ve karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$ ile gösterilir. $\sqrt{-9}$ sayısı karmaşık sayılar kümesinin bir elemanıdır.
$\sqrt{-9}=\sqrt{9 \cdot(-1)}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}=3 \cdot \sqrt{-1}$ olarak bulunur.
i sanal sayı birimi $(\sqrt{-1}=\mathrm{i})$ olmak üzere $\sqrt{-9}=3 \cdot \sqrt{-1}=3$ i bulunur. Buradan verilen denklemin çözüm kümesi, $x_1=-\sqrt{-9} \Rightarrow x_1=-3 i$ veya $x_2=\sqrt{-9} \Rightarrow x_2=3 i$ ve ÇK $=\{-3 \mathrm{i}, 3 \mathrm{i}\}$ olur.

Karmaşık sayılar, $a, b \in \mathbb{R}$ ve i (sanal sayı birimi, $i^2 = -1$) ile ifade edilen z = a + bi formundaki sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme, karmaşık sayılar kümesi olarak adlandırılır ve $\mathbb{C}$ sembolü ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$ = { z I z = a + bi ve $a, b \in \mathbb{R}$ , i = $\sqrt{-1}$ şeklinde tanımlanır.

$\sqrt{-1}=i$ sayısına sanal sayı birimi denir. i sanal sayı biriminin kuvvetleri,

$$\begin{aligned} &i^0=1 \\ &i^1=\sqrt{-1} \\ &i^2=-1 \\ &i^3=i^2 \cdot i=(-1) \cdot i=-i \\ &i^4=i^2 \cdot i^2=(-1) \cdot(-1)=1 \\ &i^5=i^4 \cdot i=(1) \cdot i=i \\ &i^6=i^5 \cdot i=(i) \cdot i=i^2=-1 \\ &i^7=i^6 \cdot i=(-1) \cdot i=-i \\ &i^8=i^7 \cdot i=(-i) \cdot i=-i^2=(-1) \cdot(-1)=1 \end{aligned}$$

$$i^0=i^4=i^8=1$$
$$i^1=i^5=i$$
$$i^2=i^6=-1$$
$$i^3=i^7=-i \text { olur. }$$

şeklinde olur.

Karmaşık sayıların eşleniği, $a, b \in \mathbb{R}$ olan  $z = a + bi$ karmaşık sayısının sanal kısmının işaretinin değiştirilerek elde edilen a – bi  karmaşık sayıdır. Bu eşlenik karmaşık sayı  $\bar{z}$ = a -bi ile gösterilir.

$a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ olmak üzere $a x^2+b x+c=0$ şeklindeki ikinci dereceden bir bilinmeyen denkleminin $\Delta<0$ ise, denklemin sanal kökleri vardır. Kökler $\mathrm{x}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ ve $\mathrm{x}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta}}{2 \mathrm{a}}$ olarak bulunur ve bu kökler birbirinin eşleniğidir. Başka bir deyişle, $m, n \in \mathbb{R}$ olduğunda, sanal köklerden biri $m+n$ ise diğeri $m-$ ni olur.