Polinomlarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme 10. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. Sınıf Polinomlar ünitesinde yer alan Polinomlarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Polinomlarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Polinomlarla toplama ve çıkarma işlemlerinde, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.
Örneğin a, b \in \mathbf{R} olmak üzere,
\mathrm{P}(\mathrm{x}) polinomunun bir terimi \mathrm{a} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}}, \mathrm{Q}(\mathrm{x}) polinomunun bir terimi \mathrm{b} \cdot \mathrm{x}^{\mathrm{m}} ise,
a \cdot x^m+b \cdot x^m=(a+b) \cdot x^m terimi P(x)+Q(x) polinomunun bir terimidir.
a \cdot x^m-b \cdot x^m=(a-b) \cdot x^m terimi P(x)-Q(x) polinomunun bir terimidir.

Polinomlarla Çarpma İşlemi

P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) Q(x) işlemi yapılırken P(x) polinomunun her bir terimi Q(x) polinomunun her bir terimiyle çarpılır ve elde edilen ifadelerin cebirsel toplamı x’in azalan ya da artan kuvvetlerine göre sıralanarak yazılır. Örneğin P(x) polinomuna ait herhangi bir terim a . x^m ve Q(x) polinomuna ait herhangi bir terim b . x^n ise a . x^m . b x^n = a . b . x^m+ n terimi P(x) . Q(x) polinomunun bir terimidir.
P(x) \ne 0 ve Q(x) \ne 0  olmak üzere,
der [P(x)] = m ve der [Q(x)] = n à der [P(x) . Q(x)] = m+ n olur.

Polinomlarla Bölme İşlemi

P(x) ve Q(x) \neq 0 polinomları için \operatorname{der}[P(x)] \geq \operatorname{der}[Q(x)] \geq 1 koşulu sağlandığında, P(x) polinomunun \mathrm{Q}(\mathrm{x}) polinomu ile bölümü aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Polinom bölünme

P(x) : Bölünen polinom,
Q(x) : Bölen polinom,
B(x) : Bölüm polinomu,
K(x) : Kalan polinomudur.

Verilen bölme işleminde
– \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{Q}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{B}(\mathrm{x})+\mathrm{K}(\mathrm{x}) eşitliği bölme eşitliği olarak adlandırılır.
– \mathrm{K}(\mathrm{x})=0 ise \mathrm{P}(\mathrm{x}) polinomu \mathrm{Q}(\mathrm{x}) polinomuna tam (kalansız) bölünür.
– \operatorname{der}[K(x)]<\operatorname{der}[Q(x)] şeklinde bir ilişki vardır.
– \operatorname{der}[B(x)]=\operatorname{der}[P(x)]-\operatorname{der}[Q(x)] olarak hesaplanır.

Polinomlarda bölme işlemi aşağıdaki adımlara göre gerçekleştirilir:

  1. Bölünen ve bölen polinomlar, değişkenin kuvvetlerine göre azalan sırayla yazılır.
  2. Bölünen polinomun en yüksek dereceli terimi, bölen polinomun en yüksek dereceli terimine bölünür ve sonuç, bölüm polinomunun ilk terimi olarak yazılır.
  3. Bölüm polinomunun ilk terimi, bölen polinomla çarpılır ve bu ifade, bölünen polinomdan çıkarılır.
  4. Yukarıdaki işlemler, çıkarma işlemi sonucunda elde edilen her polinoma uygulanır, ancak kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar devam eder.

Ayrıca, aşağıdaki bilgiler de bölme işlemiyle ilgili önemli noktaları açıklar:

  • Bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan, P(a) olarak ifade edilir.
  • Eğer P(a) = 0 ise, (x – a) P(x) polinomunun bir çarpanıdır.
  • P(x) polinomunun x = a için P(a) = 0 olması durumunda, x = a sayısı P(x) polinomunun sıfırı (bir kökü) olarak adlandırılır.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.