Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Trigonometri ünitesinde yer alan Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri

Bir açının ölçüsü $\alpha$ olan bir açının trigonometrik değerlerinin işaretini belirlemek için, açının bitiş kenarının birim çember üzerindeki konumuna bakılır. Bu konum, birim çember üzerindeki x ve y koordinatlarıyla belirlenir. Eğer noktanın x koordinatının (apsisinin) işareti $\cos\alpha$'nın işaretiyle aynı ise, yani pozitif veya negatifse, noktanın y koordinatının (rdinatının) işareti de $\sin\alpha$'nın işaretine uyar.

Her bir bölge, birim çember üzerinde farklı bir açıyı temsil eder. Bölgelere göre noktanın koordinatlarının işaretleri:

1. Birinci Bölge: Bu bölgede x koordinatı pozitif (+) ve y koordinatı pozitif (+) işaret alır.
2. İkinci Bölge: Bu bölgede x koordinatı negatif (-) ve y koordinatı pozitif (+) işaret alır.
3. Üçüncü Bölge: Bu bölgede x koordinatı negatif (-) ve y koordinatı negatif (-) işaret alır.
4. Dördüncü Bölge: Bu bölgede x koordinatı pozitif (+) ve y koordinatı negatif (-) işaret alır.

Bir Açının Trigonometrik Değerlerinin Dar Açı Cinsinden Yazılması

Pozitif yönlü ve başlangıç kenarı $x$ ekseni olan dar bir açının ölçüsü $\alpha$ olsun. Bu açının bitiş kenarı, birim çembere temas eden noktayı temsil eden A noktasının koordinatları $A(\cos\alpha,\sin\alpha)$ şeklinde ifade edilir.
Bu ifadeye göre, A noktasının apsisi (x koordinatı) $\cos\alpha$ değerini, ordinatı (y koordinatı) ise $\sin\alpha$ değerini alır. Böylece, açının ölçüsü $\alpha$'ya bağlı olarak A noktasının konumu belirlenir.

1. Birinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Birinci bölgede bulunan dar açılar, $\alpha$ 'nın ölçüsü olarak ifade edildiğinde $90^{\circ} - \alpha$ şeklinde ifade edilebilir.
Bu tür açıların trigonometrik değerleri, $\alpha$'nın trigonometrik değerleriyle ifade edilebilir.

Ölçüsü $90^{\circ} - \alpha$ olan açının bitiş kenarı, birim çemberi kestiği noktayı temsil eden C noktası olarak adlandırılır. AOB üçgeni ve COD üçgeni birbirine eşittir, yani A ve C noktalarının koordinatları birbirlerinin sinüs ve kosinüs değerleriyle ifade edilebilir: $A(\sin\alpha,\cos\alpha)$.
Bu ifadeye göre, C noktasının ordinatı (y koordinatı) $\sin\alpha$  değerini, apsisi (x koordinatı) ise $\cos\alpha$  değerini alır.

Buna göre $\alpha$ nın birimi derece olmak üzere,
$$\begin{aligned} \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha \\ \tan \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\tan \alpha \cot \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cot \alpha \end{aligned}$$
olur.

$\alpha$ nın birimi radyan olmak üzere,
$$\begin{array}{ll|} \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\ \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha \end{array}$$
olur.

İki açının ölçüleri toplamı $90^{\circ}$ olduğunda bu açılardan birinin sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri diğer açının sırasıyla kosinüs, sinüs, kotanjant ve tanjant değerlerine eşittir.

$$\begin{array}{cl} \cos 30^{\circ}=\sin 60^{\circ} \cot 53^{\circ}=\tan 37^{\circ}\end{array}$$

2. İkinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

İkinci bölgesinde yer alan açılar, $\alpha$'nın ölçüsü olarak ifade edildiğinde $180^\circ - \alpha$ veya $90^\circ + \alpha$ şeklinde ifade edilebilir. Bu açıların trigonometrik değerleri, $\alpha$'nın trigonometrik değerleri kullanılarak yazılabilir.
Birim çember üzerinde görüldüğü gibi, ölçüsü $180^\circ - \alpha$ olan açının bitiş kenarı birim çemberi $\mathrm{C}$ noktasında kesiyor. Bu durumda, üçgenler $AOB$ ve $COD$ eşittir, bu yüzden nokta $C$'nin koordinatları $C(-\cos \alpha, \sin \alpha)$ olur.

Bu bilgilere göre, $\alpha$'nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak aşağıdaki formülleri elde ederiz:

$\alpha$ nın birimi derece cinsinden olduğunu düşünelim:
$$\begin{aligned} \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha \\ \tan \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\tan \alpha \cot \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cot \alpha \end{aligned}$$
olur.

$\alpha$ radyan cinsinden olduğunu düşünelim:
$$\begin{array}{ll} \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\ \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha \end{array}$$
olur.

İki açının ölçüleri toplamı $180^{\circ}$ olduğunda bu açılardan birinin kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri diğer açının sırasıyla kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin negatiflerine eşittir.

İki açının ölçüleri toplamı $180^{\circ}$ olduğunda bu açıların sinüs değerleri birbirine eşittir.

$$\begin{array}{cl} \cos 130^{\circ}=-\cos 50^{\circ} \cot 152^{\circ}=-\cot 28^{\circ} \\ \tan 112^{\circ}=-\tan 68^{\circ} \sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ} \end{array}$$

Birim çemberde, ölçüsü $90^\circ + \alpha$ olan açının bitiş kenarı birim çemberi C noktasında keser. Aynı zamanda, $AOB$ ve $COD$ dik üçgenleri benzerdir ve nokta C'nin koordinatları $C(-\sin \alpha, \cos \alpha)$ şeklindedir.

$\alpha$'nın birim derece cinsinden olduğunu varsaydığımızda:
$\cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\sin \alpha \quad \sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)=\cos \alpha$
$\tan \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\cot \alpha \quad \cot \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\tan \alpha$

Eğer $\alpha$ radyan cinsinden ise, formülleri aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:
$$\begin{array}{ll} \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot \alpha \cot \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan \alpha \end{array}$$

3. Üçüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Üçüncü bölgedeki açılar,$180^\circ + \alpha$ veya $270^\circ - \alpha$ larak ifade edilebilir. Bu açıların trigonometrik değerleri, $\alpha$'nın trigonometrik değerleri kullanılarak ifade edilebilir.

Birim çemberde, ölçüsü $180^\circ + \alpha$ olan açının bitiş kenarı birim çemberi C noktasında keser. Buna göre, $\alpha$'nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarsak;$\cos \left(180^{\circ}+\alpha\right)=-\cos \alpha \quad \sin \left(180^{\circ}+\alpha\right)=-\sin \alpha$ $\tan \left(180^{\circ}+\alpha\right)=\tan \alpha \quad \cot \left(180^{\circ}+\alpha\right)=\cot \alpha$

Eğer $\alpha$ radyan cinsinden ise,
$\cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha \quad \sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha$ $\tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha \quad \cot (\pi+\alpha)=\cot \alpha$

Birim çember üzerinde, $270^\circ - \alpha$ açısının bitiş kenarı birim çemberi nokta C'de keser. Bu durumda, AOB ve COD üçgenleri A.K.A. (aynı kenar açıları) özelliğine sahiptir ve nokta C'nin koordinatları $C(-\sin \alpha, -\cos \alpha)$ şeklindedir.

$\alpha$'nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak,
$$\begin{array}{ll} \cos \left(270^{\circ}-\alpha\right)=-\sin \alpha \sin \left(270^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(270^{\circ}-\alpha\right)=\cot \alpha \cot \left(270^{\circ}-\alpha\right)=\tan \alpha \end{array}$$

Eğer $\alpha$ radyan cinsinden olduğunu varsayarsak:
$$\begin{array}{ll} \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha \cot \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha \end{array}$$

4. Dördüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Dördüncü bölgedeki açılar, $360^\circ - \alpha$ veya $270^\circ + \alpha$ şeklinde ifade edilebilir. Bu açıların trigonometrik değerleri, $\alpha$'nın trigonometrik değerleri kullanılarak elde edilebilir.

Birim çember üzerinde, ölçüsü $360^\circ - \alpha$ lan bir açının bitiş noktası birim çemberi C noktasında keser. AOB ve COB üçgenleri aralarındaki açıların eşit olduğu "A.K.A." ilişkisiyle bağlantılıdır ve C noktasının koordinatları $C(\cos \alpha, -\sin \alpha)$ şeklindedir.

$\alpha$'nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak,
$$\begin{array}{ll} \cos \left(360^{\circ}-\alpha\right)=\cos \alpha \sin \left(360^{\circ}-\alpha\right)=-\sin \alpha \\ \tan \left(360^{\circ}-\alpha\right)=-\tan \alpha \cot \left(360^{\circ}-\alpha\right)=-\cot \alpha \end{array}$$

Eğer $\alpha$ radyan cinsinden ifade ediliyorsa,
$$\begin{array}{ll} \cos (2 \pi-\alpha)=\cos \alpha \sin (2 \pi-\alpha)=-\sin \alpha \\ \tan (2 \pi-\alpha)=-\tan \alpha \cot (2 \pi-\alpha)=-\cot \alpha \end{array}$$

$270^\circ + \alpha$ açısı birim çember üzerinde nokta C'yi kestiğinde, AOB ve COD dik üçgenlerinin A.K.A. benzerliklerinden yola çıkarak, nokta C'nin koordinatları $C(\sin \alpha, -\cos \alpha)$ olarak belirlenir.

$\alpha$'nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak,
$$\begin{array}{ll} \cos \left(270^{\circ}+\alpha\right)=\sin \alpha \sin \left(270^{\circ}+\alpha\right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(270^{\circ}+\alpha\right)=-\cot \alpha \cot \left(270^{\circ}+\alpha\right)=-\tan \alpha \end{array}$$

Eğer $\alpha$ radyan cinsinden olduğunu varsayarak,
$$\begin{aligned} \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha \quad \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\cot \alpha \cot \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\tan \alpha \end{aligned}$$

Dördüncü bölgede yer alan açıların ölçüleri $-\alpha$ ve $360^{\circ}-\alpha$ şeklinde ifade edilebilir. Bu açıların birim çember üzerindeki bitiş kenarı C noktasında keser.$C$ noktasının koordinatları $C(\cos \alpha,-\sin \alpha)$ şeklindedir.

Bu durumda;
$$\begin{aligned} \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\ \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\ \tan (-\alpha)=-\tan \alpha \\ \cot (-\alpha)=-\cot \alpha \end{aligned}$$

Sonuç olarak, herhangi bir açının trigonometrik değeri, eğer $180^{\circ}$ veya $360^{\circ}$ le ifade ediliyorsa trigonometrik fonksiyon isimleri değişmez.Ancak $90^{\circ}$ veya $270^{\circ}$ ile ifade ediliyorsa trigonometrik fonksiyon isimleri değişir.

Küçük bir hatırlatma
İki benzer üçgenin alanları arasındaki oran, bu iki üçgenin benzerlik oranının karesine eşittir.

İlgili Konular

• Trigonometrik fonksiyonlar — tanımlar, grafikler ve periyodiklik