TAM SAYILARLA İŞLEM 7. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

7. Sınıf Tam Sayılarla İşlem konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Tam Sayılar

Tam sayılar, pozitif doğal sayıları, 0 sayısını ve negatif doğal sayıları içeren bir sayı grubudur. Pozitif doğal sayılar, sayma işlemleriyle ortaya çıkan doğal sayılardır. Örneğin, 1, 2, 3 gibi sayılar pozitif doğal sayılara örnektir. 0 sayısı ise hiçliği temsil eder, yani hiçbir şeyin olmadığını ifade eder. Negatif doğal sayılar ise pozitif doğal sayıların eksileridir. Örneğin, -1, -2, -3 gibi sayılar negatif doğal sayılara örnektir. Tam sayılar, bu üç grup sayıyı bir araya getirerek oluşturulmuştur. Tam sayılar, günlük yaşamda borçlar, sıcaklık farkları gibi durumları ifade etmek için kullanılır. Örneğin, -5 derece sıcaklık negatif bir tam sayıdır ve soğuk bir hava durumunu gösterir.

Tam Sayılarla Toplama İşlemi

Celsius ölçeği, sıcaklıkları suyun donma noktası olan 0 derece Celcius () ve kaynama noktası olan arasında ölçen bir sıcaklık ölçeğidir. Celsius termometresi, bu ölçeği kullanarak sıcaklık değerlerini ölçen bir termometredir.
Kelvin ölçeği ise sıcaklıkları suyun mutlak sıfır noktası olarak kabul edilen 0 Kelvin () ile suyun kaynama noktası olan 373 O K arasında ölçer. Kelvin termometresi, bu ölçeği kullanarak sıcaklık değerlerini ölçen bir termometredir.
Celsius dereceden Kelvin dereceye dönüşüm yaparken, Celsius dereceye  eklenir. Bu, sıcaklık değerini Celsius ölçeğinden Kelvin ölçeğine çevirmek için kullanılan bir formüldür.
Örneğin, 25 derece Celsius () olan bir sıcaklığı Kelvin dereceye çevirmek istediğimizde, ‘ye ekleyerek 298 Kelvin () elde ederiz.

ÖRNEK SORU: Bir sabah hava sıcaklığı (  olarak ölçülmüş olsun. Gün boyunca sıcaklık yükseliyor ve öğleden sonra ( artış gösteriyor. Şimdi, bu sıcaklık değişikliklerini tam sayılarla ifade ederek toplama işlemi yapalım.
ÇÖZÜM: Başlangıçta hava sıcaklığı ‘dir. Öğleden sonra sıcaklık  arttığına göre, olur. Bu şekilde, ‘ye eklediğimizde, sonuç olarak ’lik yeni bir sıcaklık elde ederiz.

Bu işlemi sayı doğrultusunda gösterelim;
Başlangıç noktası olarak 0’dan başlayarak, sağa doğru 3 birim ilerleyelim.
Bu noktadan tekrar sağa doğru 2 birim ilerleyelim.
Bu hareketi gerçekleştirdiğimizde, başlangıç noktasından +3 birim sağa ve ardından +2 birim daha sağa ilerlemiş oluruz.

Sonuçta, başlangıç noktasından +3 birim sağa ve +2 birim daha sağa ilerleyerek toplamda +5 birim sağa ilerlemiş oluruz.
Bu işlemi görsel olarak anlatmak için başlangıç noktasıyla son noktayı birleştirerek bir çizgi çizebiliriz. Bu çizgi, başlangıç noktasından başlayarak +5 birim sağa ilerlediğimizi gösterir.

ÖRNEK SORU: Bir dalgıç, deniz seviyesinin 3 metre altındadır. Daha sonra, 2 metre daha dalış yapar. Ardından, 3 metre daha dalış yapar. Dalgıcın bulunduğu derinlik kaç metredir?

ÇÖZÜM: Bu soruyu sayma pulları kullanarak ve sayı doğrusu üzerinde göstererek modelleyebiliriz. Başlangıç noktası olan -3’ü temsil eden bir pulluğumuz olsun. Önce 2 pulluk daha alarak aşağı doğru ilerleyelim ve sonra 3 pulluk daha alarak tekrar aşağı doğru ilerleyelim. Bu durumda, toplamda kaç pulluğumuz olur? Ve bunu sayı doğrusu üzerinde göstererek sonucu bulalım.
0’dan başlayarak sola doğru 3 birim ilerleyelim.
Bu noktadan sola doğru 2 birim daha ilerleyelim.
Daha sonra sola doğru 3 birim ilerleyelim.
Bu hareketi gerçekleştirdiğimizde, başlangıç noktasından 3 birim sola ve sonra 2 birim sola ardından da 3 birim sola ilerlemiş oluruz.
Başlangıç noktası ile geldiğimiz son noktayı birleştirerek işlemin sonucunu gösterelim.

İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken, sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret toplamın önüne yazılır.

Yani, iki negatif sayıyı toplarken, mutlak değerleri alıp toplarız. Sonuç negatif olacaktır. Örneğin, (-3) + (-6) işleminde, 3 ve 6’nın toplamı 9’dur ve işaretleri negatif olduğu için sonuç -9 olacaktır.

ÖRNEK SORU: Ayşe’nin 5 TL alacağı (+5) ve 3TL borcu (-3) olduğunu düşünelim. Toplam alacak ve borç durumunu (+5) + (-3) işlemi ile hesaplayalım.

ÇÖZÜM: 0’dan başlayarak sağa doğru 5 birim ilerleyelim.
Bu noktadan 3 birim sola doğru ilerleyelim. Çünkü “-” işareti, sayı doğrusunda sola doğru ilerlemektir. Bu hareketi gerçekleştirdiğimizde, başlangıç noktasından 5 birim sağa ve sonra 3 birim sola ilerlemiş oluruz.
Başlangıç noktası ile geldiğimiz son noktayı birleştirerek işlemin sonucunu gösterelim.

Farklı işaretli tam sayıları toplarken, sayıların mutlak değerlerine bakarız. Mutlak değeri küçük olan sayının mutlak değeri, mutlak değeri büyük olan sayının mutlak değerinden çıkarılır. Sonucun işareti ise mutlak değeri büyük olan sayının işaretidir.

Örneğin, +5 ve -3 sayılarını toplamak istediğimizde, önce mutlak değerlere bakarız. Mutlak değeri küçük olan -3 sayısının mutlak değeri 3’tür ve mutlak değeri büyük olan +5 sayısının mutlak değerinden çıkarılır. Sonuç olarak, 5 – 3 = 2 elde ederiz. Sonucun işareti ise mutlak değeri büyük olan +5 sayısının işaretidir, yani sonuç +2 olur.

Tam Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri

1. Toplama işleminde toplanan tam sayıların yerlerini değiştirdiğimizde, toplam sonucu değişmez. Örneğin, 3 + 5 ve 5 + 3 ifadeleri aynı sonucu verir. Bu durum, tam sayılarda “toplama işleminin değişme özelliği” olarak adlandırılır.
2. Toplama işlemi yaparken, tam sayıları farklı şekillerde gruplandırarak işlemi yapabiliriz. Örneğin, (2 + 3) + 4 ve 2 + (3 + 4) ifadeleri aynı sonucu verir. Bu durum, tam sayılarda “birleşme özelliği” olarak bilinir.
3. Bir tam sayı ile 0’ın toplamı, o tam sayıya eşittir. Yani, sayıya 0 eklemek veya onu toplama işlemine dahil etmek sonucu değiştirmez. Örneğin, 7 + 0 = 7 ve (-2) + 0 = (-2) gibi. Bu nedenle, 0 tam sayılarda toplama işleminin “etkisiz elemanı” olarak kabul edilir.
4. İki tam sayının toplamı, toplama işleminin etkisiz elemanını yani 0’ı veriyorsa, bu iki tam sayıya “birbirinin toplama işlemine göre tersidir” denir. Örneğin, 2 + (-2) = 0 olduğu için 2 tam sayısının toplama işlemine göre tersi -2’dir. Herhangi bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o tam sayının ters işaretlisidir.

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi

Tam sayılarda çıkarma işlemi, iki tam sayı arasındaki farkı bulmayı sağlar. Çıkarma işlemi, “-” (eksi) işaretiyle gösterilir.

Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

1. İşlemdeki ilk sayıya (çıkan) çıkarmak istediğimiz sayının (çıkaran) negatif değerini veririz.
2. İkinci sayıya ise negatif işaretiyle birlikte orijinal değerini veririz.
3. Bu şekilde, çıkarma işlemi toplama işlemine dönüşür.

Örneğin, (+7) – (+5) işlemini ele alalım:

• İlk sayı olan 7, 5’in negatif değeri olan -5 ile değiştirilir.
• İkinci sayı olan 5 ise negatif işaretiyle birlikte aynı kalır.
• Bu durumda, çıkarma işlemi 7 + (-5) şeklinde bir toplama işlemine dönüşür.
• Toplama işlemi yaparak, sonucu elde ederiz: 7 + (-5) = 2

Çıkarma işleminde, işaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken olduğu gibi, sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret toplamın önüne yazılır. İşaretleri farklı olan tam sayılarda ise işlemin toplama işlemine dönüştüğünü ve mutlak değeri büyük olan sayının işaretinin sonucun önüne yazıldığını unutmayalım.

ÖRNEK SORU: Ali’nin Ayşe ve Mehmet’e toplam 8 TL borcu vardır. Ali’nin Ayşe’ye olan borcu 5 TL ise Mehmet’e olan borcunun matematiksel olarak nasıl ifade edildiğini bulalım.

ÇÖZÜM: Sıfırdan başlayarak sola doğru 8 birim ilerleyelim. Geldiğimiz nokta -8’dir. -5 negatif bir tam sayı olduğu için sayı doğrusunda sola doğru hareket etmeliyiz. Ancak çıkarma işlemi yaptığımız için yönümüzü değiştirelim. Bulunduğumuz -8 noktasından sağa doğru 5 birim ilerleyelim. Geldiğimiz nokta işlemin sonucudur. Başlangıç noktası ile geldiğimiz son noktayı birleştirerek işlemin sonucunu gösterelim.

Tam Sayılarla Çarpma İşlemi

Tam sayıların çarpma işlemi, sayıların değerlerini çarparak yeni bir sonuç elde etmemizi sağlar. Çarpma işlemi sırasında, sayıların işaretleri ve mutlak değerleri önemli bir rol oynar. Pozitif ve negatif tam sayıların çarpma işlemi, belirli kurallara göre sonuçlar üretir.

1. Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının çarpımı, her zaman negatif bir tam sayıyı verir. Örneğin, +3 ile -2’nin çarpımı -6’dır. Burada, pozitif bir sayı olan 3, negatif bir sayı olan -2 ile çarpıldığı için sonuç negatif (-6) olur.
2. Negatif bir tam sayı ile pozitif bir tam sayının çarpımı da her zaman negatif bir tam sayıyı verir. Örneğin, -4 ile +5’in çarpımı -20’dir. Negatif sayı -4, pozitif sayı +5 ile çarpıldığında sonuç negatif (-20) olur.
3. Negatif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının çarpımı ise her zaman pozitif bir tam sayıyı verir. Örneğin, -3 ile -2’nin çarpımı +6’dır. İki negatif sayının çarpımı pozitif bir sayı (+6) olduğu için sonuç pozitiftir.
4. Aynı işarete sahip iki tam sayının çarpımı her zaman pozitif bir tam sayıdır, ters işarete sahip iki tam sayının çarpımı ise her zaman negatif bir tam sayıdır. Örneğin, +2 ile +3’ün çarpımı +6’dır ve -2 ile -3’ün çarpımı -6’dır.

Tam Sayılarla Çarpma İşleminin Özellikleri

1. Tam sayılarla çarpma işleminde, sayıların yerlerini değiştirdiğimizde sonuç değişmez. Yani, çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Örneğin, 3 ile 4’ü çarptığımızda elde ettiğimiz sonuç 12’dir. Ancak, sayıları yer değiştirip 4 ile 3’ü çarptığımızda yine aynı sonucu elde ederiz.
2. Tam sayılarda çarpma işlemini farklı şekillerde gruplandırdığımızda sonuç değişmez. Bu da çarpma işleminin birleşme özelliğini gösterir. Örneğin, (2 x 3) x 4 işlemini yaparken sayıları önce 2 ve 3’ü çarparız, sonucu 6 elde ederiz. Ardından 6 ile 4’ü çarparız ve sonuç olarak yine 24 elde ederiz. Ancak, sayıları farklı şekilde gruplandırıp (3 x 4) x 2 işlemini yaparsak yine aynı sonucu elde ederiz.
3. Bir tam sayının 1 ile çarpımı o sayıya eşittir. Yani, çarpma işleminde 1 etkisiz elemandır. Örneğin, 5 x 1 = 5’dir.
4. Bir tam sayının 0 ile çarpımı her zaman 0’dır. Yani, çarpma işleminde 0 yutan elemandır. Örneğin, 8 x 0 = 0’dır.
5. Bir tam sayıyla -1 çarpıldığında, sayının işareti değişir. Elde edilen sonuç, sayının çarpma işlemine göre tersidir. Örneğin, (-3) x (-1) = 3’dür.
6. Tam sayılarda çarpma işlemi toplama işlemine dağılır. Yani, bir tam sayının parantez içindeki toplama işlemine çarpmakla çarpma işlemini parantez içindeki sayılara uygulamak aynı sonucu verir. Örneğin, 2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4) = 14’dür.
7. Tam sayılarda çarpma işlemi çıkarma işlemine de dağılır. Yani, bir tam sayının parantez içindeki çıkarma işlemine çarpmakla çarpma işlemini parantez içindeki sayılara uygulamak aynı sonucu verir. Örneğin, 5 x (8 – 3) = (5 x 8) – (5 x 3) = 25’dir.

Tam Sayılarla Bölme İşlemi

Aynı işarete sahip olan iki tam sayının birbirine bölünmesi sonucunda pozitif bir sayı elde edilir. Örneğin, 12’nin 3’e bölünmesi sonucunda 4 elde ederiz.

Ters işarete sahip olan iki tam sayının birbirine bölünmesi sonucunda ise negatif bir sayı elde edilir. Örneğin, -15’in -5’e bölünmesi sonucunda 3 elde ederiz.

1. Bir tam sayı, sıfırdan farklı bir tam sayıya bölündüğünde sadece işaret değişir. Örneğin, 8’in -2’ye bölünmesi sonucunda -4 elde ederiz.
2. Sıfır, sıfırdan farklı bir tam sayıya bölündüğünde sonuç sıfırdır. Örneğin, 0’ın 6’ya bölünmesi sonucunda 0 elde ederiz.
3. Sıfırdan farklı bir tam sayıyı sıfıra böldüğümüzde ise sonuç tanımsızdır. Bu durumda matematiksel olarak bir değer elde edemeyiz.
4. Sıfırdan farklı bir tam sayıyı 1’e böldüğümüzde ise sonuç o tam sayının kendisine eşittir. Örneğin, 10’un 1’e bölünmesi sonucunda 10 elde ederiz.

Tam Sayıların Kuvveti

Tam sayıların kuvveti, bir tam sayının kendisiyle çarpma işlemiyle tekrarlanan çarpmaları ifade eder.

Bir tam sayıyı kuvvet olarak ifade etmek için genellikle “taban” ve “üs” terimlerini kullanırız. Taban, kuvvetin üzerine çarpma işleminin uygulanacağı tam sayıdır, üs ise kaç kez çarpmak istediğimizi belirtir.

Örneğin, şeklinde ifade edilen işlemde 2 taban, 3 ise üstür. Bu işlemi yaparken 2’yi 3 kez kendisiyle çarparız: sonuç olarak, elde ederiz.

Tam sayıların kuvvetiyle ilgili bazı önemli özellikler şunlardır:

• Pozitif bir tam sayının pozitif bir üssü, tabanın üssü kadar kendisiyle çarpılması anlamına gelir. Örneğin;
• Pozitif bir tam sayının sıfır üssü ise her zaman 1’e eşittir. Örneğin;
• Pozitif bir tam sayının negatif bir üssü ise sonuç ondalık bir kesir olur. Örneğin;

Tabanı pozitif bir tam sayı olan doğal sayı kuvvetleri her zaman pozitif bir tam sayıdır. Ancak, tabanı negatif bir tam sayı olan kuvvetlerin sonucu, üssün tek veya çift olmasına bağlı olarak değişir. Tek üssü olan kuvvetler negatif bir tam sayıyı verirken, çift üssü olan kuvvetler pozitif bir tam sayıyı verir.

Örneğin, pozitif bir tam sayıdır. 3, doğal sayı ve taban 2, pozitif bir tam sayı olduğu için sonuç pozitiftir. Ancak, negatif bir tam sayıdır. Üs olan 3 tek olduğu için sonuç negatif olur. Aynı şekilde, pozitif bir tam sayıdır. Üs olan 4 çift olduğu için sonuç pozitiftir.

1’in herhangi bir doğal sayı kuvveti her zaman 1’e eşittir. Örneğin, , gibi. Benzer şekilde, (-1)’in çift doğal sayı kuvvetleri her zaman pozitif bir tam sayı olan 1’i verir. Örneğin, , gibi. Ancak, (-1)’in tek doğal sayı kuvvetleri ise negatif bir tam sayı olan -1’i verir. Örneğin, , gibi.

Önemli; ve iki işlem bir birine eşit değildir.