Dönüşüm Geometrisi 8.Sınıf Özet Konu Anlatımı

Başlıklar

Dönüşüm Geometrisi

Dönüşüm geometrisi, şekillerin uzayda hareket ettirilmesi sonucu oluşan şekilleri inceler. Bu hareketler; öteleme, döndürme, yansıtma ve ölçeklendirme olmak üzere dört grupta incelenir.

Öteleme

Bir şekil, x ve y eksenleri boyunca orijinden belirtilen mesafeler kadar kaydırıldığında ötelenmiş olur. Ötelenmiş şekil orijinal şekle göre aynı boyutta ve şekilde olur. Öteleme işlemi matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

Örneğin, aşağıda verilen şekil 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmiştir.

$\draw[thick] (0,0) rectangle (2,1) node[above right] {A}; \draw[thick,->] (3.5,0.5) -- (5.5,0.5); \draw[thick] (6,2) rectangle (8,3) node[above right] {A'}; \end{tikzpicture}$

Döndürme

Bir şekil, belirtilen bir açı ve orijin noktası çevresinde döndürüldüğünde döndürülmüş olur. Döndürülmüş şekil orijinal şekle göre aynı boyutta ve şekilde olur. Döndürme işlemi matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Örneğin, aşağıda verilen şekil 90 derece saat yönünün tersine döndürülmüştür.

$\draw[thick] (0,0) rectangle (2,1) node[above right] {A}; \draw[thick,->] (3.5,0.5) -- (5.5,0.5); \draw[thick] (7,1) rectangle (8,-1) node[above right] {A'}; \end{tikzpicture}$

Yansıtma

Bir şekil, belirtilen bir doğru etrafında yansıtıldığında yansıtılmış olur. Yansıtılmış şekil orijinal şekle göre aynı boyutta ve şekilde olur. Yansıtma işlemi matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2a^2&-2ab\\-2ab&1-2b^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Burada a ve b, yansıtma doğrusunun eğimi ile ilgilidir. Örneğin, aşağıda verilen şekil x eksenine göre yansıtılmıştır.

$\draw[thick] (0,0) rectangle (2,1) node[above right] {A}; \draw[thick,->] (3.5,0.5) -- (5.5,0.5); \draw[thick] (0,-1) rectangle (2,-2) node[below right] {A'}; \draw[dashed] (-0.5,0) -- (2.5,0); \end{tikzpicture}$

Ölçeklendirme

Bir şekil, belirtilen bir oran kadar büyütüldüğünde veya küçültüldüğünde ölçeklendirilmiş olur. Ölçeklendirilmiş şekil orijinal şekle göre aynı şekilde ancak büyüklük olarak farklıdır. Ölçeklendirme işlemi matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Burada k, büyütme veya küçültme oranını ifade eder. Örneğin, aşağıda verilen şekil 2 kat büyütülmüştür.

$\draw[thick] (0,0) rectangle (2,1) node[above right] {A}; \draw[thick,->] (3.5,0.5) -- (5.5,0.5); \draw[thick] (7,2) rectangle (11,4) node[above right] {A'}; \end{tikzpicture}$

Örnek Soru Çözümü

Sonsuzdaki iki nokta, A ve B, O(0,0) noktasından geçer. A, (-5,2) noktasıdır. B, (-8,-3) noktasıdır. Şekil, y eksenine göre yansıtılır. Yansıtılmış şekilde A ve B noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Önce A ve B noktalarının koordinatları bulunur:

$A=(-5,2)$

$B=(-8,-3)$

Şekil y eksenine göre yansıtıldığından, yansıtılmış A ve B noktalarının koordinatları şu şekilde hesaplanır:

$A'=(5,2)$

$B'=(8,-3)$

Yansıtılmış A ve B noktalarının koordinatları, sırasıyla (5,2) ve (8,-3) olarak bulunur.