Üçgende Eşitlik ve Benzerlik 9. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

9. Sınıf Üçgenler ünitesinde yer alan Üçgende Eşitlik ve Benzerlik konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

İki üçgenin eş olması için gereken asgari koşullar

Eş üçgenler, karşılıklı olarak kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olan üçgenlerdir. Bu durumu göstermek için, $\widehat{A B C}$ ile $\widehat{D E F}$ eş üçgenler ise $\widehat{A B C} \cong \widehat{D E F}$ şeklinde gösterilir.

Eş iki üçgen arasında, üçgenlerin köşelerinin yazım sırası önemlidir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K) Eşitlik Kuralı

Karşılıklı iki kenarın uzunluğu ve bu kenarlarla oluşturulan açıların ölçülerinin eşit olduğu üçgenlerin birbirine eşit olduğunu belirtir. Bu duruma Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) eşitliği denir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Eşitliği

$|A B|=|D E|,|A C|=|D F|$ ve $m(\widehat{B A C})=m(\widehat{E D F})$ ise,
$\widehat{A B C} \cong \widehat{\mathrm{DEF}}$ olur.

Açı-Kenar-Açı (A. K. A.) Eşitlik Kuralı

Karşılıklı iki açının ölçüsü ve bu açılar arasındaki kenarların uzunluklarının eşit olduğu üçgenlerin birbirine eşit olduğunu ifade eder. Bu durum Açı-Kenar-Açı (A. K. A.) Eşitliği olarak adlandırılır.

Açı-Kenar-Açı (A. K. A.) Eşitliği

$\begin{aligned} & m(\widehat{A B C})=m(\widehat{D E F}), m(\widehat{A C B})=m(\widehat{D F E}) \text { ve } \\ & |B C|=|E F| \text { ise } \widehat{A B C} \cong \widehat{D E F} \text { olur. }\end{aligned}$

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Eşilik Kuralı

Karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan üçgenler eştir Bu durum Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Eşiliği olarak adlandırılır. Aynı zamanda, kenar uzunlukları eşit olan üçgenlerde, eş kenarların karşısındaki açıların ölçüleri de eşittir.

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Eşiliği

$|A B|=|D E|,|B C|=|E F|$ ve $|A C|=|D F|$ ise,
$\widehat{\mathrm{ABC}} \cong \widehat{\mathrm{DEF}}$ olur.

Eş üçgenlerin karşılıklı yükseklikleri eşittir. Ayrıca, eş üçgenlerin karşılıklı kenarortayları ve açıortayları da eşittir.

İki Üçgenin Benzer olması için gereken asgari koşular

İki üçgenin benzer olması için gereken asgari koşullar şunlardır: Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalı ve karşılıklı açıları eşit olmalıdır. Eğer $\widehat{A B C}$ ile $\widehat{D E F}$ benzer üçgenlerse, bunu $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ şeklinde gösteririz.

Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları arasındaki orana benzerlik oranı denir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Benzerlik Kuralı

karşılıklı iki kenarın uzunlukları orantılı olmalı ve bu iki kenarın oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olmalıdır. Bu duruma Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) benzerlik kuralı adı verilir.

Kenar-Açı-Kenar (K. A. K.) Benzerliği

$\frac{|A B|}{|D E|}=\frac{|B C|}{|E F|}=k(k \in R)$ ve $m(\widehat{A B C})=m(\widehat{D E F})$ ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ dir.

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) Benzerlik Kuralı

Karşılıklı üç kenarının uzunlukları orantılı olan üçgenlerin birbirine benzer olduğunu ifade eder. Bu duruma Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K.) benzerlik kuralı adı verilir.

Kenar-Kenar-Kenar (K. K. K) Benzerliği

Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları arasındaki uzunluk oranı $\frac{|A B|}{|D E|}=\frac{|A C|}{|D F|}=\frac{|B C|}{|E F|}=k$ ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ şeklinde ifade edilir.

Açı-Açı (A. A.) Benzerlik Kuralı

Karşılıklı ikişer açının ölçüsünün eşit olduğu üçgenlerin birbirine benzer olduğunu ifade eder.

Açı-Açı Benzerliği

$m(\widehat{A B C})=m(\widehat{D E F})$ ve $m(\widehat{A C B})=m(\widehat{D F E})$ ise $\widehat{A B C} \sim \widehat{D E F}$ dir.

Bezerlik oranı 1 olan üçgenler aynı zamanda eş üçgenlerdir. Yani, tüm kenarları ve açıları orantılı olan üçgenler eş üçgendir.

Benzer iki üçgenin orantılı kenarlarına ait açıortayların uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir. Aynı şekilde, benzer iki üçgenin orantılı kenarlarına ait kenarortayların uzunlukları oranı da benzerlik oranına eşittir. Benzer şekilde, benzer iki üçgenin orantılı kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları oranı da benzerlik oranına eşittir.

Üçgenin Bir Kenarına Paralel ve Diğer İki Kenarını Kesecek Şekilde Çizilen Doğrunun Ayırdığı Doğru Parçaları Arasındaki İlişki

Üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen ve diğer iki kenarı farklı noktalarda kesen bir doğru, kesitiği kenarları orantılı bir şekilde böler. Buna Temel Orantı Teoremi denir. Ayrıca, Temel Orantı Teoreminin karşıtı da doğrudur. Yani, bir doğru üçgenin iki kenarını keser ve kesitiği kenarlar üzerinde orantılı doğru parçaları ayırıyorsa, bu doğru üçüncü kenara paraleldir.

$\mathrm{d} / /[\mathrm{BC}] \Leftrightarrow \frac{|A D|}{|\mathrm{DB}|}=\frac{|\mathrm{AE}|}{|\mathrm{EC}|}$ tir.

Temel orantı teoremi

Birinci Thales Teoremi, birbirine paralel en az üç doğrunun, bu doğruları kesen iki doğru üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturduğunu ifade eder.

Birinci Thales Teoremi

$d_3 / / d_4 / / d_5 \Rightarrow \frac{|A B|}{|B C|}=\frac{|D E|}{|E F|}$ olur.

İkinci Thales Teoremi ise, kesişen iki doğrunun, paralel iki doğru tarafından kesildiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunluklarının orantılı olduğunu belirtir.