Fonksiyonlar

Fonksiyonlar konusu; tıpkı matematiğin diğer konuları gibi günlük yaşamda sıkça kullanılmaktadır. Evimize yeni bir elektronik cihaz alırken, cihazın fonksiyonları hakkında bilgi sahibi olmak isteriz. Hayatımızı kolaylaştıran eşyaları anlatırken –fonksiyonel- sıfatını kullanırız. Fonksiyon kelimesinin sözlük anlamı -işlev, görev- olarak karşımıza çıkar. Fonksiyon kavramının matematikteki anlamı da sözlükteki anlamına oldukça yakındır. Matematiksel olarak fonksiyon kavramı; -değişken sayıları girdi olarak kullanarak bunlardan sayısal bir sonuç almamızı sağlayan kurallar- anlamına gelmektedir.

Fonksiyon kavramını günlük hayattan basit bir örnekle açıklayalım;

• Değirmen Fonksiyonu: Tarladan topladığımız buğdayları değirmene verdiğimizde karşılığında un alırız. Burada buğday girdi, buğdayın öğütülmesi sırasında değirmende gerçekleşen işlemler fonksiyonun kuralı, işlem tamamlandığında elde ettiğimiz un da sonuç olacaktır. 

Fonksiyonların Gösterimi       

A ve B boş küme olmayan herhangi iki küme olmak üzere, $A \times B = {( c, d): c \epsilon A, d \epsilon B}$ kartezyen çarpım kümesinin ayrı ayrı tüm alt kümelerine A’dan B’ye bir bağıntı diyoruz. Bağıntıları göstermek için $\alpha , \beta , g ve h$ gibi semboller kullanıyoruz.

A’dan B’ye tanımlanan herhangi bir bağıntı, aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa bu bağıntıya fonksiyon adını veririz:

1. A kümesinde eşleşmemiş eleman bulunmamalıdır.
2. A kümesindeki rastgele bir eleman, B kümesinde sadece bir elemanla eşleşmelidir.

Örneğin; A’dan B’ye tanımlı bir f bağıntımız olsun. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için:

1. Her $c \epsilon A için (c,d) c \epsilon f$ olacak şekilde bir $d \epsilon B$ var ve
2. $(c, d_{1}) \epsilon f ve (c, d_{2}) \epsilon f$ olduğunda  $d_{1}= d_{2}$ oluyorsa, f bağıntısına fonksiyon deriz.

 A kümesinden B kümesine tanımladığımız f fonksiyonunu $f: A \rightarrow B$ şeklinde gösteririz. $(c,d) \epsilon f \Rightarrow d=f(c)$ şeklinde yazarız. Bu şekilde gösterilen bir fonksiyonda c’ye bağımsız değişken, d’ye de bağımlı değişken ismini veririz.

$f: A \rightarrow B$ şeklindeki gösterimde, A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi ise fonksiyonun değer kümesi adını alır.

A kümesinde bulunan elemanların, f fonksiyonu aracılığıyla B kümesinde eşleştiği elemanlardan meydana gelen kümeye fonksiyonun görüntü kümesi diyoruz. Görüntü kümesi, f(A) şeklinde gösterilir  ve $f(A) \subseteq B$ dir.   

Eşit Fonksiyonlar

Fonksiyonlar da aynı sayılar ve denklemler gibi birbirlerine eşitlenebilir. $f:(A) \rightarrow B$ ve $h: A \rightarrow$ şeklinde iki fonksiyon düşünelim. $\forall x \epsilon A$ için $f(x) = h(x)$ oluyor ise f ve h fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar deriz. Eşit fonksiyonları $f=g$ şeklinde gösteririz.

Birim Fonksiyon

$g: A \rightarrow B$ bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonu $g(x)= I(x)= x$ şeklinde gösteriyoruz.

Sabit Fonksiyon

$h: A \rightarrow B$ bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki yalnızca bir eleman ile eşleşiyorsa, h fonksiyonuna sabit fonksiyon deriz. Sabit fonksiyonu, $c \epsilon B$ olmak üzere, h(x)= c şeklinde gösteririz.

Doğrusal Fonksiyon

f fonksiyonu, doğal sayılar kümesinde tanımlı ve f fonksiyonunun değer kümesi de yine doğal sayılar iken;

$a ve b \epsilon R$ olmak üzere, $f(x)= ax + b$ biçiminde gösterilen fonksiyonlara doğrusal fonksiyon diyoruz.  Bu ifade, fonksiyonun görüntü kümesinin analitik düzlemde olduğunu gösterir.