Mantık konu anlatımı

Önermeler ve birleşik önermeler

Kesin hüküm bildiren cümleler, kesinlikle doğru ya da kesinlikle yanlıştır.
Ankara, Türkiye’nin başkentidir. cümlesi kesin hüküm bildiren doğru bir cümledir.

Önerme nedir?

Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren bu cümlelere önerme denir.
Önermeler p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir.

Doğruluk durumu nedir?

Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu önermenin doğruluk durumu ile ilgilidir. Mantık konusunda doğru önermelere 1, yanlış önermelere 0 değerini veririz.

n farklı önermenin doğruluk durumu?

  • Her önermenin doğruluk durumu 1 veya 0 şeklinde iki değer alabilir, farklı önermelerin birlikte doğruluk durumunu hesaplamak için Matematik Formülü formülü kullanılır.
  • n tane önermenin birlikte Matematik Formülü tane doğruluk durumu vardır.

İki önermenin denkliği nedir?

  • Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler
    denir.
  • p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise Matematik Formülü şeklinde gösterilir ve “p denktir q” diye okunur.

Bir önermenin değili

  • Bir önermenin değerinin olumsuzu alınarak oluşturulan yeni önermeye bu önermenin değili: (olumsuzu) denir. p önermesinin değili Matematik Formülü ile gösterilir ve “p nin değili” şeklinde okunur.
  • p önermesinin değeri 0 diye kabul edelim. p önermesinin değili 1 olur, p önermesinin değilinin değili is 0 olur. Bu durumu uzatmak sizin elinizde her değilini aldığınızda önermenin değeri diğer duruma geçer.

Matematik Formülü

Matematik Formülü olur.


Bileşik önermeler

İki veya daha fazla önermenin “ve“, “veya“, “ya da“, “ise“,”ancak ve ancak” bağlaçlarından en az biri ile birbirine bağlanmasıyla oluşturulan yeni önermelere bileşik önermeler denir.

“ve” bağlacı ile kurulan bileşik önermeler

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p ve q” bileşik önermesi denir ve Matematik Formülü şeklinde gösterilir. Matematik Formülü önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. Matematik Formülü bileşik önermesinin doğruluk değeri,

p ve q önermelerinin her ikisinin de doğru olması durumunda doğru olur, diğer durumlarda yanlış olur.

qpMatematik Formülü
111
100
010
000
ve bağlacı önermeler tablosu

“ve” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri

Bu özellikler karmaşık önermeleri çözümlerken kullanırlır. Çok temel bilgilerdir ve çok iyi bilinmelidirler.

  • Tek Kuvvet Özelliği
    • her p önermesi için Matematik Formülü tir (p ve p p’ye denktir). Bu özelliğe “ve” nin tek kuvvet özelliği denir.
      Matematik Formülü
      Matematik Formülü
  • Değişme Özelliği
    • Matematik Formülü tir. Bu özelliğe “ve”nin değişme özelliği denir.
  • Birleşme Özelliği
    • Matematik Formülü tir. Bu özelliğe “ve” nin birleşme özelliği denir.

“veya” bağlacı İle kurulan bileşik önermeler

qpMatematik Formülü
111
101
011
000
Veya bağlacı önermeler tablosu
  • p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p veya q” bileşik önermesi denir.
  • Matematik Formülü şeklinde gösterilir.
  • Matematik Formülü bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de yanlış olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

“veya” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri

  • Tek Kuvvet Özelliği :
    • her p önermesi için Matematik Formülü tir (p veya p, p’ye denktir). Bu özelliğe “veya”nın tek kuvvet özelliği denir.
  • Değişme Özelliği:
    • Matematik Formülü tir. Bu özelliğe “veya”nın değişme özelliği denir.
  • Birleşme Özelliği:
    • p, q, r önermeleri için Matematik Formülü tir. Bu özelliğe “veya”nın birleşme özelliği denir.

“ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği

Matematik Formülü

Bu özelliğe “ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği denir.

“veya” nın “ve” üzerine dağılma özelliği

Matematik Formülü

Bu özelliğe “ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği denir.

De Morgan Kuralları

De Morgan bize ters alma işlemi ile ilgili iki adet yöntem gösterir.

Matematik Formülü

p’nin tersi ve q’nun tersi ile p ve q nun tersinin denk olduğunu söyler.

Matematik Formülü

p’nin tersi veya q’nun tersi ile p veya q nun tersinin denk olduğunu söyler.

“ya da” Bağlacı ile Oluşan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p ya da q” bileşik önermesi denir ve Matematik Formülü şeklinde gösterilir. Matematik Formülü önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur. Bu durum özetle: Ya da önermelerinde bir seçim yapılır iki seçenek birden olmaz demektir.

“ya da” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri

  • Değişme Özelliği:
    • Ya da bağlacında p ve q yer değiştirebilir. Bu durumda sonuç değişmez. Matematik Formülü demektir.
  • Birleşme Özelliği:
    • Bu özelliği Matematik Formülü şeklinde gösteririz.

Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin “ise” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve Matematik Formülü şeklinde gösterilir. Matematik Formülü bileşik önermesinin doğruluk değeri, p önermesinin doğru q önermesinin yanlış olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi

Matematik Formülü p ise q önermesinin karşıtı q ise p Matematik Formülü önermesidir.
Matematik Formülü p ise q önermesinin tersi Matematik Formülü önermesidir.
Matematik Formülü p ise q önermesinin karşıt tersi Matematik Formülü önermesidir.

Bir koşullu önerme karşıt tersine denktir.

KolayMatematik.com

İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve Matematik Formülü şeklinde gösterilir. Matematik Formülü bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda doğru, diğer durumlarda yanlış olur.

Matematik Formülü
Matematik Formülü
Matematik Formülü
Matematik Formülü

Matematik Formülü
Matematik Formülü

Açık önermeler

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru veya yanlış sonuç bildiren önermelere açık önermeler denir.
Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine, açık önermenin doğruluk kümesi denir.
Değişkeni x olan bir açık önerme p(x) şeklinde değişkeni x ve y olan bir açık önerme p(x, y) şeklinde gösterilir. p yerine q veya diğer önerme harfleri gelebilir.

Her Bazı En az niceleyicileri

“Her” terimine evrensel niceleyici denir ve Matematik Formülü sembolü ile gösterilir. “Her” niceleyicisi önüne geldiği elemanların tamamını anlatır.

“Bazı” terimine varlıksal niceleyici denir ve Matematik Formülü sembolü ile gösterilir.

“En az” niceleyicisi en az bir tane anlamında kullanılır.

Açık Önermenin Değili

“Her” niceleyicisinin değili “bazı” niceleyicisi, “bazı” niceleyicisinin değili “her” niceleyicisidir. p(x) açık önermesi için aşağıdaki gibi olur.

Matematik Formülü
p açık önermesindeki her x in tersi: p açık önermesinin tersinde bazı x lerdir.
Matematik Formülü
p açık önermesindeki bazı x lerin tersi: p açık önermesinin tersinde her x dir.

Tanım nedir?

Bir terimi eksiksiz olarak açıklayan ifadelere tanım denir.

Aksiyom nedir?

Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir.

Teorem nedir?

Doğruluğu ispatlanarak kabul edilen önermelere teorem denir. Teorem Matematik Formülü şeklinde gösterilir.

Hipotez ve Hüküm nedir?

Matematik Formülü şeklindeki bir teoremde p ye hipotez, q ya hüküm denir.

Bir teoremin hipotezinden hareketle hükmünü elde etmeye teoremi ispatlamak denir.

Bir Yorum Yapın.

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.