Üçgenler 9. Sınıf Özeti Konu Anlatımı

9. Sınıf Üçgen konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Üçgenlerde temel kavramlar

Üçgenler, geometride önemli bir şekil olarak karşımıza çıkar ve üçgenlerin açı özellikleri, üçgenlerle ilgili birçok işlemde kullanılır. Bu konu altında, üçgenlerin açı özellikleriyle ilgili temel kavramlar, açı çeşitleri gibi konuları ele alacağız.

Açı Çeşitleri, Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

Üçgenlerde temel kavramlardan; açı çeşitleri, paralel iki doğrunun bir kesen ile yaptığı açı ve özelliklerinin önemli kısımlarını özetledim.

Üçgende Açı Özellikleri ile İlgili İşlemler

Üçgende açı; dik açı, dar açı, geniş açı, doğru açı, tam açı, komşu açı, tümler açı, bütünleyici açı ve ters açı özelliklerini özetledim.

Açı çeşitleri, Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının arasında kalan bölgeye açı denir. Açı $\widehat{A B C}$ veya $\widehat{C B A}$ olarak gösterilebilir.

Üçgende açı

$(\widehat{A B C})$ nın ölçüsü $\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ ile gösterilir.

Dar açı: Ölçüsü $0^{\circ}$ ile $90^{\circ}$ arasında olan açıya denir.
$0^{\circ}$ < $\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ < $90^{\circ}$

Üçgende dar açı

Dik açı: Ölçüsü $90^{\circ}$ olan açıya denir.
$\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ = $90^{\circ}$

Üçgende dik açı

Geniş açı: Ölçüsü $90^{\circ}$ ile $180^{\circ}$ arasında olan açıya denir.
$90^{\circ}$ < $\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ < $180^{\circ}$

Üçgende geniş açı

Doğru açı: Ölçüsü $180^{\circ}$ olan açıya denir.

Doğru açı

Tam açı: Ölçüsü $90^{\circ}$ olan açıya denir.

Tam açı

Komşu açılar: Birer kolu ortak olan açılara denir.
$\widehat{A B C}$ ile $\widehat{D B C}$ komşu açılardır.

Komşu açılar

Tümler açılar: Ölçüleri toplamı $90^{\circ}$ olan açılara denir.

Bütünler açılar: Ölçüleri toplamı $180^{\circ}$ olan açılara denir.

Komşu tümler açılar: Ölçüleri toplamı $90^{\circ}$ olan komşu açılara denir.

Komşu tümler açı

$\widehat{A B D}$ ile $\widehat{D B C}$ komşu tümler açılardır.

Komşu bütünler açılar: Ölçüleri toplamı $180^{\circ}$ olan komşu açılara denir.

Komşu bütünler açı

$\widehat{A B D}$ ile $\widehat{D B C}$ komşu bütünler açılardır.

Ters açılar: Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu komşu olmayan açılardır. Ters açıların ölçüleri eşittir.
a = c ve b = d

Ters açılar

Paralel iki doğrunun bir kesen ile yaptığı açılar

$d_1 / / d_2$ ve $d_3$ bu doğruları kesen bir doğrudur.

Paralel iki doğrunun bir kesen ile yaptığı açılar

a ile x, b ile y, d ile t ve c ile z yöndeş açılar olup ölçüleri eşittir.
a = x , b = y
d = t, c= z
c ile x ve b ile t iç ters açılar olup, ölçüleri eşittir.
c = x, b = t
a ile z, d ile y dış ters açılar olup ölçüleri eşittir.
a = z, d = y

$d_1 / / d_2 \Rightarrow x=a+b$ dir.

Paralel iki doğrunun yaptığı açıların özelliği

$d_1 / / d_2 \Rightarrow a+b = 180^{\circ}$ dir.

Paralel iki doğrunun yaptığı açıların özelliği

Üçgende Açı

Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^{\circ}$ dir.
Bir üçgenin dış açıları toplamı $360^{\circ}$ dir.
İkizkenar üçgen, iki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere denir.

İkizkenar üçgen

IABI = IACI ise,
$\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ = $\mathrm{m}(\widehat{A C B})$ olur.
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamıdır.

Eşkenar üçgen, üç kenarının uzunluğu birbirine eşit olan üçgenlere denir. Yani, $a = b = c = 60^{\circ}$

Eşkenar üçgen

Üçgenin Kenar Uzunlukları ile Bu Kenarların Karşılarındaki Açıların Ölçüleri Arasındaki İlişkiler

Bir üçgende ölçüleri eşit olmayan iki açıdan ölçüsü büyük olan açının karşısıdaki kenarın uzunluğu ölçüsü, küçük olan açını karşısındaki kenarın uzunluğundan büyüktür.

Üçgende kenar uzunlukları

c < b < a ise,
$\mathrm{m}(\widehat{B C A})$ < $\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ < $\mathrm{m}(\widehat{B A C})$

Uzunlukları Verilen Üç Doğru Parçasının Hangi Durumlarda Üçgen Oluşturduğunun Değerlendirilmesi

Üçgen eşitsizliği, herhangi bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğunun, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmasıdır.

Üçgen eşitsizliği

|b – c| < a < b +c
|a – c| < b < a +c
|a – b| < c < a +b
Farklı doğrular üzerinde bulunan üç doğru parçasının uç uca birleştirilmesiyle üçgen elde edilemeyebilir.

$\alpha$ $90^{\circ}$ den büyük veya küçük olduğu durumlarda kenar uzunlukları

$\begin{aligned}& \alpha>90^{\circ} \Rightarrow a^2>b^2+c^2 \\& \alpha<90^{\circ} \Rightarrow a^2<b^2+c^2\end{aligned}$

dir.

Üçgenlerde eşitlik ve benzerlik

Üçgenler arasındaki benzerlik kavramı, benzer üçgenlerin özellikleri, benzerlik teoremleri, benzerlik kriterleri konularını özetledim.

İki üçgenin eş olması için gereken koşullar

Üçgenler arasındaki eşlik ifadesini yazarken, üçgenlerin köşelerinin sıralaması önemli çünkü karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olan üçgenlere eş üçgen denir.
$\widehat{A B C}$ ile $\widehat{D E F}$ eş üçgenler ise $\widehat{A B C} \cong \widehat{D E F}$ şeklinde gösterilir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Eşitlik Kuralı

Karşılıklı iki kenarının uzunluğu ve bu iki kenarın oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olan, üçgenler eştir. Bu duruma Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Eşitliği denir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Eşitliği

$|A B|=|D E|,|A C|=|D F|$ ve $m(\widehat{B A C})=m(\widehat{E D F})$ ise;
$\widehat{A B C} \cong \widehat{\mathrm{DEF}}$ olur.

Açı-Kenar-Açı (A. K. A.) Eşitlik Kuralı

Karşılıklı iki açısının ölçüsü ve bu açıların arasındaki kenarlarının uzunluları eşit olan üçgenler eştir. Bu duruma Açı-Kenar-Açı (A. K. A.) Eşitliği denir.

Açı-Kenar-Açı (A. K. A.) Eşitliği

$\begin{aligned} & m(\widehat{A B C})=m(\widehat{D E F}), m(\widehat{A C B})=m(\widehat{D F E}) \text { ve } \\ & |B C|=|E F| \text { ise } \widehat{A B C} \cong \widehat{D E F} \text { olur. }\end{aligned}$

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Eşilik Kuralı

Karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan üçgenler eştir. Bu duruma Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Eşiliği denir. Kenarlarının uzunlukları eşit olan üçgenlerde eş kenarların karşılarındaki açıların ölçüleri de eştir.

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Eşiliği

$|A B|=|D E|,|B C|=|E F|$ ve $|A C|=|D F|$ ise
$\widehat{\mathrm{ABC}} \cong \widehat{\mathrm{DEF}}$ olur.

Eş üçgenlerin karşılıklı yükseklikleri de eşittir.
Eş üçgenlerin karşılıklı kenarortayları da eşittir.
Eş üçgenlerin karşılıklı açıortayları da eşittir.

İki Üçgenin Benzer olması için gereken koşular

Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ve karşılıklı açıları eş olan üçgenler benzer üçgenlerdir. $\widehat{A B C}$ ile $\widehat{D E F}$ benzer üçgenler ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ şeklinde gösterilir.
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları oranına benzerlik oranı denir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Benzerlik Kuralı

Karşılıklı iki kenarın uzunluğu orantılı ve bu iki kenarın oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olan üçgenler benzerdir. Bu duruma Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Benzerlik Kuralı denir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Benzerliği

$\frac{|A B|}{|D E|}=\frac{|B C|}{|E F|}=k(k \in R)$ ve $m(\widehat{A B C})=m(\widehat{D E F})$ ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ dir.

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Benzerlik Kuralı

Karşılıklı olarak üç kenarının uzunlukları orantılı olan üçgen benzerdir. Bu duruma Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K) Benzerlik Kuralı denir.

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K) Benzerliği

$\frac{|A B|}{|D E|}=\frac{|A C|}{|D F|}=\frac{|B C|}{|E F|}=k$ ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ dır.

Açı-Açı (A. A.) Benzerlik Kuralı

Karşılıklı olarak ikişer açısının ölçüsü eşit olan üçgenler benzerdir. Bu duruma Açı-Açı Benzerlik Kuralı denir.

Açı-Açı Benzerliği

$m(\widehat{A B C})=m(\widehat{D E F})$ ve $m(\widehat{A C B})=m(\widehat{D F E})$ ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ dir.

Bezerlik oranı 1 olan benzer üçgenler aynı zamanda eş üçgenlerdir.
Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir.

İki benzer üçgenin orantılı kenarlarına ait açıortayların uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir.
İki benzer üçgenin orantılı kenarlarına ait kenarortayların uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir.
İki benzer üçgenin orantılı kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir.

Üçgenin Bir Kenarına Paralel ve Diğer İki Kenarını Kesecek Şekilde Çizilen Doğrunun Ayırdığı Doğru Parçaları Arasındaki İlişki

Temel orantı teoreminde, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve üçgenin diğer kenarlarını farklı noktalarda kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı olarak böler. Ayrıca, bir doğru, bir üçgenin iki kenarını keserek, kesitiği kenarlar üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturuyorsa, bu doğru üçüncü kenara paraleldir.

$\mathrm{d} / /[\mathrm{BC}] \Leftrightarrow \frac{|A D|}{|\mathrm{DB}|}=\frac{|\mathrm{AE}|}{|\mathrm{EC}|}$ tır.

Temel orantı teoremi

Birinci Thales Teoremine göre, birbirine paralel en az üç doğru ve bunları kesen iki doğru üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.

Birinci Thales Teoremi

$d_3 / / d_4 / / d_5 \Rightarrow \frac{|A B|}{|B C|}=\frac{|D E|}{|E F|}$ olur.

İkinci Thales Teoremine göre, kesişen iki doğru paralel iki doğru tarafından kesildiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılıdır.

İkinci Thales Teoremi

$\frac{|A B|}{|A D|}=\frac{|A C|}{|A E|}=\frac{|B C|}{|D E|}$ olur.

$[D E] / /[B C],|A D|=|D B|$ ve $|A E|=|E C|$ ise $[D E]$ , $\widehat{A B C}$ nin orta tabanıdır.

$|\mathrm{DE}|=\frac{|\mathrm{BC}|}{2} \text { olur. }$

Üçgende orta taban

Üçgenin Yardımcı Elemanları

Üçgenin açıortayı, kenarortayı ve yüksekliği üçgenin yardımcı elemanlarıdır. Bu elemanların özelliklerinden ve önemli yerlerinden kısaca bahsettim.

Üçgenin İç ve Dış Açıortayları

Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya ayıran ışına denir.

Açıortay

Bir açının açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Yani $|FM|= |ME|$ dir. Bu teoremin karşıt tersi de doğrudur.
$\widehat{\mathrm{BFM}} \cong \widehat{\mathrm{BEM}}$ olduğundan $|\mathrm{BF}|=|\mathrm{BE}|$ tir.

Bir açının açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

Bir açının oluşturduğu iç ve dış bölgeler;

Açının oluşturduğu iç ve dış bölge

Bir üçgenin iç açısını iki eşit parçaya ayıran doğru parçasına, bu açının köşesiyle karşı kenarı arasındaki parçaya ise üçgenin o köşesine ait açıortayı denir. $\widehat{B A C}$ na ait açıortayın uzunluğu $n_A$ ile gösterilir. Üçgenin üç iç açıortayı üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişir.

Üçgenin üç iç açıortayı bir noktada kesişir

İç açıortay teoremi

$\widehat{\mathrm{BFM}} \cong \widehat{\mathrm{BEM}}$ olduğundan $|\mathrm{BF}|=|\mathrm{BE}|$ tir.

$ABC$ üçgeninde A köşesine ait iç aççıortay, $[A N]$ ise $\frac{|A B|}{|A C|}=\frac{|B N|}{|N C|}$ olur.

İç açıortay teoremi

Dış açıortay teoremi

$ABC$ üçgeninde $A$ köşesindeki dış açıyı iki eş parçaya ayıran ışının, açının köşesi ile $[B C]$ nın uzantısını kestiği nokta arasında kalan doğru parçasına üçgenin $A$ köşesine ait dış açıortayı denir. Dış açıortayın uzunluğu $n_A^{\prime}$ ile gösterilir. Eğer $A$ köşesine ait dış açıortay $[B C]$ nın uzantısını $N$ noktasına keserse, $\frac{|\mathrm{NC}|}{|\mathrm{NB}|}=\frac{|\mathrm{AC}|}{|\mathrm{AB}|}$ olur.

Dış açıortay teoremi

$ABC$ üçgenin $B$ ve $C$ köşelerine ait iç açıortayları $D$ noktasında kesişiyorsa,

$m(\widehat{B D C})=90^{\circ}+\frac{m(\widehat{B A C})}{2} \text { olur. }$

Üçgenin iki farklı köşesinden çıkan açıortayların oluştuğu üçgende açı

$ABC$ üçgeninde $B$ ve $C$ köşelerine ait dış açıortay ile $A$ köşesine ait iç açıortay üçgenin dışında bir noktada örneğin $D$ noktasında kesişir. Bu durumda;

$m(\widehat{B D C})=90^{\circ}-\frac{m(\widehat{B A C})}{2} \text { olur. }$

Üçgende iki farklı köşesinden çıkan dış açıortay ile diğer köşeye ait iç açıortay üçgenin dışında bir noktada kesişmesi

$ABC$ üçgeninde $B$ köşesine ait iç açıortay ile $C$ köşesine ait dış açıortay $D$ noktasında kesiştiği durumda;

Bir üçgenin açıortayı ve kenarortayı, aynı noktada kesildiğinde oluşan kesişimi

$m(\widehat{B D C})=\frac{m(\widehat{B A C})}{2} \text { olur. }$

Üçgenin Kenarortayları

$A$ köşesinden çizilen kenarortay $[AF]$ dır ve $V_a$ ile gösterilir.
$B$ köşesinden çizilen kenarortay $[BE]$ dır ve $V_b$ ile gösterilir.
$C$ köşesinden çizilen kenarortay $[CD]$ dır ve $\mathrm{V}_{\mathrm{c}}$ ile gösterilir.
Ağırlık merkezi, bir üçgenin kenarortayları üçgenin içinde kesiştiği noktaya denir ve $\mathrm{G}$ ile gösterilir. ABC üçgenin ağırlık merkezi G’dir ve ağırlık merkezi üçgenin kenarortaylarını 2 ye 1 oranında böler.

$\frac{|A G|}{|G F|}=\frac{|B G|}{|G E|}=\frac{|C G|}{|G D|}=2 \text { olur. }$

Ağırlık merkezi

Bir üçgende, bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait kenarortayı denir. $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarını ait kenarortay $[AD]$ ’dir.

BC kenarını ait kenarortay [AD]

Kenarortayda 3 1 2 kuralı
Üçgenin ağırlık merkezi ile orta tabanın kenarortay üzerinde ayırdığı uzunluklar köşeden başlamak üzere 3, 1 ve 2 sayılarıyla orantılıdır.

Kenarortayda 3 1 2 kuralı

Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri

Doğru parçasının orta dikmesi üzerinde herhangi bir nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır. Eğer $CD$ doğrusu $[AB]$ nin orta dikmesi ise, $|AC| = |BC|$ olur.

$CD$ doğrusu $[AB]$ nin orta dikmesi ise, $|AC| = |BC|$ olur

Herhangi bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta olan noktalar, doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. Yani, $|CA| = |CB|$ ise C noktası $[AB]$ ’nin orta dikmesi üzerindedir.

Kenar orta dikme, üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından geçen kenara dik olan doğru parçasına denir. Üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir.

Kenar orta dikme

Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası üçgenin köşe noktaların dan eşit uzaklıktadır.
Eğer $K$ noktası $ABC$ üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıysa $IAKI = IKBI = IKCI$ olur.

Kenar orta dikmelerinin kesim noktası

Üçgenin yükseklikleri

Üçgenin diklik merkezi, bir üçgende yükseklikleri aynı noktada kesiştiği yerdir.

Diklik merkezi

Bir üçgende herhangi bir köşeden karşı kenara indirilen dik doğru parçası o kenara ait yükseklik denir.
$|AH| = h_a$ ile gösterilir.

Üçgende yükseklik

$ABC$ ikizkenar üçgeninde, $|AB| = |AC|$ olduğunda $F$ diklik merkezi ise,
$|FB| = |FC|$ , $|FD| = |FE|$ , $|AD| = |AE|$ , $|BD| = |CE|$ ve $|BE| = |DC|$ olur.

İkizkenar üçgende diklik merkezi

İkizkenar üçgende taban üzerinde alınan herhangi bir noktanın eş olan kenarlara çizilen yüksekliklerin uzunlukları toplamı, üçgenin eş olan kenarlarına ait yüksekliklerin uzunluklarına eşittir.
Yani, $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC|$ ise $|DE| + |DF| = |CK| = |BL|$ olur.

İkizkenar üçgenin tabanı üzerindeki bir noktaya çizilen yüksekliklerin uzunlukları toplamı, eşit kenarlara ait yüksekliklerin uzunluklarına eşit

Eşkenar üçgen içerisinde alınan bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir. Yani, $ABC$ eşkenar üçgeninde, $|PD| + |PE| + |PF| = |BH|$ olur.

Eşkenar üçgen içerisinde alınan bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşit

Dik Üçgen ve Trigonometri

Dik üçgenler, geometride önemli bir şekil olarak karşımıza çıkar ve trigonometri alanında da büyük bir öneme sahiptir. Bu konu içinde; Pisagor teoremi, Öklid teoremi, dik üçgende dar açıların trigonometrik oranları ve birim çember, trigonometrik oranları birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile ilişkisinden bahsedeceğim.

Dik Üçgende Pisagor Teoremi

Bir açısı $90^{\circ}$ olan üçgene dik üçgen denir. $90^{\circ}$ ‘nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenarlar denir.

Dik üçgen

Kare ve dikdörtgen alanı

Şekil 1: $A (ABCD) = a^2 + 2bc$
Şekil 2: $A (KLMN) = b^2 + c^2 - 2bc$
$A (ABCD) = A (KLMN)$
$a^2 + 2bc = b^2 + c^2 + 2bc$
$a^2 = b^2 + c^2$

Pisagor Bağıntısı, bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğu bağıntıya denir.

Pisagor bağlantısı

Pisagor Bağıntısını sağlayan pozitif tam sayı üçlülerine Pisagor Üçlüleri denir. Örneğin;

3-4-5
6-8-10
8-15-17
5-12-13
7-24-25
20-21-29

Özel üçgenler

Açı ölçüleri $30^{\circ}, 60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ olan üçgende;
$30^{\circ}$ nin karşısındaki kenarın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısıdır.
$60^{\circ}$ nin karşısındaki kenarın uzunluğu, $30^{\circ}$ nin karşısındaki kenarın uzunluğunun $\sqrt{3}$ katıdır.

İkizkenar dik üçgende hipotenüsün uzunluğu dik kenarlardan birinin uzunluğunun $\sqrt{2}$ katıdır.

$45^{\circ}, 45^{\circ}$ , $90^{\circ}$ Üçgeni

Tabanlarını aynı iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilirse, üçgenlerin kenarları arasındaki bağlantı $x^2 + t^2 = z^2 + y^2$ şeklinde olur.

Tabanlarını aynı iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilmesi

Tabanlarını aynı iç içe geçmiş iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilirse, üçgenlerin kenarları arasındaki bağlantı $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$

Tabanlarını aynı iç içe geçmiş iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilmesi

Öklid Teoremi

Bir dik üçgende bir dik kenarın uzunluğunun karesi, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan kendi tarafında olanın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.

Öklid teoremi

Yani;
$h^2 = p . k$
$c^2 = p . a$
$b^2 = k . a$

Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları

Bir dik üçgenin kenarları arasındaki oran ile bu üçgenle eşit açılara sahip olan başka bir dik üçgenin kenarları arasında ki oranlar aynıdır.

$\alpha$ açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant

– Bir dik üçgende bir dar açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o açının sinüsü denir.
$\sin \alpha=\frac{\text { Karşı Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Hipotenüs Uzunluğu }}=\frac{b}{a}$
– Bir dik üçgende bir dar açıya komşu olan dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o açının kosinüsü denir.
$\cos \alpha=\frac{\text { Komşu Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Hipotenüs Uzunluğu }}=\frac{c}{a}$
– Bir dik üçgende bir dar açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğunun açıya komşu olan dik kenarın uzunluğuna oranına o açının tanjantı denir.
$\tan \alpha=\frac{\text { Karşı Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Komşu Dik Kenar Uzunluğu }}=\frac{b}{c}$
– Bir dik üçgende bir dar açıya komşu olan dik kenarın uzunluğunun açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğuna oranına o açının kotanjantı denir.
$\cot \alpha=\frac{\text { Komşu Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Karşı Dik Kenar Uzunluğu }}=\frac{b}{c}$

Hatırlatma: $\cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}$

Tümler açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.
$a + b = 90^{\circ}$ ise,
$sina = cosb$
$cosa = sinb$
$tana= cotb$
$cota = tanb$ olur.

$30^{\circ}, 45^{\circ}$ , $60^{\circ}$ sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri

Birim Çember ve Trigonometrik Oranların Birim Çember Üzerindeki Noktaların Koordinatları ile İlişkisi

Merkezi orijin ve yarıçapının uzunluğu 1 birim olan çembere birim çember denir. A(x, y) noktası birim çember üzerinde ise,
$x^2 + y^2 = 1$ olur.

Birim çember

$\alpha$ açısının ölçüsünün kosinüs değeri, A noktasının apsisine, sinüs değeri A noktasının ordinatına eşittir.

$\alpha$ açısının tanjant değeri, $[OA$ nın x = 1 doğrusunu kestiği B noktasının koordinatına, kotanjant değeri $[OA$ nın y = 1 doğrusunu kestiği C noktasının apsisine eşittir.

$\alpha$ açısının tanjant değeri, $[OA$ nın x = 1 doğrusunu kestiği B noktasının koordinatına, kotanjant değeri $[OA$ nın y = 1 doğrusunu kestiği C noktasının apsisine eşit

x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni, x = 1 doğrusu tanjant ekseni, y = 1 doğrusu kotanjant ekseni olarak adlandırılır.

x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni, x = 1 doğrusu tanjant ekseni, y = 1 doğrusu kotanjant ekseni

Geniş açıların birim çemberi kestiği nokta, dik koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olduğu için bu noktanın apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
$[OA$ nın y = 1 doğrusunu kestiği B noktası, dik koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olduğu için bu noktanın apsisi negatiftir.
$[OA$ nın uzantısının x = 1 doğrusunu kestiği E noktası, dik koordinat sisteminin dördüncü bölgesinde olduğu için bu noktanın ordinatı negatiftir.
$\alpha$ geniş açı ise $\sin \alpha$ değeri pozitif; $\cos \alpha$ , $\tan \alpha$ , $\cot \alpha$ değerleri negatiftir.

Geniş açıların birim çemberi kestiği nokta, dik koordinat sisteminin ikinci bölgesinde olduğu için bu noktanın apsisi negatif, ordinatı pozitif olur

Üçgenin Alanı

Üçgende alan konusunda, dik üçgende, geniş açılı üçgende ve sinüs teoremi kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması gibi konuları ele alacağız. Ayrıca, bazı özel üçgenlerde alan hesaplama yöntemlerine de değineceğiz.

Üçgenin Alanı ile İlgili Problemler

Bir üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Üçgende alan formülü

Geniş açılı üçgende alan,

Geniş açılı üçgen

ABC geniş açılı üçgenin alanı, $\frac{\mathrm{a} \cdot \mathrm{h}_{\mathrm{a}}}{2}$ olur.

Dik üçgende alan,

Dik üçgen

ABC dik üçgenin alanı, $\frac{\mathrm{|BC|} \cdot \mathrm{|AB|}}{2}$ olur.

İki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün sinüs değerinin çarpımının yarısı üçgenin alanını verir.

İki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının sinüs değerinin çarpımının yarısı üçgenin alanını verir

ABC üçgeninin alanı $=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \widehat{C}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin \widehat{B}=\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin \widehat{A}$

Bir kenarı a birim olan eşkenar üçgenin alanı $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ birim karedir

Eşkenar üçgen

$75^{\circ}$ , $15^{\circ}$ ve $90^{\circ}$ özel üçgeninde, $90^{\circ}$ den indirilen dikmenin yüksekliği x ise dikliğin indiği tabanın uzunluğu 4x olur.

$75^{\circ}$ , $15^{\circ}$ ve $90^{\circ}$ Üçgeni

$ABC$ üçgeninde D, E ve F orta noktaları olduğunda, oluşan üçgenlerin alanı birbirlerine eşittir.

Üçgeni oluşturan her kenarın orta noktalarının birleşiminden oluşan üçgenlerin alanları birbirine eşit

Yani; $ADE$ üçgeninin alanı, $DBF$ üçgeninin alanı, $DEF$ üçgeninin alanı ve $EFC$ üçgeninin alanı birbirine eşittir.

Yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanları oranı, bu yüksekliklere ait kenar uzunluklarının oranına eşittir.

Yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanları oranı, bu yüksekliklere ait kenar uzunluklarının oranına eşit

$ABC$ üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası $I$ olsun. Açıortay üzerinden açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan,
$|DI| = |IE| = |IF|$ olur.
$AIB$ , $AIC$ ve $IBC$ üçgenlerinin yükseklikleri eş olduğundan, bu üçgenin alanları taban uzunlukları ile orantılıdır.