EKSENLERE PARALEL DOĞRU DENKLEMLERİ 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Eksenlere Paralel Doğru Denklemleri konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

x Eksenine Paralel Doğru Denklemleri

Eğer A(a, b) noktasından geçen ve x ekseni ile paralel bir doğrunun denklemini bulmak istiyorsak, bu doğrunun denklemi şu şekilde olur:
$y - b = m . (x - a)$

x eksenini kesen doğru

Ancak, x ekseni ile paralel doğruların eğimi $m = 0$ lduğundan, denklemi bu şekilde yeniden düzenleyebiliriz:
$y - b = 0 . (x - a) \Rightarrow y - b = 0$
$\Rightarrow y = b$ olur.

Sonuç olarak, A(a, b) noktasından geçen ve x eksenine paralel doğru denklemleri $b\in\mathbb{R}$ olmak üzere $y = b$ biçimindedir.

y Eksenine Paralel Doğruların Denklemleri

Eğer A(c, d) noktasından geçen ve y ekseni ile paralel bir doğrunun denklemini bulmak istiyorsak, bu doğrunun denklemi şu şekildedir:
$y - d = m . (x - c)$ olur.
Ve eğim eğim $m = \frac{y - d}{x - c}$

y eksenini kesen doğru

Ancak, bu tür doğruların eğimi $m$ tanımsızdır, çünkü $m = \tan 90^{\circ}$ tanımsız bir değer elde edilir. Bu nedenle, denkleme bakarak $x - c = 0$ olarak ifade edebiliriz. Bu denklemi çözdüğümüzde $x = c$ sonucuna ulaşırız. Sonuç olarak, A(c, d) noktasından geçen ve y eksenine paralel doğruların denklemleri $c\in\mathbb{R}$ olmak üzere x = c olur.

Başlangıç Noktasından (Orijin) Geçen Doğruların Denklemleri

O (0, 0) noktasından geçen ve eğimi $m$ olan bir doğrunun denklemi $y = m . x$ olarak ifade edilir Bu denklemde O noktasının koordinatları (0, 0) olduğu için
$y - 0 = m (x - 0)$ $\Rightarrow$ $y = m .x$ olur.

Orjinden geçen doğrular

Bir Doğrunun Grafiği

Analitik düzlemde, herhangi bir nokta A’dan sonsuz sayıda doğru geçerken, herhangi iki noktadan sadece bir doğru geçer. Bir doğrunun grafiğini çizebilmek için sadece bu doğru üzerindeki iki noktayı bilmek yeterlidir. Bu noktaları seçerken, genellikle doğrunun x ve y eksenlerini kestiği noktalardan seçmek, işlemleri daha kolay hale getirir.

Doğru grafiği

$x, y, a, b, c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $ax + by + c = 0$ doğrusu, x ekseni için $y = -\frac{c}{b}$ ve y ekseni için $x = -\frac{c}{a}$ noktalarında keser. Bu doğrunun grafiği ve eğimi aşağıdaki gibidir:

$AB$ doğrusunun eğim açısı $\alpha$

$AB$ doğrusunun eğim açısı $\alpha$ ve $\angle BAO$ açısı $\beta$ olarak tanımlansın. Bu iki açının toplamı $180^{\circ}$ ‘dir, yani $\alpha + \beta = 180^{\circ}$ geçerlidir. Bu eşitlikten $\alpha = 180^{\circ} - \beta$ olarak bulunur. Daha sonra $\tan \alpha$ ‘yı hesaplamak için $\tan (180^{\circ} - \beta) = -\tan \beta$ kullanılır.

Sonuç olarak, doğrunun eğimi $\mathrm{m} = \tan \alpha = -\tan \beta$ şeklinde ifade edilir. Bu, doğrunun eğimini $\mathrm{m} = -\frac{-\frac{c}{b}}{-\frac{c}{a}} = -\frac{a}{b}$ olarak hesapladığımızda elde edilir.

Sonuç olarak,
Eğimleri eşit olan doğrular birbirine paraleldir.
Birbirine paralel doğruların eğimleri eşittir.

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

1. $d_1$ ve $d_2$ doğruları yalnızca bir noktada A noktasında kesişebilir. $d_1$ doğrusunun eğimi $m_1$ ve $d_2$ doğrusunun eğimi $m_2$ olarak kabul edelim. Bu durumda, $m_1$ ile $m_2$ birbirinden farklı olmalıdır.
$m_1 = -\frac{a_1}{b_1}$ ve $m_2 = -\frac{a_2}{b_2}$ olduğunda, $-\frac{a_1}{b_1} \neq -\frac{a_2}{b_2}$ olur ve bu da $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ anlamına gelir.
Sonuç olarak, $d_1$ ve $d_2$ doğruları yalnızca bir noktada kesiştiğinde, kesişim noktası $d_1 \cap d_2 = {A}$ olarak ifade edilir.

$d_1$ ve $d_2$ doğruları yalnızca bir noktada A noktasında kesişmesi

2. $d_1$ ve $d_2$ doğruları birbirine paralel olabilir. Bu durumda, $m_1 = m_2$ geçerlidir ve şöyle ifade edilebilir:

$-\frac{a_{1}}{b_{1}} =-\frac{a_{2}}{b_{2}}$
$\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}}$

$d_1$ ve $d_2$ doğruları eksenleri farklı noktalarda kestiği için,
$\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Verilen iki doğru $d_1 / / d_2$ olduğunda $d_{1}\bigcap d_{2} = \lbrace \rbrace$ olur

$d_1$ ve $d_2$ doğruları birbirine paralel ve $m_1 = m_2$

3. $d_1$ ve $d_2$ doğruları çakışık olabilir. Çakışık doğrular, aynı doğruya farklı şekillerde adlandırılan doğrulardır. Bu doğruların eğimleri ve eksenler üzerindeki kesim noktaları aynıdır. Dolayısıyla $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ geçerlidir. $d_1$ ve $d_2$ doğruları çakışık olduğunda, $d_1 \cap d_2 = d_1 = d_2$ olur.