Mantık konu anlatımı

Başlıklar

Önermeler ve birleşik önermeler

Kesin hüküm bildiren cümleler, kesinlikle doğru ya da kesinlikle yanlıştır.
Ankara, Türkiye’nin başkentidir. cümlesi kesin hüküm bildiren doğru bir cümledir.

Önerme nedir?

Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren bu cümlelere önerme denir.
Önermeler p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir.

Doğruluk durumu nedir?

Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu önermenin doğruluk durumu ile ilgilidir. Mantık konusunda doğru önermelere 1, yanlış önermelere 0 değerini veririz.

n farklı önermenin doğruluk durumu?

Her önermenin doğruluk durumu 1 veya 0 şeklinde iki değer alabilir, farklı önermelerin birlikte doğruluk durumunu hesaplamak için $2^{n}$ formülü kullanılır.
n tane önermenin birlikte $2^{n}$ tane doğruluk durumu vardır.

İki önermenin denkliği nedir?

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler
denir.
p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise $p\equiv q$ şeklinde gösterilir ve “p denktir q” diye okunur.

Bir önermenin değili

Bir önermenin değerinin olumsuzu alınarak oluşturulan yeni önermeye bu önermenin değili: (olumsuzu) denir. p önermesinin değili $p^{ı}$ ile gösterilir ve “p nin değili” şeklinde okunur.
p önermesinin değeri 0 diye kabul edelim. p önermesinin değili 1 olur, p önermesinin değilinin değili is 0 olur. Bu durumu uzatmak sizin elinizde her değilini aldığınızda önermenin değeri diğer duruma geçer.

$p=1\Rightarrow p^{ı}=0$

$p=0\Rightarrow p^{ı}=1$ olur.

Bileşik önermeler

İki veya daha fazla önermenin “ve“, “veya“, “ya da“, “ise“,”ancak ve ancak” bağlaçlarından en az biri ile birbirine bağlanmasıyla oluşturulan yeni önermelere bileşik önermeler denir.

“ve” bağlacı ile kurulan bileşik önermeler

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p ve q” bileşik önermesi denir ve $q\wedge p$ şeklinde gösterilir. $q\wedge p$ önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. $q\wedge p$ bileşik önermesinin doğruluk değeri,

p ve q önermelerinin her ikisinin de doğru olması durumunda doğru olur, diğer durumlarda yanlış olur.

q	p	$q\wedge p$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

ve bağlacı önermeler tablosu

“ve” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri

Bu özellikler karmaşık önermeleri çözümlerken kullanırlır. Çok temel bilgilerdir ve çok iyi bilinmelidirler.

Tek Kuvvet Özelliği
- her p önermesi için $p\wedge p \equiv p$ tir (p ve p p’ye denktir). Bu özelliğe “ve” nin tek kuvvet özelliği denir.
  $0 \wedge 0 \equiv 0$
  $1 \wedge 1 \equiv 1$
Değişme Özelliği
- $p \wedge q \equiv q \wedge p$ tir. Bu özelliğe “ve”nin değişme özelliği denir.
Birleşme Özelliği
- $\left( p\wedge q\right) \wedge r\equiv p\left( 9\wedge r\right)$ tir. Bu özelliğe “ve” nin birleşme özelliği denir.

“veya” bağlacı İle kurulan bileşik önermeler

q	p	$p\vee q$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Veya bağlacı önermeler tablosu

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p veya q” bileşik önermesi denir.
$p\vee q$ şeklinde gösterilir.
$p\vee q$ bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de yanlış olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

“veya” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin özellikleri

Tek Kuvvet Özelliği :
- her p önermesi için $p\vee p \equiv p$ tir (p veya p, p’ye denktir). Bu özelliğe “veya”nın tek kuvvet özelliği denir.
Değişme Özelliği:
- $p\vee q \equiv q\vee p$ tir. Bu özelliğe “veya”nın değişme özelliği denir.
Birleşme Özelliği:
- p, q, r önermeleri için $\left( p\vee q\right) \vee r\equiv p\vee \left( q\vee r\right)$ tir. Bu özelliğe “veya”nın birleşme özelliği denir.

“ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği

$p \wedge \left( q\vee r\right) \equiv \left( p \wedge q\right) \vee \left( p \wedge r \right)$

Bu özelliğe “ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği denir.

“veya” nın “ve” üzerine dağılma özelliği

$p \vee \left( q \wedge r\right) \equiv \left( p \vee q\right) \wedge \left( p \vee r \right)$

Bu özelliğe “ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği denir.

De Morgan Kuralları

De Morgan bize ters alma işlemi ile ilgili iki adet yöntem gösterir.

$(p \wedge q)^{\prime} \equiv p^{\prime} \vee q^{\prime}$

p’nin tersi ve q’nun tersi ile p ve q nun tersinin denk olduğunu söyler.

$(p \vee q)^{\prime} \equiv p^{\prime} \wedge q^{\prime}$

p’nin tersi veya q’nun tersi ile p veya q nun tersinin denk olduğunu söyler.

“ya da” Bağlacı ile Oluşan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p ya da q” bileşik önermesi denir ve $p \veebar q$ şeklinde gösterilir. $p \veebar q$ önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur. Bu durum özetle: Ya da önermelerinde bir seçim yapılır iki seçenek birden olmaz demektir.

“ya da” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri

Değişme Özelliği:
- Ya da bağlacında p ve q yer değiştirebilir. Bu durumda sonuç değişmez. $p \underline{\vee} q \equiv q \vee p$ demektir.
Birleşme Özelliği:
- Bu özelliği $(p \underline{\vee} q) \underline{\vee} r \equiv p \underline{\vee}(q \vee r)$ şeklinde gösteririz.

Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin “ise” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve $p \Rightarrow q$ şeklinde gösterilir. $p \Rightarrow q$ bileşik önermesinin doğruluk değeri, p önermesinin doğru q önermesinin yanlış olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi

$p \Rightarrow q$ p ise q önermesinin karşıtı q ise p $q \Rightarrow p$ önermesidir.
$p \Rightarrow q$ p ise q önermesinin tersi $p^{\prime} \Rightarrow q^{\prime}$ önermesidir.
$p \Rightarrow q$ p ise q önermesinin karşıt tersi $q^{\prime} \Rightarrow p^{\prime}$ önermesidir.

Bir koşullu önerme karşıt tersine denktir.
KolayMatematik.com

İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve $p \Leftrightarrow q$ şeklinde gösterilir. $p \Leftrightarrow q$ bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda doğru, diğer durumlarda yanlış olur.

$p \Leftrightarrow p \equiv 1$
$p \Leftrightarrow 1 \equiv p$
$p \Leftrightarrow 0 \equiv p$
$p \Leftrightarrow p^{\prime} \equiv 0$

$p \Leftrightarrow q \equiv(p \Rightarrow q) \wedge(q \Rightarrow p)$
$p \Leftrightarrow q \equiv\left(p^{\prime} \vee q\right) \wedge\left(q^{\prime} \vee p\right)$

Açık önermeler

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru veya yanlış sonuç bildiren önermelere açık önermeler denir.
Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine, açık önermenin doğruluk kümesi denir.
Değişkeni x olan bir açık önerme p(x) şeklinde değişkeni x ve y olan bir açık önerme p(x, y) şeklinde gösterilir. p yerine q veya diğer önerme harfleri gelebilir.

Her Bazı En az niceleyicileri

“Her” terimine evrensel niceleyici denir ve $\forall$ sembolü ile gösterilir. “Her” niceleyicisi önüne geldiği elemanların tamamını anlatır.

“Bazı” terimine varlıksal niceleyici denir ve $\exists$ sembolü ile gösterilir.

“En az” niceleyicisi en az bir tane anlamında kullanılır.

Açık Önermenin Değili

“Her” niceleyicisinin değili “bazı” niceleyicisi, “bazı” niceleyicisinin değili “her” niceleyicisidir. p(x) açık önermesi için aşağıdaki gibi olur.

$[\forall x, p(x)]^{\prime} \equiv \exists x, p^{\prime}(x)$
p açık önermesindeki her x in tersi: p açık önermesinin tersinde bazı x lerdir.
$[\exists x, p(x)]^{\prime} \equiv \forall x, p^{\prime}(x)$
p açık önermesindeki bazı x lerin tersi: p açık önermesinin tersinde her x dir.

Tanım nedir?

Bir terimi eksiksiz olarak açıklayan ifadelere tanım denir.

Aksiyom nedir?

Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir.

Teorem nedir?

Doğruluğu ispatlanarak kabul edilen önermelere teorem denir. Teorem $p \Rightarrow q$ şeklinde gösterilir.

Hipotez ve Hüküm nedir?

$p \Rightarrow q$ şeklindeki bir teoremde p ye hipotez, q ya hüküm denir.

Bir teoremin hipotezinden hareketle hükmünü elde etmeye teoremi ispatlamak denir.