Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Trigonometri ünitesinde yer alan Ters Trigonometrik Fonksiyonlar konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

$f: A \rightarrow B$ tanımlı bir $f$ fonksiyonun tersinin fonksiyon olabilmesi için bu fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.

Örneğin, $\sin x$, $\cos x$ ve $\tan x$ fonksiyonlarının grafiğini incelediğimizde, bu fonksiyonların herhangi bir yatay doğru üzerinde birebir olmadığını görürüz. Dolayısıyla, bu fonksiyonların ters fonksiyonları tam olarak tanım kümesinde bulunmaz.

Ancak, bu fonksiyonların tanım kümesinde birebir ve örten olan bir alt küme seçersek, bu alt kümede fonksiyonların tersi bulunabilir. Bu durumda, ters fonksiyonlar yalnızca belirli bir alt küme üzerinde tanımlı olacaktır.

1. $f(x) =\sin x$ Fonksiyonunun Tersi

$\sin x$ fonksiyonunun tanım kümesini $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ olarak seçtiğimizde, bu aralıkta fonksiyon birebir ve örten olur.

Fonksiyon grafiğinde görüldüğü gibi, $\sin x$ fonksiyonunun tanım kümesi  $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığında birebir ve örtelendir.

Bu durumda, $\sin x$ fonksiyonu $f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow[-1,1], f(x)=\sin x$ olarak tanımlanırken, $\mathrm{f}^{-1}:[-1,1] \rightarrow\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})=\arcsin x$ fonksiyonu $\sin x$ fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak adlandırılır.
Yani, $y=\arcsin x \Leftrightarrow x=\sin y$ şeklinde ifade edilebilir.

Küçük bir not;
$$\begin{aligned} \sin (\arcsin x)=x, x \in[-1,1] \\ \arcsin (\sin y)=y, y \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \end{aligned}$$

2. $g(x) =\cos x$ Fonksiyonunun Tersi

$\cos x$ fonksiyonunun tanım kümesini $[0, \pi]$ olarak seçersek, bu aralıkta fonksiyon birebir ve örten olur.
Grafikte görüldüğü gibi, $\cos x$ fonksiyonu $[0, \pi]$ aralığında birebir ve örtelenir. Bu durumda, $\cos x$ fonksiyonu $g:[0, \pi] \rightarrow[-1,1], g(x)=\cos x$ olarak tanımlandığında, $\mathrm{g}^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi], g^{-1}(x)=\arccos x$ fonksiyonu $\cos x$ fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak adlandırılır. Yani, $y=\arccos x \Leftrightarrow x=\cos y$ şeklinde ifade edilebilir.

Küçük bir not;
$$\begin{aligned} \cos (\arccos x)=x, x \in[-1,1] \\ \arccos (\cos y)=y, y \in[0, \pi] \end{aligned}$$

3. $h(x)=\tan x$ Fonksiyonunun Tersi

$\tan x$ fonksiyonu $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığında birebir ve örten bir fonksiyondur.
Grafiğinde görüldüğü gibi, $\tan x$ fonksiyonu $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığında birebir ve örtendir. Bu aralıkta $\tan x$ fonksiyonunun ters fonksiyonu bulunur.
$\tan x$ fonksiyonunu $h:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow\mathrm{R}, h(x)=\tan x$ olarak tanımlarsak, ters fonksiyonu $\mathrm{h}^{-1}: \mathrm{R} \rightarrow\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \mathrm{h}^{-1}(\mathrm{x})=\arcsin x$ şeklinde ifade edilir. $y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y$ ifadesi geçerlidir.