Fonksiyonlarla İlgili Problemler 10. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

10. Sınıf Fonksiyonlar ünitesinde yer alan Fonksiyonlarla İlgili Problemler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Fonksiyonlarla İlgili Problemler

A ve B, boş kümeden farklı iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye, A'dan B'ye tanımlı bir fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar genellikle f, h, g gibi sembollerle gösterilir.

A kümesinden B kümesine tanımlı f fonksiyonu, $f:A\rightarrow B$ şeklinde gösterilir. A kümesi tanım kümesi olarak adlandırılırken, B kümesi değer kümesi olarak adlandırılır. A dan A ya tanımlı bir fonksiyona kısaca A da tanımlı fonksiyon da denilebilir. . Bir x elemanı A kümesinden alındığında, f fonksiyonu tarafından B kümesindeki bir y elemanıyla eşlenirse, x elemanının f altındaki görüntüsü y elemanı olarak tanımlanır. Bu durum, y = f(x) şeklinde ifade edilir.

$f:A\rightarrow B$ tanımlanan bir fonksiyonda, tanım kümesindeki elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir. Görüntü kümesi, f(A) şeklinde gösterilir. Görüntü kümesi, ortak özellik yöntemi kullanılarak $\mathrm{f}(\mathrm{A})=\{\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mid \mathrm{x} \in \mathrm{A}\}$ olarak ifade edilir.

Verilen Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi, görüntü kümesine göre;
- Her bir elemanın eşlendiği bir değer olduğu için ve her elemanın sadece bir değerle eşlendiği için $f$ bir fonksiyondur.
- f fonksiyonunun tanım kümesi $A=\{a, b, c, c \}$, değer kümesi $B=\{2,4,6,8\}$, görüntü kümesi $f(A)=\{2,4,6\}$ ve $\mathrm{f}(\mathrm{A}) \subseteq \mathrm{B}$ şeklinde olur.
- a elemanının $f$ altındaki görüntüsü olarak ifade edilir, yani $f(a)=2$.  Benzer şekilde $f(b)=4, f(c)=6$ ve $f(c )=6$ olur.
- f fonksiyonu sıralı ikililer kullanılarak $f=\{(a, 2),(b, 4),(c, 6),(c, 6)\}$ şeklinde de gösterilebilir.

A ve B, boş kümeden farklı iki küme olsun. S(A) = m ve S(B) = n olmak üzere, A kümesinden B kümesine tanımlı fonksiyon sayısı $n^m$ dir.

$A$ ve $B$ boş kümeden farklı iki küme olsun ve $f: A \rightarrow B$ şeklinde tanımlanan bir $f$ fonksiyonu olsun. Eğer $f(A) \neq B$ yani değer kümesinde en az bir eleman eksik ise, bu durumda $f$ fonksiyonuna içine fonksiyon denir. Kısacası, $f$ içine fonksiyondur.
Verilen $f$ fonksiyonu içine fonksiyondur çünkü görüntü kümesi $\{1,2$, $3,4,5\}$ olarak belirlenmiş olup, $f$ fonksiyonunun değer kümesi olan $\{1,2,3,4,5,6\}$ ile eşit değildir.

A ve B, boş kümeden farklı iki küme olsun ve $f: A \rightarrow B$ şeklinde tanımlanan bir fonksiyon olsun. Eğer f(A) = B, yani görüntü kümesindeki her elemana karşılık tanım kümesinde en az bir eleman bulunuyorsa, bu durumda $f$ fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Kısacası, $f$ örten fonksiyondur.

Verilen $f$ fonksiyonu için görüntü kümesi $f(A)=\lbrace 1, 2, 3, 4\rbrace$ ve değer kümesi $f(A)=\lbrace 1, 2, 3, 4\rbrace$ olarak belirlenmiştir. Görüntü kümesi, $f$ fonksiyonunun değer kümesiyle aynı olduğundan dolayı, $f$ örten fonksiyondur.

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere,
$f: A \rightarrow B$  tanımlanan f fonksiyonu her x, y $\in$ A ve $\mathrm{x} \neq y$ için $\mathrm{f(x)} \neq f(y)$ ya da f(x) = f(y) için x = y oluyorsa bu fonksiyon bire bir fonksiyondur.
Eğer bir fonksiyon hem bire bir hem de örten ise buna bire bir örten fonksiyon denir. Yukarıdaki örnekte verilen $f$ fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Eşit Fonksiyonlar

A ve B, boş kümeden farklı iki küme olsun ve $f: A \rightarrow B$  , $g: A \rightarrow B$   şeklinde tanımlanan f ve g fonksiyonları olsun. Eğer her $\forall x \in A$ için f(x) = g(x) olduğu yazılabiliyorsa, bu fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir. Fonksiyonların eşit olması için tanım kümesi ve görüntü kümesinin aynı olması gereklidir. Ayrıca, tanım kümesindeki her eleman için bu elemanların görüntülerinin de aynı olması gerekmektedir.

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon

A, boş kümeden farklı bir küme olsun ve f, A'dan A'ya bir fonksiyon olsun. Eğer her  $\forall x \in A$ için $f(x)=x$ ise $f$ fonksiyonuna birim fonksiyon denir ve $I$ ile gösterilir.
Örneğin $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f$ birim fonksiyon olmak üzere,
- $f(7)=7$
- $f(\sqrt[3]{5}+2)=\sqrt[3]{5}+2$
- $f(a+4)=a+4$
- $f(x+10)=x+10$ olur.

Sabit Fonksiyon

A ve B boş olmayan kümeler ve $k \in B$ olsun. $f: A \rightarrow B$ eklinde bir fonksiyon düşünelim. Eğer her $\forall x \in A$ için $f(x)=k$ ise, bu fonksiyona sabit fonksiyon denir. $f$ fonksiyonu için $f: A \rightarrow B, \forall x \in A$ olmak üzere $f(x)=3$ olur.

Örneğin $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{2}$ olmak üzere,
- $f(7)=\sqrt{2}$
- $f(\sqrt[3]{5}+2)=\sqrt{2}$
- $f(4)=\sqrt{2}$
- $f(x+10)=\sqrt{2}$ olur.
Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması için, $f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}$ biçiminde verilen $f(x)$ tanımlı olduğu aralıkta sabit fonksiyon ise $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ eşitliği sağlanır.

Doğrusal Fonksiyon

$a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} şeklindeki f(x)=a x+b$ formundaki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. $f$ bir doğrusal fonksiyon ise grafiği bir doğrudur.

Tek ve Çift Fonksiyon

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere $\forall x \in \mathbb{R}$ için,
$f(-x)=f(x)$ olan $f$ fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
$f(-x)=-f(x)$ olan $f$ fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

Parçalı Fonksiyon

Parçalı fonksiyonlar veya parçalı tanımlı fonksiyonlar, tanım kümesinin farklı alt kümelerinde farklı kurallarla belirlenen fonksiyonlardır. Örneğin $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x), a \leq x<b \text { ise } \\ h(x), b \leq x \leq c \text { ise } \\ r(x), c<x \leq d \text { ise }\end{array}\right.$ şeklinde tanımlanan $f$ fonksiyonu $\mathrm{g}(\mathrm{x}), \mathrm{h}(\mathrm{x}), \mathrm{r}(\mathrm{x})$ fonksiyonlarının birleşiminden oluşan bir parçalı fonksiyondur. Burada $a, b, c$ ve $d$, fonksiyonun kritik noktalarını temsil eder.

$A \subseteq \mathbb{R}$ ve $B \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g: B \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonları için $f+g: A \cap B \rightarrow \mathbb{R}, f-g: A \cap B \rightarrow \mathbb{R} f+g$ ve $f-g$ fonksiyonları $\forall x \in A \cap B$ için $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ve $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ şeklinde tanımlanır.

$A \subseteq \mathbb{R}$ ve $B \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g: B \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonları için $f \cdot g: A \cap B \rightarrow \mathbb{R}, \frac{f}{g}: A \cap B \rightarrow \mathbb{R} f \cdot g$ ve $\frac{f}{g}$ fonksiyonları $\forall x \in A \cap B$ için $(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$ ve $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},(g(x) \neq 0)$ şeklinde tanımlanır. Ayrıca $c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $\forall x \in A$ için $(c \cdot f)(x)=c \cdot f(x)$ olarak tanımlanır.