Trigonometrik Fonksiyonların Açı Değerlerine Göre Sıralanması 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Trigonometri ünitesinde yer alan Trigonometrik Fonksiyonların Açı Değerlerine Göre Sıralanması konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Trigonometrik Fonksiyonların Açı Değerlerine Göre Sıralanması

1. Herhangi bir açının konumu ne olursa olsun, trigonometrik değerleri dar açı cinsinden ifade edilir. Yani, açıların ölçüleri genellikle $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasında ifade edilir ve trigonometrik fonksiyonlar bu dar açı değerlerine göre hesaplanır.
2. Trigonometrik değerlerin büyüklük-küçüklük ilişkisini belirlemek için, değerler sinüs ve tanjant için dikey eksene taşınırken, kosinüs ve kotanjant için yatay eksene taşınır. Bu sayede, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki karşılaştırmalar daha kolay hale gelir.

Sonuç olarak, 1. bölgedeki açılar büyüdükçe sinüs değerleri artar, kosinüs değerleri ise azalır. Ayrıca, 1. bölgedeki bir açının tanjant değeri, sinüs değerinden her zaman daha büyüktür.

Kosinüs Teoremi

ABC üçgeninde, kenar uzunlukları $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ olarak tanımlanırken, iç açılar $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ olarak belirlenmiştir. $AH$ $\perp$ $BC$ olduğunda $HC=x$ ve $BH=a-x$ olur.

AHC dik üçgenindeki Pisagor teoremine göre:
$|A C|^2=|A H|^2+|H C|^2$

$\mathrm{b}^2=\mathrm{h}^2+\mathrm{x}^2 \Rightarrow \mathbf{h}^2=\mathbf{b}^2-\mathbf{x}^2$ olur. (1)

AHB dik üçgenindeki Pisagor teoremine göre:
$$|A B|^2=|A H|^2+|B H|^2$$

$c^2=h^2+(a-x)^2$ olduğuna göre,
$h^2=c^2-(a-x)^2$ olur. (2)

(1) ve (2) denklemleri birlikte çözdüğümüzde, $b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$ elde ederiz. Bu denklemi çözersek;  $b^2-x^2=c^2-a^2+2ax-x^2$ ve sonuç olarak $b^2=c^2-a^2+2ax$ elde ederiz (3)

AHC dik üçgeninde $\cos C=\frac{x}{b}$ olduğundan $x=b\cos C$ elde ederiz. Bu değer $(3)$ denkleminde yerine koyduğumuzda $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ elde ediriz. Benzer şekilde: $a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos (\widehat{A})$

$b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \cos (\widehat{B})$

Sinüs Teoremi

ABC üçgeninin kenar uzunlukları, $|B C|=a$, $|A C|=b$, $|A B|=c$ olsun.Ve $[A H] \perp[B C]$ şeklinde bir yükseklik çizelim.

AHB dik üçgeninde $\sin (\widehat{B})=\frac{h_a}{c} \Rightarrow h_a=c \cdot \sin (\widehat{B})$ elde edilir.
Bu durumda ABC üçgenin alanı
$\frac{a \cdot h_a}{2}=\frac{a \cdot c \cdot \sin (\widehat{B})}{2}$
Benzer şekilde ABC üçgeninin alanı;
$\frac{a \cdot b \cdot \sin (\widehat{C})}{2}$ ve
$\frac{b \cdot c \cdot \sin (\widehat{A})}{2}$ eşitlikleri yazılır.

Bu eşitlikleri birleştirirsek ABC üçgeninin alanı;
$\frac{a \cdot c \cdot \sin (\widehat{B})}{2}=\frac{a \cdot b \cdot \sin (\widehat{C})}{2}=\frac{b \cdot c \cdot \sin (\widehat{A})}{2}$ olur.

Bu eşitlikler 2 ile çarpılıp a.b.c çarpımına bölersek;
$\frac{a \cdot c \cdot \sin (\widehat{B})}{a \cdot b \cdot c}=\frac{a \cdot b \cdot \sin (\widehat{C})}{a \cdot b \cdot c}=\frac{b \cdot c \cdot \sin (\widehat{A})}{a \cdot b \cdot c} \Rightarrow \frac{\sin (\widehat{A})}{a}=\frac{\sin (\widehat{B})}{b}=\frac{\sin (\widehat{C})}{c}$ olur.

Bu ifadeden
$\frac{a}{\sin (\widehat{A})}=\frac{b}{\sin (\widehat{B})}=\frac{c}{\sin (\widehat{C})}$ olarak bulunur.