Trigonometrik Fonksiyonların Birim Çember Yardımıyla Açıklanması 11.Sınıf Konu Anlatımı

11. Sınıf Trigonometri ünitesinde yer alan Trigonometrik Fonksiyonların Birim Çember Yardımıyla Açıklanması konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları 

Birim çember üzerinde $P(x, y)$ noktasını orijinle birleştiren [OP] doğrusunun $x$ ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsünü $\alpha$ olarak adlandıralım.
$P$ noktasının x koordinatına (apsis) $\alpha$ açısının kosinüsü denir ve bu ifade $\cos \alpha$ ile gösteririz. Başka bir deyişle,$x=\cos \alpha$ ifadesini kullanırız.
$P$ noktasının y koordinatına (ordinat) $\alpha$ açısının sinüsü denir ve bu ifade $\sin \alpha$ ile gösteririz.  Yani, $y=\sin \alpha$ olur.
Bu durumda, $x$ ekseni kosinüs ekseni olarak adlandırılırken, $y$ ekseni sinüs ekseni olarak adlandırılır.
P noktası birim çember üzerinde yer aldığından dolayı, x ve y koordinatları -1 ile 1 arasında değer alır. Yani, $-1 \leq \sin \alpha \leq 1,-1 \leq \cos \alpha \leq 1$ koşullarını sağlar.
Birim çemberde $\mathrm{P}$ noktasından indirilen dikmenin ayağı H olsun. $\mathrm{POH}$ dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak  $\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha=1$ denklemine ulaşırız.

Sonuç olarak;
$$\begin{array}{ll} 1-\sin ^2 \alpha=\cos ^2 \alpha 1-\sin ^2 \alpha=(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha) \\ 1-\cos ^2 \alpha=\sin ^2 \alpha 1-\cos ^2 \alpha=(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha) \end{array}$$

Küçük bir hatırlatma
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ dik üçgeninde $30^{\circ}$ lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. $60^{\circ}$ lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısının $\sqrt{3}$ katına eşittir.

Tanım: $f: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], f(x)=\cos x$ biçiminde tanımlanan fonksiyona kosinüs fonksiyonu, $g: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], g(x)=\sin x$ biçiminde tanımlanan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.

Açıların ölçüleri toplamının $90^{\circ}$ olduğu durumlarda, bir açının sinüsü diğer açının kosinüsüne eşittir. Yani, a ve b iki açının ölçüleri olmak üzere $a+b=90^{\circ}$ veya $a+b=\frac{\pi}{2}$ olduğunda $\sin a=\cos b$ olur

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları 

Birim çemberde $P$ noktasını orijinle birleştiren [OP nın $x$ eksenine olan pozitif yönlü açısı $\alpha$ olsun.
$A(1,0)$ noktasında birim çembere teğet olan $x=1$ doğrusuna tanjant ekseni denir.
AOP açısının bitiş kenarının ekseniyle kesiştiği T noktasının $y$ koordinatına (ordinatına) $\boldsymbol{\alpha}$ açısının tanjantı denir ve bu değer $\tan \alpha$ olarak gösterilir. Yani, $|\mathrm{TA}|=\tan \alpha$.
OPH ve OTA benzer üçgenlerdir. Benzerlik ilişkisinden $\frac{|\mathrm{PH}|}{|\mathrm{TA}|}=\frac{|\mathrm{OH}|}{|\mathrm{OA}|}$ ilişkisi elde edilir.  Bu da şu şekilde ifade edilebilir:

$$\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}=\frac{\cos \alpha}{1} \Rightarrow \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text { elde edilir. }$$

$k \in \mathbb{Z}$ ve $\alpha \neq \frac{\pi}{2} \cdot k$ olmak üzere $\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1$ olur.

Tanım: $f: \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\tan x$ şeklinde tanımlanan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. Benzer şekilde, $g: \mathbb{R}-\{\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\operatorname{cotx}$ şeklinde tanımlanan fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir.

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

$HOK$ açısının ölçüsü $\alpha$ olmak üzere birim çember üzerindeki $K$ noktasından çizilen teğetin $x$ ekseniyle kesiştiği $L$ noktasının apsisine $\alpha$ açısının sekantı denir ve bu değer Yani, $|\mathrm{OL}|=\sec \alpha$.
K noktasından çizilen teğetin $y$ eksenini kestiği $\mathrm{M}$ noktasının ordinatına $\boldsymbol{\alpha}$ açısının kosekantı denir ve bu değer$\operatorname{cosec} \alpha$ ile gösterilir. Yani, $|\mathrm{OM}|=\operatorname{cosec} \alpha$.

Birim çemberde KOH ile LOK üçgenlerinde $m(\widehat{H K O})=m(\widehat{O L K})$ olduğundan, bu üçgenler benzerdir. Benzerlik oranını yazarsak:
$$\frac{|\mathrm{OH}|}{|\mathrm{OK}|}=\frac{|\mathrm{OK}|}{|\mathrm{OL}|} \Rightarrow \frac{\cos \alpha}{1}=\frac{1}{\sec \alpha} \Rightarrow \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha} \text { olur. }$$

Benzer şekilde KON ile MOK üçgenlerinin benzerliğinden $\operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin \alpha}$ elde edilir.

Tanım: $f: \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-(-1,1), f(x)=$ secx şeklinde tanımlanan fonksiyona sekant fonksiyonu denir.
$g: \mathbb{R}-\{\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}-(-1,1), \mathrm{g}(\mathrm{x})=$ cosecx şeklinde tanımlanan fonksiyona kosekant fonksiyonu denir.

Tanımlı olduğu aralıkta
$$\begin{aligned} 1+\tan ^2 x=\sec ^2 x \\ 1+\cot ^2 x=\operatorname{cosec}^2 x \text { olur. } \end{aligned}$$