RASYONEL SAYILAR 7. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

7. Sınıf Rasyonel Sayılar konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, a ve b tam sayıları olmak üzere $b\neq 0$ koşulunu sağlayan $\frac{a}{b}$ şeklinde ifade edilebilen sayılardır. Rasyonel sayılar $\mathbb{Q}$ sembolü ile gösterilir.
Negatif rasyonel sayılar, sayı doğrusunda 0'dan daha küçük olan rasyonel sayılardır ve $\mathbb{Q}^-$ ile gösterilir.
Pozitif rasyonel sayılar ise sayı doğrusunda 0'dan daha büyük olan rasyonel sayılardır ve $\mathbb{Q}^+$ ile gösterilir.

Her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır.

Negatif rasyonel sayılarda eksi işaretinin, payın, kesir çizgisinin veya paydanın önüne yazılması, rasyonel sayının değerini değiştirmez. Yani, eksi işaretinin yerini değiştirmek, sayının anlamını veya değerini etkilemez. Örneğin, $\frac{-3}{4}$, $\frac{3}{-4}$.

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimleri

Negatif rasyonel sayılarda, eksi işareti payı paydaya böldükten sonra bölümün önüne yazılır. Yani, payın veya paydanın önünde yer alır. Örneğin, $\frac{-3}{4}$, payı 3 ve paydayı 4 olan bir negatif rasyonel sayıyı temsil eder. Eksi işareti, rasyonel sayının negatif olduğunu belirtmek için kullanılır ve bölüm işaretinin önünde bulunur. Bu şekilde, rasyonel sayının değerini belirleriz.

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime dönüştürürken, bölümün ondalık kısmında tekrar eden sayılar olabilir. Bu tür ondalık gösterimlere "devirli ondalık gösterimler" denir.

Bir örnek vermek gerekirse, 1/3 sayısını ondalık gösterime dönüştürelim. $\frac{1}{3} = 0.333333... = 0,\overline{3}$ şeklinde ifade edilebilir. Burada 3'lerin ardışık olarak tekrar ettiğini görüyoruz. Bu nedenle, 3’ün üzerine çizgi konulur

Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak yazmak için;

$\text {Devirli Ondalık Gösterim} =\frac{\text { Sayının tümü - Devretmeyen kısım }}{\text { Virgülden sonraki devreden her bir basamak için 9, devretmeyen her bir basamak için 0 }}$

Örneğin; $69,7\overline{12} = \frac{69712 - 697}{990}$

Rasyonel Sayılarda Sıralama

Pozitif rasyonel sayılar, 0'dan uzaklaştıkça büyür. Yani, sayı doğrusunda 0'dan uzaklaştıkça, pozitif rasyonel sayıların değerleri artar.
Aynı paydaya sahip olan pozitif rasyonel sayılar arasında, payı daha büyük olan rasyonel sayı, daha büyük bir değere sahiptir. Yani, eğer iki pozitif rasyonel sayının paydaları aynı ise, payı daha büyük olan sayı, daha büyük bir değere sahip olur.
Örneğin, $\frac{1}{2}$  ve $\frac{3}{2}$  pozitif rasyonel sayılarına bakalım. Her iki sayının paydası da 2'dir. Ancak, payı 3 olan $\frac{3}{2}$ sayısı, payı 1 olan $\frac{1}{2}$ sayısından daha büyük bir değere sahiptir.

Negatif rasyonel sayılar, sayı doğrusunda 0'a yaklaştıkça büyür. Yani, negatif rasyonel sayılar 0'a yaklaştıkça değerleri artar.
Aynı paydaları olan negatif rasyonel sayılar arasında, payı daha küçük olan sayı, daha büyük bir değere sahiptir. Yani, eğer iki negatif rasyonel sayının paydaları birbirine eşitse, payı daha küçük olan sayı, daha büyük bir değere sahip olur.
Örnek vermek gerekirse, $\frac{-1}{2}$  ve $\frac{-3}{2}$  negatif rasyonel sayılarına bakalım. Her iki sayının da paydası 2'dir. Ancak, payı -3 olan $\frac{-3}{2}$ sayısı, payı -1 olan $\frac{-1}{2}$ sayısından daha küçük bir değere sahiptir.

Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda, paydası küçük olan rasyonel sayı daha büyüktür.
Bir örnek vermek gerekirse, $\frac{1}{3}$  ve $\frac{1}{5}$  pozitif rasyonel sayılarını ele alalım. Her iki sayının da payı 1'dir. Ancak, $\frac{1}{3}$  'ün paydası 3 iken, $\frac{1}{5}$  'in paydası 5'tir. Paydası daha küçük olan $\frac{1}{3}$ , paydası daha büyük olan $\frac{1}{5}$ 'ten daha büyük bir değere sahiptir.

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılarda, paydası büyük olan rasyonel sayı daha büyüktür.
Bir örnek vermek gerekirse, $\frac{-1}{3}$  ve $\frac{-1}{5}$  negatif rasyonel sayılarını ele alalım. Her iki sayının da payı -1'dir. Ancak, $\frac{-1}{3}$ 'ün paydası 3 iken, $\frac{-1}{5}$ 'in paydası 5'tir. Paydası daha büyük olan $\frac{-1}{5}$ , paydası daha küçük olan $\frac{-1}{3}$'ten daha büyük bir değere sahiptir.

Kesirli sayılar arasında işlem yaparken, payları veya paydaları eşitlenerek sıralama yapmak işlemi kolaylaştırır.
Örnek olarak, $\frac{2}{3}$ ve , $\frac{5}{7}$ rasyonel sayılarını ele alalım. Payları ve paydaları farklı olduğu için doğrudan karşılaştırma yapmak zor olabilir. Ancak, payları veya paydaları eşitlenerek sıralama yapabiliriz.
Payları eşitlemek için $\frac{2}{3}$  kesrini 7 ile çarparız, $\frac{5}{7}$ kesrini ise 3 ile çarparız. Bu durumda $\frac{14}{21}$ ve $\frac{15}{21}$ kesirlerini elde ederiz. Sonuç olarak, $\frac{5}{7}$ kesri $\frac{2}{3}$ kesrinden daha büyüktür.

 Rasyonel sayıları karşılaştırırken, sayıların 0'a, 1'e, -1'e ve yarıma yakınlıklarından da yararlanabiliriz. Bu yakınlıklar, sayıların büyüklüklerini ve ilişkilerini daha iyi anlamamızı sağlar.
Örneğin, bir pozitif rasyonel sayı 0'a yaklaşıyorsa, sayı daha küçük bir değere sahip olur. Örneğin, $\frac{1}{1000}$ ve $\frac{1}{10}$ sayılarını ele alalım. İkisi de pozitif rasyonel sayılardır, ancak $\frac{1}{1000}$ 0'a daha yakındır. Bu nedenle, $\frac{1}{1000}$ daha küçük bir değere sahiptir.
Negatif rasyonel sayılarda da aynı prensipler geçerlidir. Bir negatif rasyonel sayı -1'e yaklaşıyorsa, sayı daha büyük bir değere sahiptir. Örneğin, $-\frac{1}{10}$ ve $-\frac{1}{1000}$ sayılarını ele alalım. İkisi de negatif rasyonel sayılardır, ancak $-\frac{1}{10}$ -1'e daha yakındır. Bu nedenle, $-\frac{1}{10}$ daha büyük bir değere sahiptir.
Yarıma yakınlık da karşılaştırmada faydalıdır. Bir sayı yarıya daha yakınsa, büyüklük olarak diğer sayıdan daha küçüktür. Örneğin, $\frac{1}{2}$ ve $\frac{3}{4}$ sayılarını ele alalım. İkisi de pozitif rasyonel sayılardır, ancak $\frac{1}{2}$ yarıya daha yakındır. Bu nedenle, $\frac{1}{2}$ daha küçük bir değere sahiptir.