Trigonometrik Fonksiyonların Grafikler 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Trigonometri ünitesinde yer alan Trigonometrik Fonksiyonların Grafikler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Periyot ve Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun periyodik olabilmesi için, tanım kümesindeki her x değeri için f(x) = f(x + T) eşitliğinin doğru olması gerekmektedir.. Burada $T \in \mathbb{R}$, f fonksiyonunun periyodu olarak adlandırılan en küçük değeri temsil eder. Periyot (T), aynı değerlerin tekrar ettiği en küçük zaman aralığıdır.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyotları

Sinüs fonksiyonunun değerleri, $[0,2 \pi],[2 \pi, 4 \pi], \ldots$ aralıklarında $\mathbf{0 ,} \mathbf{1}, \mathbf{0}, \mathbf{- 1}, \mathbf{0}$ değerleri tekrar eder. Bu durum, $[4 \pi, 6 \pi],[6 \pi, 8 \pi]$ aralıkları için de geçerlidir.
Buna göre, $\sin x=\sin (x+2 \pi)=\sin (x+2 \cdot 2 \pi)=\cdots=\sin (x+k \cdot 2 \pi)$ olur.

$\forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}$olmak üzere $\sin (x+2 k \pi)=\sin x$ olduğundan sinüs fonksiyonunun periyodu en küçük $k \in \mathbb{Z}^{+}$için $\mathbf{T}=\mathbf{2} \pi$ olur.

Kosinüs fonksiyonu için $[0,2 \pi],[2 \pi, 4 \pi], \ldots$ aralıklarında $\mathbf{1}, \mathbf{0},-\mathbf{1}, \mathbf{0}, 1$ değerlerinin tekrar eder.
Buna göre, $\cos x=\cos (x+2 \pi)=\cos (x+2 \cdot 2 \pi)=\cdots=\cos (x+k \cdot 2 \pi)$  olduğunu olur. $\forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}$için $\cos (x+2 k \pi)=\cos x$ olduğundan kosinüs fonksiyonunun periyodu en küçük $k \in \mathbb{Z}^{+}$için $T=\mathbf{2} \pi$ olur.

Birim çemberde görüldüğü gibi, $\alpha$ açısına $2 \pi$ ve $2 \pi$ nin katları eklendiğinde sinüs ve kosinüs değerleri değişmez.
Şöyle ifade edebiliriz:
$$\begin{aligned} \sin \alpha=\sin (\alpha+2 \mathbf{k} \pi) \\ \cos \alpha=\cos (\alpha+2 \mathbf{k} \pi) \end{aligned}$$

Sonuç olarak, $a \neq 0$ ve $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere,
$\sin (a x+b)+c$ ve $\cos (a x+b)+c$ fonksiyonlarının periyodu $\frac{2 \pi}{|a|}$ olur.

Sinüs Fonksiyon Grafiği

$\forall x \in \mathbb{R}, \sin (x+2 k \pi)=\sin x$ olduğundan $\sin x$ fonksiyonunun periyodu $2 \pi$ dir. Bu fonksiyonun grafiği $[0,2 \pi]$  aralığında çizilebilir.
Grafik … $[-4\pi, -2\pi],[-2 \pi, 0], [0,2 \pi], [2 \pi, 4 \pi]$ … aralıklarda tekrar eder. Bu nedenle, $[0, 2\pi]$ aralığında birkaç değer seçerek aşağıdaki tablo oluşturulabilir:

Tablodaki $(x, \sin x)$ noktalarını analitik düzlemde işaretlediğimizde,ardışık noktaları birleştirerek, $\sin x$ fonksiyonunun grafiğini elde ederiz.

$\sin x$ fonksiyon grafiği orijine göre simetriktir. Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyonlardır. Bu nedenle, $\sin x$ fonksiyonu bir tek fonksiyondur. Eğer f fonksiyonunun tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x)=-f(x)$ ise $f$ tektir, $f(-x)=f(x)$ ise $f$ çifttir. Burada tanım gereği $\sin (-x)=-\sin x$ olduğundan $\sin x$ fonksiyonu tek fonksiyondur.

Kosinüs Fonksiyon Grafiği

$\forall x \in \mathbb{R}, \cos (x+2 k \pi)=\cos x$ olduğundan $\cos x$ fonksiyonunun periyodu $2 \pi$ olur. Bu nedenle, fonksiyonun grafiği $[0,2 \pi]$ aralığında çizilir. Grafik ... $[-4 \pi,-2 \pi],[-2 \pi, 0],[0,2 \pi],[2 \pi, 4 \pi] \ldots$ aralıklarında tekrar eder. $[0,2 \pi]$ nda birkaç değer değer seçerek aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:

Tabloda, $[0,2 \pi]$ aralığında seçilen bazı $x$ değerleri için $(x, \cos x)$ noktaları bulunmaktadır. Bu noktaları analitik düzlemde işaretleyerek ardışık noktaları birleştirdiğimizde, kosinüs fonksiyonunun grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz:

Gördüğünüz gibi, bu grafik $y$-eksenine göre simetriktir. Bu, kosinüs fonksiyonunun çift bir fonksiyon olduğunu gösterir. Yani, $\cos (-x)=\cos x$ olur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyotları

Tanjant fonksiyon değerleri $[0, \pi],[\pi, 2 \pi],[2 \pi, 3 \pi], \ldots$ aralıklarında sırasıyla $\mathbf{0}$, tanımsız, $\mathbf{0}$ şeklinde tekrar eder. Bu durum, $\tan x=\tan (x+\pi)=\tan (x+2 \pi)=\cdots=\tan (x+k \pi)$ eşitliğini ortaya koyar.

 $\forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}$için $\tan (x+k \pi)=\tan x$ olduğundan tanjant fonksiyonunun periyodu en küçük $k \in \mathbb{Z}^{+}$için $T=\pi$ olur.

Kotanjant fonksiyonu değerleri $[0, \pi],[\pi, 2 \pi],[2 \pi, 3 \pi], \ldots$ aralıklarında tanımsız, 0, tanımsız şeklinde tekrar eder. Bu durumda $\cot x=\cot (x+\pi)=\cot (x+2 \pi)=\cdots=\cot (x+k \pi)$ eşitliği ortaya çıkar. $\forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}$olmak üzere $\cot (x+k \pi)=\cot x$ olduğundan kotanjant fonksiyonunun periyodu en küçük $k \in \mathbb{Z}^{+}$için $T=\pi$ olur.

Birim çemberde görüldüğü gibi, $\alpha$ açısına, $\pi$ ve $\pi$ nin katları eklendiğinde, tanjant ve kotanjant değerleri değişmez.
$\tan \alpha=\tan (\alpha+k \pi)$
$\cot \alpha=\cot (\alpha+k \pi)$

Sonuç olarak, $a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $\tan (a x+)+c$ ve $\cot (a x+b)+c$ fonksiyonlarının periyodunu hesaplayabiliriz. Fonksiyonun periyodu $\frac{\pi}{|a|}$'dir.