Toplama ve Çarpma Yöntemlerini Kullanarak Sayma 10. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. Sınıf Sayma ve Olasılık ünitesinde yer alan Toplama ve Çarpma Yöntemlerini Kullanarak Sayma konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Toplama ve Çarpma Yöntemlerini Kullanarak Sayma

Bir kümenin elemanlarını, pozitif tam sayılar kümesinin elemanlarıyla sıralayarak eşleme işlemine bire bir eşleme yoluyla sayma denir.

Sonlu ve ayrık kümelerin birleşiminin eleman sayısını bulmak için bu kümelerin eleman sayılarını toplarız. Bu yöntemle saymayı toplama yoluyla sayma olarak adlandırırız. A kümesi ve B kümesi sonlu ve ayrık küme olsun, o zaman $s(A\bigcup B)= s(A) + s(B)$

A kümesi ile B kümesinin elemanlarından oluşan A X B kümesinin elemanları olan (x, y) sıralı ikililerinin sayısı s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere $m . n$ adet olur. Sıralı ikililerin sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.

Saymanın Temel İlkesi

$\mathrm{k}$ tane olayın gerçekleştiği bir olaylar dizisinde birinci olay $\mathrm{n}_1$ farklı biçimde, ikinci olay $\mathrm{n}_2$ farklı biçimde ve bu şekilde devam edildiğinde $k$ ninci olay $n_k$ farklı biçimde gerçekleşiyorsa bu olayların tamamı $n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k$ çarpımı kadar farklı biçimde gerçekleşir.

$n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = n !$

Faktöriyel

$\mathrm{n} \in \mathbb{N}$ olmak üzere 1’den n’ye kadar ardışık tam sayıların çarpımına “n faktöriyel” veya “n çarpansal” denir ve $n!$ şeklinde gösterilir. Buna göre;
– $n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n$ olarak ifade edilir.
– $0 !=1$ ve $1 !=1$ olarak kabul edilir.
Birbirinden farklı $n$ tane nesne yan yana $n \cdot(n-1) \cdot(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=n$ ! farklı şekilde sıralanabilir.

Permütasyon (Sıralama)

n ve r birer doğal sayı ve $r \geq n$ olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n nin r li bir permütasyonu denir. Permütasyon sayısı ile farklı dizilişlerin sayısı olarak da adlandırılır.

n’in r’li permütasyonları, $P(n, r)$ ile gösterilir ve $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ ile hesaplanır.
Bununla birlikte, bazı özel durumlar vardır:
– $P(n, 0)=\frac{n !}{(n-0) !}=\frac{n !}{n !}=1$ olur. Çünkü hiç eleman seçilmediği zaman sadece bir tek diziliş vardır.
– $P(n, n)=\frac{n !}{(n-n) !}=\frac{n !}{0 !}=n$ ! olur. Bu durumda, n tane farklı elemanın yan yana diziliş sayısıdır ve n faktöriyel değerine eşittir.

Tekrarlı Permütasyon

$\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2+\mathrm{n}_3+\ldots+\mathrm{n}_{\mathrm{r}}=\mathrm{n}$ sayılarının toplamı $n$ olan bir durumda $\mathrm{n}$ tane nesnenin farklı permütasyonlarının sayısı hesaplanırken, özdeş nesnelerin bulunması durumunda farklı bir formül kullanılır.

$n_1$ tanesi aynı büyüklük ve özelliklere sahip olan bir nesne, $n_2$ tanesi aynı büyüklük ve özelliklere sahip bir başka nesne ve böyle devam eden $n_r$ tanesi özdeş ise bu $n$ tane özdeş nesne bulunsun ve $\frac{n_1}{n_{1} ! \cdot n_{2} ! \cdot n_{3} ! \cdot \ldots \cdot n_{r} !}$ olsun. Bu durumda, farklı permütasyonların sayısını hesaplamak için kullanılan formül şu şekildedir: $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdot \ldots \cdot n_r!}$ .

Kombinasyon (Seçim)

$A=\lbrace a,b,c \rbrace$ , kümesinin 2 elemanlı dizilişleri “ab, ba, ac, ca, bc, cb” şeklindedir. Aynı şekilde, 2 elemanlı alt kümeleri $\lbrace a,b \rbrace, \lbrace a,c\rbrace, \lbrace b,c\rbrace$ olarak sıralanır. Nesnelerin dizilişi permütasyon ile, r elemanlı alt kümelerin (gruplamaların) her biri ise kombinasyon ile ifade edilir.

A kümesinin r elemanlı alt kümelerine A kümesinin r’li kombinasyonu denir.
$n, r \in \mathbb{N}, n \geq r$ olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı $C(n,r)$ ya da $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ ile gösterilir.
$C(n,r) = \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) = \frac{n!}{r! . (n-r)!}$ şeklinde hesaplanır. Kombinasyon sayısı, farklı gruplamaların sayısını temsil eder. Kombinasyon sayısı, elemanların sıralamasını değil, elemanların seçilebilme sayısını önemser.

$\mathrm{n}, \mathrm{r} \in \mathbb{N}, \mathrm{n} \geq \mathrm{r}$ olmak üzere $\mathrm{n}$ elemanlı bir $\mathrm{A}$ kümesinin $\mathrm{r}$ elemanlı permütasyonlarının sayısı ile r elemanlı kombinasyonlarının sayısı arasında $P(n, r)=C(n, r) \cdot r$ ! eşitliği vardır.

n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayısı, $\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)=\frac{n !}{0 ! \cdot(n-0) !}=\frac{n !}{n !}=1 \quad(n \in \mathbb{N})$ n elemanlı bir kümenin $n$ elemanlı alt küme sayısı, $\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=\frac{n !}{n ! \cdot(n-n) !}=\frac{n !}{n ! \cdot 1}=1 \quad(n \in \mathbb{N})$ n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı alt küme sayısı, $\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)=\frac{n !}{1 ! \cdot(n-1) !}=\frac{n \cdot(n-1) !}{(n-1) !}=n \quad(n \in \mathbb{N}$ ve $n \geq 1)$

$n, r \in \mathbb{N}, n \geq r$ olmak üzere $C(n, r)=C(n, n-r)$ eşitliği vardır.

$n$ , bir kümenin eleman sayısı olmak üzere $\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=2^n$ olur.

Pascal Üçgeni

Pascal üçgeni, tepesinde 1 sayısıyla başlar.
Her bir satırdaki eleman sayısı, bir önceki satırdaki eleman sayısından 1 fazladır.
Her bir satır, 1 ile başlar ve 1 ile biter.
Diğer sayılar, bir üst satırdaki iki komşu sayının toplamıdır.
Pascal üçgeni, bu kurallara uygun olarak her satırda yeni sayılar ekleyerek devam eder.

Pascal üçgeni

Binom Açılımı

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ özdeşliği, birincinin karesi, artı birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, artı ikincinin karesi olarak ifade edilebilir.

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ özdeşliği, birincinin küpü artı üç tane birincinin karesi çarpı ikinci, artı üç tane birinci çarpı ikincinin karesi, artı ikincinin küpü olarak ifade edilebilir.

Ancak, $(a+b)^{10}$ ifadesinin açılımını çarpma yöntemiyle bulmak zor ve zaman alıcı olabilir. Bu tür durumlarda, kuvvetleri 4 ve 4’ten büyük olan ifadelerin açılımlarını bulmak için aşağıdaki yöntem daha uygun olur.

$x+y \neq 0$ ve $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $(x+y)^n$ ifadesinin,

$(x+y)^n=\underbrace{\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right) \cdot x^{n-0} \cdot y^0}_{\text {1. terim }}+\underbrace{\left(\begin{array}{c}n \\1\end{array}\right) \cdot x^{n-1} \cdot y^1}_{\text {2. terim }}+\underbrace{\left(\begin{array}{c}n \\2\end{array}\right) \cdot x^{n-2} \cdot y^2}_{\text {3. terim }}+\ldots+\underbrace{\left(\begin{array}{l}n \\n\end{array}\right) \cdot x^{n-n} \cdot y^n}_{(n+1) \cdot \text { terim }}$

şeklindeki açııımına binom açılımı denir.

$(r+1)$ . $(x+y)^n$ ifadesinin açılımında aynı zamanda sondan $(n-r+1)$ . terimdir. Burada $(r \leq n$ ve $r \in \mathbb{N})$ olmalıdır.

$(x+y)^n$ ifadesi $x$ üsleri azalan şekilde açıldığında baştan $(r+1)$ . terim $\left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right) \cdot x^{n-r} \cdot y^r$ olur.

$x+y \neq 0$ ve $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $(x+y)^n$ ifadesinin açılımında,
– $(n+1)$ tane terim bulunur.
– Her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n dir.
– Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.
– Sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.

$x, y \in \mathbb{R}$ ve $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $(x+y)^n$ ifadesinin $x$ in azalan kuvvetlerine göre açılımında:
– Baştan $(r+1)$ . terim $\left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)(x)^{n-r} \cdot(y)^r$ dir.
– Sondan $(r+1)$ . terim $\left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)(x)^r \cdot(y)^{n-r}$ dir.
– $n$ çift sayı ise $(x+y)^n$ açılımında, ortadaki terim bulunurken $r=\frac{n}{2}$ alınır. $n$ , tek sayı ise terim sayısı $n+1$ tane, yani çift sayıda olacağından ortadaki terim olmayacaktır.