A Küpü Eksi B Küpü ve A Küpü Artı B Küpü: Formüller ve Çözümlü Örnekler
12 Ekim 2026
Küp açılımı formülleri, özdeşlikler ve çarpanlara ayırma konularının temel taşlarından biridir. İki yönlü çalışırlar: soldan sağa açılım yapmak, sağdan sola çarpanlara ayırmak için kullanılırlar.
Küp Farkı ve Küp Toplamı Formülleri
| Formül | Adı |
|---|---|
| a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | Küp farkı |
| a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | Küp toplamı |
İki formüldeki ortak desen: çarpanların ilkinde işaret formülün işaretiyle aynı, ikinci çarpandaki ortadaki terim ters işaretli. Çarpımı kontrol etmek, ezber kaybına karşı en hızlı doğrulamadır: (a−b) ile (a²+ab+b²) çarpıldığında ara terimler sadeleşir ve a³−b³ kalır.
Çözümlü Örnekler
- Sayısal: x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9). Çünkü 27 = 3³.
- Bileşik: 8a³ + 125b³ = (2a)³ + (5b)³ = (2a + 5b)(4a² − 10ab + 25b²).
- Kısayol hesap: 101³ − 100³ yerine (101 − 100)(101² + 101×100 + 100²) = 1 × (10.201 + 10.100 + 10.000) = 30.301.
Üç Terimlinin Karesi: (a+b+c)²
Kare açılımının üç terimli hâli sık sorulur: x + y + z ifadesinin karesi x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz desenine açılır. Sayısal kontrol: (1+2+3)² = 36 ve 1+4+9+4+6+12 = 36. Desen, kare terimlerin toplamına tüm çiftli çarpımların iki katı eklenerek kurulur; daha uzun toplamlarda da aynı mantık sürer.
Sık Yapılan Hatalar
- (a + b)³'ü a³ + b³ sanmak — doğru açılım a³ + 3a²b + 3ab² + b³'dür; küp toplamı formülü ise çarpanlara ayırma yönünde çalışır.
- a³ − b³'ün ikinci çarpanındaki ortadaki terimi −ab yazmak — doğru desen a² + ab + b²; işaret dağılımı çarpımda sadeleşecek şekilde kurulur.
- Kare farkını unutmak: a² − b² = (a − b)(a + b) küp formülleriyle birlikte kullanılır; tüm özdeşlik listesi için çarpanlara ayırma formülleri sayfamıza bakabilirsiniz.
Nerelerde Karşımıza Çıkar?
Sınav sorularında iki tipik kullanım vardır: ifadenin çarpanlarını istemek (doğrudan formül) ya da büyük sayıların küp farkını hızlı hesaplatmak (kısayol). Konu anlatımı tarafı için çarpanlara ayırma konu anlatımı yazımız, işlem önceliği tazelemek için dört işlemde öncelik sırası rehberimiz yardımcı olur.
Sık Sorulan Sorular
a küp eksi b küp açılımı nedir?
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) formülüdür. Ters yönde kullanıldığında iki küpün farkını çarpanlara ayırır; ikinci çarpandaki ortadaki terim artı işaretlidir.
a küp artı b küp nasıl açılır?
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) şeklindedir. Çarpanların ilkinde toplam, ikincisinde ortadaki terim negatiftir; ara terimler çarpım sırasında sadeleşir.
x artı y artı z nin karesi nedir?
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz. Kare terimlerin toplamına, tüm çiftli çarpımların iki katı eklenir.
8a³ artı 27 çarpanlara nasıl ayrılır?
8a³ = (2a)³ ve 27 = 3³ olduğundan ifade küp toplamıdır: (2a + 3)(4a² − 6a + 9). Deseni görmek için terimleri tam küp biçiminde yazmak yeterlidir.