A Kare Eksi B Kare ve Tüm Açılım Formülleri (Tablolu Rehber)

Bu formüller özdeşlikler ve çarpanlara ayırma konusunda kullanılır. Konu anlatımı yerine formül listesi olarak tasarladık çarpanlara ayırma konu anlatımına bu adresten ulaşabilirsiniz.

Tam kare formülleri nedir?

Tam kare formülleri (quadratic formulas), ikinci dereceden (quadratic) denklemlerin köklerini bulmak için kullanılan matematiksel formüllerdir. Tam kare formülleri, şu şekilde ifade edilir:

İki Terim Toplamının Karesi Formülü Nedir?

"a artı b" karesi, "a karesi artı 2ab artı b karesi" olarak yazılır. Yazılımlarda metin içerisinde (a+b)^2 şeklinde gösterilir.
(a + b)² = a² + 2ab + b²

İki Terim farkının Karesi :

"a eksi b" karesi, "a karesi eksi 2ab eksi b karesi" olarak yazılır.
(a − b)² = a² − 2ab + b²

Üç Terim Toplamının Karesi Formülü Nedir?

"a artı b artı c" karesi, "a karesi artı b karesi artı c karesi artı 2(ab artı ac artı bc)" olarak yazılır.
(a +b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)

İki Terim Toplamının Küpü Formülü Nedir?

"a artı b artı c" karesi, "a karesi artı b karesi artı c karesi artı 2(ab artı ac artı bc)" olarak yazılır.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

İki Terim Farkının Küpü Formülü Nedir?

"a eksi b" küpü, a küp eksi 3a karesi b eksi 3ab karesi artı b küp olarak yazılır.
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

İki Kare Farkı formülü

"a kare eksi b kare eşittir, a artı b ile a eksi b çarpımına eşittir."
a² – b² = (a + b).(a – b)

İki küp Toplamı formülü

"a küp artı b küp eşittir, a artı b ile a kare eksi ab artı b kare çarpımına eşittir."
a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)

İki küp farkı formülü

"a küp eksi b küp eşittir, a eksi b ile a kare artı ab artı b kare çarpımına eşittir."
a³ − b³ = (a − b).(a² + ab + b²)

xⁿ + yⁿ veya xⁿ − yⁿ biçimindeki polinomlar

a⁴ – b⁴ = (a² + b²).(a + b).(a – b)
Okunuşu: "a üzeri dört eksi b üzeri dört," "a karesi artı b karesi," "a artı b," ve "a eksi b" ile çarpımına eşittir.

a⁵ + b⁵ = (a + b).(a⁴ – a³b + a² b² – ab³ + b⁴)
Okunuşu: "a üzeri beş artı b üzeri beş," "a artı b," ve "a üzeri dört eksi a küp b artı a kare b kare eksi ab küp artı b üzeri dört" ile çarpımına eşittir.

a⁵ – b⁵ = (a – b).(a⁴ + a³b + a² b² + ab³ + b⁴)
Okunuşu: "a üzeri beş eksi b üzeri beş," "a eksi b," ve "a üzeri dört artı a küp b artı a kare b kare artı ab küp artı b üzeri dört" ile çarpımına eşittir.

a⁶ – b⁶ = (a – b).(a² + ab + b²).(a+ b).(a² − ab + b²)
Okunuşu: "a üzeri altı eksi b üzeri altı," "a kare artı ab artı b kare," "a artı b," ve "a kare eksi ab artı b kare" ile çarpımına eşittir.

a⁷ + b⁷ = (a + b).(a⁶ – a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)
Okunuşu: "a üzeri yedi artı b üzeri yedi," "a artı b," ve "a üzeri altı eksi a üzeri beş b artı a üzeri dört b kare eksi a küp b üç artı a kare b dört eksi ab beş artı b üzeri altı" ile çarpımına eşittir.

a⁷ – b⁷ = (a – b).(a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)
Okunuşu: "a üzeri yedi eksi b üzeri yedi," "a eksi b," ve "a üzeri altı artı a üzeri beş b artı a üzeri dört b kare artı a küp b üç artı a kare b dört artı ab beş artı b üzeri altı" ile çarpımına eşittir.

Not:

Özdeşlikleri yukarıdaki şekillerde kullanmak zorunda değilsiniz. Özdeşlikleri aşağıdaki şekilde yeniden düzenleyerek kullanabiliriz

• x² + y² = (x + y)² - 2xy
  Okunuşu: "x karesi artı y karesi, (x artı y) karesi eksi 2xy olarak yazılır."
• x² + y² = (x - y)² + 2xy
  Okunuşu: "x karesi artı y karesi, (x eksi y) karesi artı 2xy olarak yazılır."
• (x - y)² = (x + y)² - 4xy
  Okunuşu: "(x eksi y) karesi, (x artı y) karesi eksi 4xy olarak yazılır."
• (x + y)² = (x - y)² + 4xy
  Okunuşu: "(x artı y) karesi, (x eksi y) karesi artı 4xy olarak yazılır."
• x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy (x - y)
  Okunuşu: "x küp eksi y küp, (x eksi y) küp artı 3xy (x eksi y) olarak yazılır."
• x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy (x + y)
  Okunuşu: "x küp artı y küp, (x artı y) küp eksi 3xy (x artı y) olarak yazılır."
• x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2 (xy + xz + yz)
  Okunuşu: "x karesi artı y karesi artı z karesi, (x artı y artı z) karesi eksi 2 (xy artı xz artı yz) olarak yazılır."

Açılım ve Özdeşlik Formülleri Tablosu

Formül	Açılım / Çarpanlara Ayırma
Kare farkı	a² − b² = (a − b)(a + b)
İki terimli kare	(a + b)² = a² + 2ab + b²
İki terimli kare	(a − b)² = a² − 2ab + b²
Küp toplamı	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Küp farkı	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Küp çarpanları	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Küp çarpanları	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Üç terimli kare	(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Hızlı hatırlatma: a² + b² gerçek sayılarda çarpanlara ayrılamaz; gerektiğinde a² + b² = (a + b)² − 2ab eşitliğiyle kullanılır. Formülleri sınava yaklaştıkça bu tablodan tekrar etmek için sayfayı yer imlerine ekleyebilirsiniz. Sayıları yerleştirip denemek için hesaplama araçlarımızı kullanabilirsiniz.

Çözümlü Örnekler ve Sık Yapılan Hatalar

Formülleri pekiştirmek için üç klasik örnek:

• Sayısal kısayol: 101² − 99² = (101−99)(101+99) = 2 × 200 = 400. Kareleri tek tek hesaplamaya gerek kalmaz.
• Cebirsel: x² − 16y² = (x − 4y)(x + 4y). 16y² = (4y)² olduğundan kare farkı formülü doğrudan uygulanır.
• Bileşik: (a+b)² − c² = (a+b−c)(a+b+c). İlk ifade tek parça gibi düşünülüp kare farkı uygulanır.

Sık yapılan üç hata: (1) a² + b² ifadesini açmaya çalışmak — gerçek sayılarda açılmaz, yalnızca (a+b)² − 2ab eşitliğiyle kullanılır. (2) (a−b)² formülünde orta terimin işaretini kaybetmek: doğru sonuç a² − 2ab + b². (3) Ortak çarpanı atlamak: 2x² − 8 önce 2(x² − 4) şeklinde sadeleştirilirse kare farkı görünür hale gelir.

Küp açılım formüllerinin çözümlü örnekleri ve üç terimlinin karesi için a küp eksi b küp açılımı sayfamıza göz atabilirsiniz.