Dik Üçgen ve Trigonometri 9. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

9. Sınıf Üçgenler ünitesinde yer alan Dik Üçgen ve Trigonometri konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Dik Üçgende Pisagor Teoremi

Bir üçgenin bir açısı $90^{\circ}$ ise, bu üçgene olan üçgene dik üçgen denir. $90^{\circ}$ derecenin karşısındaki kenara hipotenüs denir, diğer iki kenara ise dik kenarlar denir. Dik üçgen, özel bir üçgen türüdür ve bir açısı dik ( $90^{\circ}$ derece) olduğu için diğer açılar kesinlikle dar açıdır.

Dik üçgen

Kare ve dikdörtgen alanı

Şekil 1: $A (ABCD) = a^2 + 2bc$
Şekil 2: $A (KLMN) = b^2 + c^2 - 2bc$
$A (ABCD) = A (KLMN)$
$a^2 + 2bc = b^2 + c^2 + 2bc$
$a^2 = b^2 + c^2$

Dik bir üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu ilişkiye Pisagor Bağıntısı denir.

Pisagor bağlantısı

Pisagor Bağıntısı’nı sağlayan pozitif tam sayı üçlülerine Pisagor Üçlüleri denir. Örneğin:

(3, 4, 5)
(6, 8, 10)
(8, 15, 17)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(20, 21, 29)

Özel Üçgenler

$30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ ve $90^{\circ}$ açı ölçülerine sahip bir üçgende:

$30^{\circ}$ açının karşısındaki kenarın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısıdır.
$60^{\circ}$ açının karşısındaki kenarın uzunluğu, $30^{\circ}$ açının karşısındaki kenarın $\sqrt{3}$ katıdır.

$30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ üçgeni

İkizkenar dik üçgende hipotenüsün uzunluğu dik kenarlardan birinin uzunluğunun $\sqrt{2}$ katıdır.

$45^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $90^{\circ}$ üçgeni

Tabanlarını aynı iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilirse, üçgenlerin kenarları arasındaki bağlantı, $x^2 + t^2 = z^2 + y^2$

Tabanlarını aynı iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilmesi

Tabanlarını aynı iç içe geçmiş iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilirse, üçgenlerin kenarları arasındaki bağlantı, $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$

Tabanlarını aynı iç içe geçmiş iki farklı üçgenin, tepe açılarından tabana dikme indirilmesi

Öklid Teoremi

Öklid Teoremi, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesinin, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu ifade eder.

Öklid teoremi

Öklid teoremine göre;
$h^2 = p . k$
$c^2 = p . a$
$b^2 = k . a$

Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları

Bir dik üçgenin kenarları arasındaki oran, aynı açılara sahip olan başka bir dik üçgenin kenarları arasındaki oranlarla aynıdır.

Daha basit ifadeyle, bir dik üçgenin kenarları arasındaki oranlar, aynı açılara sahip başka bir dik üçgenin kenarları arasındaki oranlarla aynıdır.

$\alpha$ açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant

Bir dik üçgende bir dar açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğunun hipotenüse oranına sinüs denir. Sinüs, bölünmüş dik kenar uzunluğunu hipotenüs uzunluğuna oranlayarak elde edilir.
$\sin \alpha=\frac{\text { Karşı Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Hipotenüs Uzunluğu }}=\frac{b}{a}$ şeklinde ifade edilir.

Bir dik üçgende bir dar açıya komşu olan dik kenarın uzunluğunun hipotenüse oranına kosinüs denir. Kosinüs, bölünmüş komşu dik kenar uzunluğunu hipotenüs uzunluğuna oranlayarak elde edilir.
$\cos \alpha=\frac{\text { Komşu Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Hipotenüs Uzunluğu }}=\frac{c}{a}$

Bir dik üçgende bir dar açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğunun açıya komşu olan dik kenarın uzunluğuna oranına tanjant denir. Tanjant, bölünmüş dik kenar uzunluğunu komşu dik kenar uzunluğuna oranlayarak elde edilir.
$\tan \alpha=\frac{\text { Karşı Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Komşu Dik Kenar Uzunluğu }}=\frac{b}{c}$

Bir dik üçgende bir dar açıya komşu olan dik kenarın uzunluğunun açının karşısında bulunan dik kenarın uzunluğuna oranına kotanjant denir. Kotanjant, bölünmüş komşu dik kenar uzunluğunu dik kenar uzunluğuna oranlayarak elde edilir.
$\cot \alpha=\frac{\text { Komşu Dik Kenar Uzunluğu }}{\text { Karşı Dik Kenar Uzunluğu }}=\frac{b}{c}$

Hatırlatma: $\cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}$

Tümler açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.
$a + b = 90^{\circ}$ ise,
sina = cosb
cosa = sinb
tana= cotb
cota = tanb olur

$30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $60^{\circ}$ sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri

Birim Çember ve Trigonometrik Oranların Birim Çember Üzerindeki Noktaların Koordinatları ile İlişkisi

Birim çember, merkezi orijin olan ve yarıçapı 1 birim olan bir çembere denir. Bir nokta A(x, y) birim çember üzerinde ise, $x^2 + y^2 = 1$ denklemi geçerlidir.

Birim çember

Bir açının $\alpha$ ölçüsünün kosinüs değeri, nokta A’nın x koordinatına eşittir ve sinüs değeri A’nın y koordinatına eşittir.

$\alpha$ açısının tanjant değeri, [OA nın x = 1 doğrusunu kestiği B noktasının koordinatına, kotanjant değeri [OA nın y = 1 doğ rusunu kestiği C noktasının apsisine eşittir.

$\alpha$ açısının tanjant değeri, [OA nın x = 1 doğrusunu kestiği B noktasının koordinatına, kotanjant değeri [OA nın y = 1 doğrusunu kestiği C noktasının apsisine eşit

x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni, x = 1 doğrusu tanjant ekseni, y = 1 doğrusu kotanjant ekseni olarak adlandırılır.

x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni, x = 1 doğrusu tanjant ekseni, y = 1 doğrusu kotanjant ekseni

Geniş açıların birim çemberle kesiştiği noktalar, dik koordinat sisteminin ikinci bölgesinde bulunur. Bu nedenle, bu noktaların apsisi negatif, ordinatı ise pozitiftir.
Örneğin, [OA’nın y=1 doğrusunu kestiği B noktası dik koordinat sisteminin ikinci bölgesinde yer aldığından apsisi negatif bir değere sahiptir.
Benzer şekilde, [OA’nın x=1 doğrusunu kestiği E noktası dik koordinat sisteminin dördüncü bölgesinde yer aldığından ordinatı negatif bir değere sahiptir.
Eğer $\alpha$ bir geniş açı ise, sinüs değeri $\sin \alpha$ değeri pozitif; ; ancak kosinüs değeri $\cos \alpha$ , tanjant değer $\tan \alpha$ , e kotanjant değer $\cot \alpha$ negatiftir.