Önermeler ve Bileşik Önermeler 9. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

9. Mantık ünitesinde yer alan Önermeler ve Bileşik Önermeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Önermeler ve Doğruluk Değeri

Önerme, doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilen bir ifadedir. Önerme, bir durumu ya da bir olayı açıklamak veya belirtmek için kullanılan bir cümledir. Genellikle P, Q, R gibi harflerle temsil edilir. Örneğin, “2+2=4” bir önermedir çünkü bu ifade matematiksel olarak doğru bir eşitliği ifade etmektedir. Ancak, “Hava güzel” bir önerme değildir çünkü bu ifade doğru veya yanlış olarak nitelendirilemez, çünkü hava güzel olabilir veya olmayabilir.

Doğruluk değeri, bir önermenin doğru veya yanlış olduğunu belirtir. Bir önerme doğru ise doğru değeri, yanlış ise yanlış değeri alır. Örneğin, “5+3=9” önermesi yanlıştır çünkü matematiksel olarak doğru değildir, bu yüzden yanlış değeri vardır. Ancak, “4<7” önermesi doğrudur çünkü bu ifade matematiksel olarak doğru bir eşitsizliği ifade eder, bu yüzden doğru değeri vardır.

Önermeler kesin bir hüküm bildiren ifadelerdir ve doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilirler. Ancak, soru, istek, emir, hayret, ünlem gibi anlamlar içeren ifadeler önerme değildir. Bu tür ifadeler, bir durumu veya olayı açıklamak yerine bir soru sormak, bir istekte bulunmak, bir emir vermek, bir hayret ifade etmek veya bir ünlem kullanmak gibi amaçlarla kullanılırlar. Önerme olabilmesi için kesin bir hüküm içermesi gerekmektedir.

İki Önermenin Denkliği

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere verilen bir isimdir. Eğer p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynıysa, buna p = q şeklinde ifade ederiz ve “p, q’ya denktir” şeklinde okuruz. Yani, p denktir q ifadesi, p ve q’nun aynı doğruluk değerine sahip olduğunu ifade eder.
Bir önermenin doğruluk değeri doğru ise bunu p = 1 şeklinde ifade ederiz, yanlış ise p = 0 olarak gösteririz. Örneğin, bir önerme p’nin doğruluk değeri doğru ise p = 1, yanlış ise p = 0 olarak kabul edilir.

Bir Önermenin Değili

Bir önermenin olumsuzu, önermenin hükmünün olumsuzunu alarak yeni bir önerme oluşturur. Bu yeni önerme, orijinal önermenin olumsuzu veya değili olarak adlandırılır. Bir önerme p’nin olumsuzunu veya şeklinde gösterebiliriz ve “p’nin olumsuzu” şeklinde okuyabiliriz.
Örneğin, eğer p = 1 ise p’nin olumsuzu olarak ifade edilir. Benzer şekilde, eğer q = 0 ise q’nun olumsuzu olarak kabul edilir.

Bileşik Önermeler

Bileşik önermeler, birden fazla önermenin birleştirilmesiyle oluşan ifadelerdir. Bu ifadeler, mantıksal bağlaçlar veya işleçler kullanılarak oluşturulur. Bileşik önermeler, birden çok önermeyi bir araya getirerek daha karmaşık ifadeler oluşturma imkanı sunar.

Birleşik önermeler, “ve”, “veya”, “ya da”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla veya işleçlerle oluşturulur. Bu bağlaçlar veya işleçler, önermeleri birbirine bağlayarak anlamı değiştirir ve yeni bir bileşik önerme oluşturur.

“ve” Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler

p ve q önermelerinin “ve” bağlacıyla birleştirilmesi sonucunda oluşan bileşik önermeye “p ve q” bileşik önermesi denir. Bu bileşik önerme şeklinde gösterilir. bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de doğru olması durumun da doğru, diğer durumlarda yanlış olur.
Örneğin, p önermesi “Bugün güneşli” ve q önermesi “Hava sıcak” olsun. Bu durumda, p ve q bileşik önermesi “Bugün güneşli ve hava sıcak” şeklinde ifade edilir. Eğer bugün hem güneşli hem de hava sıcak ise, p ve q doğru olur ve doğru olur. Ancak, ya bugün güneşli değilse ya da hava sıcak değilse, p ve q yanlış olur ve yanlış olur.

“ve” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri üç farklı özelliği vardır. Bunlar;

Tek kuvvet özelliği olarak bilinen özelliğe göre, doğruluk tablosunda görüldüğü gibi herhangi bir p önermesi için tir. geçerlidir. Yani, bir önermenin kendisiyle “ve” bağlacıyla birleşmesi sonucunda aynı önerme elde edilir.

Değişme özelliği olarak adlandırılan bir diğer özellik ise doğruluk tablosuna bakıldığında herhangi iki önerme p ve q için   olduğudur. Yani, “ve” bağlacıyla birleştirilen iki önerme arasında sıralama değiştirilebilir, sonuç değişmez.

Birleşme özelliği olarak bilinen özelliğe göre, doğruluk tablosuna bakıldığında herhangi üç önerme p, q ve r için e şitliği geçerlidir. Yani, “ve” bağlacıyla birleştirilen üç önerme arasında parantezlerin konumu değiştirilebilir, sonuç değişmez.
Diğer bir özelliğe göre, herhangi bir p önermesi için ifadesi doğrudur. Yani, bir önerme ile onun olumsuzu “ve” bağlacıyla birleştirildiğinde sonuç her zaman yanlış (0) olur.
Aynı şekilde, bir p önermesi ile 0 (yanlış) önermesi “ve” bağlacıyla birleştirildiğinde sonuç her zaman yanlış (0) olur: .
Ancak, bir p önermesi ile 1 (doğru) önermesi “ve” bağlacıyla birleştirildiğinde sonuç her zaman p önermesine eşit olur: .

“veya” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermeler

“p veya q” bileşik önermesi, p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile birleştirilmesi sonucunda oluşan ifadedir ve şeklinde gösterilir. önermesinin doğruluk tablosu, p ve q önermelerinin her ikisinin de yanlış olduğu durumda yanlış, diğer tüm durumlarda ise doğru olur.

Örneğin, p önermesi “Bugün hava güneşli” ve q önermesi “Yarın yağmur yağacak” olsun. Bu durumda,  bileşik önermesi “Bugün hava güneşli veya yarın yağmur yağacak” şeklinde ifade edilir. Eğer bugün hava güneşli değilse ve yarın da yağmur yağmayacaksa, yani hem p hem de q yanlış ise, p v q yanlış olur. Ancak, ya bugün hava güneşliyse ya da yarın yağmur yağacaksa, yani en azından biri doğru ise, doğru olur.

“veya” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri üç farklı özelliği vardır. Bunlar;

Tek kuvvet özelliği olarak bilinen özelliğe göre, doğruluk tablosuna bakıldığında herhangi bir p önermesi için eşitliği geçerlidir. Yani, bir önermenin kendisiyle “veya” bağlacıyla birleşmesi sonucunda aynı önerme elde edilir.

Değişme özelliği olarak adlandırılan bir diğer özellik ise doğruluk tablosuna bakıldığında herhangi iki önerme p ve q için   olduğudur. Yani, “ve” bağlacıyla birleştirilen iki önerme arasında sıralama değiştirilebilir, sonuç değişmez.

Birleşme özelliği olarak bilinen özelliğe göre, doğruluk tablosuna bakıldığında, herhangi üç önerme p, q ve r için eşitliği geçerlidir. Bu özelliğe “veya”nın birleşme özelliği denir.

Ayrıca, herhangi bir p önermesi için ifadesi doğrudur. Yani, bir önerme ile onun olumsuzu “veya” bağlacıyla birleştirildiğinde sonuç her zaman doğru (1) olur.

Benzer şekilde, bir p önermesi ile 0 (yanlış) önermesi “veya” bağlacıyla birleştirildiğinde sonuç her zaman p önermesine eşit olur: .

Ancak, bir p önermesi ile 1 (doğru) önermesi “veya” bağlacıyla birleştirildiğinde sonuç her zaman doğru (1) olur: .

“ve” nin “veya” Üzerine Dağılma Özelliği

Doğruluk tablosundan herhangi üç önerme p, q ve r için eşitliği geçerlidir. Bu özelliğe “ve” nin “veya” üzerine soldan dağılma özelliği denir.
Bu özellik, “ve” ve “veya” bağlaçlarının birlikte kullanıldığı ifadelerde, p önermesiyle q ve r önermelerinin “veya” bağlacıyla birleştirilip sonra “ve” bağlacıyla p önermesiyle birleştirilmesi durumunda sonucun değişmediğini gösterir.

“veya” nın “ve” Üzerine Dağılma Özelliği

Doğruluk tablosuna baktığımızda, herhangi üç önerme p, q ve r için şitliği geçerlidir. Bu özelliğe “veya” nın “ve” üzerine soldan dağılma özelliği denir.

Bu özellik, “veya” ve “ve” bağlaçlarının birlikte kullanıldığı ifadelerde, p önermesiyle q ve r önermelerinin “ve” bağlacıyla birleştirilip sonra “veya” bağlacıyla p önermesiyle birleştirilmesi durumunda sonucun değişmediğini gösterir.

DE Morgan Kuralları

De Morgan kuralları da doğruluk tablosuna baktığımızda her p, q önermesi için   ve eşitlikleri geçerlidir. Bu kurallara De Morgan kuralları denir.
De Morgan kuralları, bir önermenin olumsuzunu alırken “ve” ve “veya” bağlaçlarının yerini değiştirir ve önermelerin olumsuzlarını birleştirir. Bu kurallar, önermelerin doğru değerlerini koruyarak ifadelerin dönüşümünü kolaylaştırır ve mantıksal işlemlerde kullanılır.

“ya da” Bağlacı ile Oluşan Bileşik Önermeler

p ile q bileşik önermesi, p ve q önermelerinin “ya da” bağlacıyla birleştirilmesiyle oluşan ifadedir. Bu bileşik önerme şeklinde gösterilir. önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.
Bu ifade, “ya da” bağlacıyla birleştirilen iki önermenin doğruluk değerlerine dayanır. Eğer p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise (her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlış), o zaman önermesi yanlış (0) olur. Ancak, doğruluk değerleri farklı ise (birisi doğru, diğeri yanlış), önermesi doğru (1) olur.

“ya da” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri üç farklı özelliği vardır. Bunlar;

Değişme özelliği olarak bilinen özellik, doğruluk tablosuna bakıldığında herhangi iki önerme p ve q için   şitliğinin geçerli olduğunu gösterir. Bu özellik, “ya da” bağlacının önermeler arasında yer değiştirebileceğini ifade eder.
Yani, p ve q önermeleri arasında “ya da” bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme, önermelerin sırasını değiştirerek aynı sonucu verir. Bu, “ya da” bağlacının yer değiştirme özelliğini yansıtır.

Doğruluk tablosuna baktığımızda herhangi üç önerme p, q ve r için eşitliğinin geçerli olduğunu görüyoruz. Bu özelliğe “ya da”nın birleşme özelliği denir.
Ayrıca, herhangi bir p önermesi için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

• 
• 
• 
• 

Bu eşitlikler, “ya da” bağlacının önermelerin olumsuzlarıyla birleştirildiğinde nasıl davrandığını gösterir. Önermeyle onun olumsuzu “ya da” bağlacıyla birleştirdiğimizde farklı doğruluk değerleri elde ederiz. Ayrıca, bir önermeyle kendisini “ya da” bağlacıyla birleştirdiğimizde her zaman yanlış (0) sonucunu elde ederiz.