Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Fonksiyonlarda Uygulamalar ünitesinde yer alan Fonksiyonlarla ilgili uygulamalar konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

$y = f(x) = ax + b$ şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile uygulamaları

Bir ürünün alış ve satış fiyatı, bir aracın yakıt tüketimi veya bir bitkinin boyunun zamana göre değişimi gibi durumlar $a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere $y=a x+b$ şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile ifade edilebilir.

Fonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar

Bir polinom fonksiyonun grafiği, en azından bir noktada x veya y ekseniyle kesişir. Örneğin, x ekseniyle kesişen noktaları bulmak için fonksiyonun içine y yerine sıfır koyarız ve x değerlerini buluruz. Benzer şekilde, y ekseniyle kesişen noktaları bulmak için fonksiyonun içine x yerine sıfır koyarız ve y değerlerini buluruz. Böylece, analitik düzlemde bir fonksiyonun grafiğinin eksenleriyle kesim noktalarını bulabiliriz.

Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar

Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıklar grafik üzerinden açıklayacağız.

Grafikte, $x_1<a$ ve $b<x_3<c$ aralıkları için $f(x_1)$ ve $f(x_3)$ değerleri pozitiftir. Bu, $f(x)$ fonksiyonunun pozitif değer aldığı aralığın $(-\infty, a)$ ve $(b, c)$ olduğu anlamına gelir. Yani, grafiğin $x$ ekseninin üst kısmındaki bölümlerinde herhangi bir $x$ değeri için $f(x)>0$ olur.

Grafikte, $a<x_2<b$ ve $c<x_4$ aralıkları için $f(x_2)$ ve $f(x_4)$ değerleri negatiftir. Bu, $f(x)$ fonksiyonunun negatif değer aldığı aralığın $(a, b)$ ve $(c, \infty)$ olduğu anlamına gelir. Yani, $y = f(x)$ fonksiyon grafiğin $x$ ekseninin alt kısmındaki bölümlerinde herhangi bir $x$ değeri için $f(x)<0$ olur. Grafiğin, x eksenini kestiği $a$, $b$, $c$ noktaları $f(x)=0$ denkleminin kökleridir.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

$A \subset \mathbb{R}, B \subset A$ ve $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ olacak şekilde bir $f$ fonksiyonu verilsin.

Bu durumda her $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2 \in \mathrm{B}$ için $\mathrm{x}_1<\mathrm{x}_2$ olduğunda $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_1\right)<f\left(\mathrm{x}_2\right)$ olması halinde $f$ fonksiyonuna $B$ de üzerinde artan fonksiyon denir.

Benzer şekilde, her $x_1, x_2 \in B$ için $x_1<x_2$ olduğunda $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ olması halinde $f$ fonksiyonuna $B$ de azalan fonksiyon denir.

Yukarıdaki grafikte (a, b) aralığında seçilen her $x_1<x_2$ şartını sağlayan her $x_1, x_2$ için $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ olduğundan f fonksiyonu $(a, b)$ nda artandir.

(b, c) nda alınan $x_3<x_4$ şartnnı sağlayan her $x_3, x_4$ için $f\left(x_3\right)>f\left(x_4\right)$ olduğundan $f$ fonksiyonu (b, c) nda azalandır.

(c, d) nda alınan $x_5<x_6$ şartını sağlayan her $x_5, x_6$ için $f\left(x_5\right)<f\left(x_6\right)$ olduğundan f fonksiyonu (c, d) nda artandır.

Maksimum ve Minimum noktalar

Analitik düzlemde verilen bir fonksiyonun grafiği görüntü kümesinde alabileceği en büyük ve en küçük değerlere sahiptir. $f:[-4,8] \rightarrow[-4,2], y=f(x)$ fonksiyonunun aldığı en büyük değer $x=8$ için $f(8)=2$, en küçük değer $x=-4$ için $f(-4)=-4$ şeklinde bulunur.

Tanım: $A \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ bir fonksiyon olsun. Her $x \in A$ için $f(x) \leq f(p)$ olacak şekilde bir $p \in A$ sayısı varsa $(p, f(p))$ noktasına $f$ nin maksimum noktası, $f(p)$ ye $f$ nin maksimum değeri denir.
Her $x \in A$ için $f(x) \geq f(t)$ olacak şekilde bir $t \in A$ sayısı varsa $(t, f(t))$ noktasına $f$ nin minimum noktası, $f(t)$ ye $f$ nin minimum değeri denir.

Ortalama Değişim Hızı

Hava koşulları bitki büyümesini pozitif veya negatif yönde etkileyebilir. Bu nedenle, bitkinin büyüme hızı zamanla değişebilir. Benzer şekilde, bir araç sabit bir hızla ilerlerken, yakıt deposundaki yakıt miktarının azalma hızı sabit kalır. Nesnelerin birim zamandaki değişim hızı, ortalama değişim hızı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı şu şekilde hesaplanır:

$y=f(x)$ fonksiyonunun $\left[x_1, x_2\right]$ aralığında ortalama değişim hızı $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ olarak tanımlanır.

(Burada $\Delta x$ : A dan $B$ ye $x$ değerindeki değişim ve $\Delta y: A$ dan $B$ ye y değerindeki değişim)

Doğrusal fonksiyonların herhangi bir aralıktaki ortalama değişim hızı sabittir ve doğrunun eğimine eşittir.

$\left[x_1, x_2\right]$ ndaki ortalama değişim hızı $A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ ve $B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ noktalarından geçen kesenin eğimine eşittir.