İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi 10. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. Sınıf Fonksiyonlar ünitesinde yer alan İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

Bir fonksiyonun grafiği, x ekseniyle paralel çizilen doğrular tarafından kesilebilir. Eğer bu paralel doğrular, grafiği yalnızca bir noktada kesiyorsa, fonksiyon bire bir fonksiyon olarak adlandırılır. Bu test işlemine yatay doğru testi denir.

Yatay doğru testinde, değer kümesindeki her bir elemana tanım kümesinde en az bir eleman karşılık geliyorsa, fonksiyon örten fonksiyon olarak kabul edilir. Ancak eğer bazı değer kümesi elemanlarına karşılık gelen tanım kümesi elemanları yoksa, fonksiyon içine fonksiyon olarak adlandırılır.

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi

A, B, C boş kümeden farklı üç küme olsun ve f: A\rightarrow B, g: B\rightarrow C fonksiyonları verilsin. f fonksiyonu ile g fonksiyonunun bileşkesi, A kümesindeki elemanları C kümesindeki elemanlarla eşleştiren bir fonksiyondur ve (gof) (x) şeklinde gösterilir. Burada f fonksiyonunun değer kümesi ile g fonksiyonunun tanım kümesi eşittir.

gof fonksiyonu f nin tanım kümesindeki herhangi bir x değerini, g nin değer kümesindeki g(f(x)) biçimindeki bir z ile eşler. Bu ifade sembollerle,
f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C olmak üzere,

    \[\text { gof }=\{(x, z) \mid x \in A \text { ve } z=g(f(x)) \in C\}\]


biçiminde gösterilebilir.

Birleşke fonksiyon

Fonksiyonlar arasında bileşke işlemi değişmezlik özelliği taşımaz. Yani herhangi iki f ve g fonksiyonu için fog = gof olması gerekmez.
Bir f fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi yine f fonksiyonudur. f o I = Io f = f olur.

Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. Bu özellik fo(goh) = (fog)oh şeklinde ifade edilir.
f: A \rightarrow B ve g: B \rightarrow C fonksiyonları bire bir ise gof : A \rightarrow C fonksiyonu da bire birdir.
f: A \rightarrow B ve g: B \rightarrow C fonksiyonları örten ise gof : A \rightarrow C fonksiyonu da örtendir.

Fonksiyonun Tersi

Bir fonksiyonun tersi, bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunda tanımlanır. f: A \rightarrow B, y=f(x) bire bir ve örten fonksiyonu verilsin. x \in A için f(x)=y iken f^{-1}(y)=x oluyorsa f^{-1} fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir. f^{-1}, B kümesinden A kümesine tanımlı bir fonksiyondur.
f: A \rightarrow B ye olmak üzere y=f(x) bire bir ve örten ise f(x) fonksiyonunun tersi de fonksiyon olur.
f: A \rightarrow B ise f^{-1}: B \rightarrow A olur.

Fonksiyonun tersi

Bir fonksiyonun tersini bulmak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
I. y = f(x) kuralında kuralında x ve y yer değiştirilir.
II. Elde edilen eşitlikte y yalnız bırakılır.
III. Son eşitlikte y yerine f^{-1}(x) yazılır.

Uygun tanım aralıklarında verilen aşağıdaki fonksiyonlar için;
f(x)=a x+b ise f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a} olur.
f(x)=a x ise f^{-1}(x)=\frac{x}{a} olur.
f(x)=\frac{a x+b}{c} ise f^{-1}(x)=\frac{c x-b}{a} olur.
f(x)=\frac{a x+b}{c x+d} ise f^{-1}(x)=\frac{-d x+b}{c x-a} olur.

Uygun koşullarda tanımlı f, g ve \mathrm{h} fonksiyonları için;
\left(f^{-1}\right)^{-1}=f olur.
\left(\right. fof \left.^{-1}\right)=\left(f^{-1}\right. of )=I olur (I: birim fonksiyondur).
(f \circ g)^{-1}=g^{-1} of ^{-1} olur.
f=g \Rightarrow f o h= goh veya hof = hog olur.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.