Fonksiyonlar

Fonksiyonlar konusu; tıpkı matematiğin diğer konuları gibi günlük yaşamda sıkça kullanılmaktadır. Evimize yeni bir elektronik cihaz alırken, cihazın fonksiyonları hakkında bilgi sahibi olmak isteriz. Hayatımızı kolaylaştıran eşyaları anlatırken –fonksiyonel- sıfatını kullanırız. Fonksiyon kelimesinin sözlük anlamı -işlev, görev- olarak karşımıza çıkar. Fonksiyon kavramının matematikteki anlamı da sözlükteki anlamına oldukça yakındır. Matematiksel olarak fonksiyon kavramı; -değişken sayıları girdi olarak kullanarak bunlardan sayısal bir sonuç almamızı sağlayan kurallar- anlamına gelmektedir.

Fonksiyon kavramını günlük hayattan basit bir örnekle açıklayalım;

  • Değirmen Fonksiyonu: Tarladan topladığımız buğdayları değirmene verdiğimizde karşılığında un alırız. Burada buğday girdi, buğdayın öğütülmesi sırasında değirmende gerçekleşen işlemler fonksiyonun kuralı, işlem tamamlandığında elde ettiğimiz un da sonuç olacaktır. 

Fonksiyonların Gösterimi       

A ve B boş küme olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A \times B = {( c, d): c \epsilon A, d \epsilon B} kartezyen çarpım kümesinin ayrı ayrı tüm alt kümelerine A’dan B’ye bir bağıntı diyoruz. Bağıntıları göstermek için \alpha , \beta , g ve h gibi semboller kullanıyoruz.

A’dan B’ye tanımlanan herhangi bir bağıntı, aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa bu bağıntıya fonksiyon adını veririz:

  1. A kümesinde eşleşmemiş eleman bulunmamalıdır.
  2. A kümesindeki rastgele bir eleman, B kümesinde sadece bir elemanla eşleşmelidir.

Örneğin; A’dan B’ye tanımlı bir f bağıntımız olsun. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için:

  1. Her c \epsilon A için (c,d) c \epsilon f olacak şekilde bir d \epsilon B var ve
  2. (c, d_{1}) \epsilon f ve (c, d_{2}) \epsilon f olduğunda  d_{1}= d_{2} oluyorsa, f bağıntısına fonksiyon deriz.

 A kümesinden B kümesine tanımladığımız f fonksiyonunu f: A \rightarrow B şeklinde gösteririz. (c,d) \epsilon f \Rightarrow d=f(c) şeklinde yazarız. Bu şekilde gösterilen bir fonksiyonda c’ye bağımsız değişken, d’ye de bağımlı değişken ismini veririz.

f: A \rightarrow B şeklindeki gösterimde, A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi ise fonksiyonun değer kümesi adını alır.

A kümesinde bulunan elemanların, f fonksiyonu aracılığıyla B kümesinde eşleştiği elemanlardan meydana gelen kümeye fonksiyonun görüntü kümesi diyoruz. Görüntü kümesi, f(A) şeklinde gösterilir  ve f(A) \subseteq B dir.   

Eşit Fonksiyonlar

Fonksiyonlar da aynı sayılar ve denklemler gibi birbirlerine eşitlenebilir. f:(A) \rightarrow B ve h: A \rightarrow şeklinde iki fonksiyon düşünelim.   \forall x   \epsilon A için f(x) = h(x) oluyor ise f ve h fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar deriz. Eşit fonksiyonları f=g şeklinde gösteririz.

Birim Fonksiyon

g: A \rightarrow B bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonu g(x)= I(x)= x şeklinde gösteriyoruz.

Sabit Fonksiyon

h: A \rightarrow B bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki yalnızca bir eleman ile eşleşiyorsa, h fonksiyonuna sabit fonksiyon deriz. Sabit fonksiyonu, c \epsilon B olmak üzere, h(x)= c şeklinde gösteririz.

Doğrusal Fonksiyon

f fonksiyonu, doğal sayılar kümesinde tanımlı ve f fonksiyonunun değer kümesi de yine doğal sayılar iken;

a ve b \epsilon R olmak üzere, f(x)= ax + b biçiminde gösterilen fonksiyonlara doğrusal fonksiyon diyoruz.  Bu ifade, fonksiyonun görüntü kümesinin analitik düzlemde olduğunu gösterir.  

Leave a Comment

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*
*