Fonksiyon Grafiği

f: A \rightarrow B, y = f(x) fonksiyonuna ait tüm noktalar koordinat sistemi üzerinde gösterildiğinde oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği diyoruz. 

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken tanım kümesinde bulunan elemanları yatay -x- ekseninde, değer kümesinde bulunan elemanları ise düşey -y- ekseninde gösteriyoruz.

Fonksiyonun Grafiği

f: R \rightarrow R, f(x) = ax+b şeklinde yazılan doğrusal fonksiyonların grafiğini çizerken en az iki adet x değeri için f(x) değerlerini bulmamız gerekir. Bulduğumuz (x, f(x)) noktalarını koordinat sisteminde işaretleyip bu noktaları bir çizgiyle birleştirdiğimizde f fonksiyonunun grafiğini elde etmiş oluruz. Örnek olarak f(x)= 2x+5 grafiğini çizip inceleyelim:

Dikey Doğru Testi

Elimizde, grafiği verilmiş bir bağıntı olduğunu düşünelim. Bu grafiğin bir fonksiyona ait olup olmadığını anlamak için, bağıntının tanım aralığının her bir noktasından y eksenine paralel, düşey doğrular çiziyoruz. Çizdiğimiz doğrular, grafiği yalnızca bir noktada kesiyorsa bu grafiğin bir fonksiyona ait olduğunu söylüyoruz.

Elimizdeki grafiğin fonksiyon olup olmadığını görmek için uyguladığımız bu teste dikey(düşey) doğru testi diyoruz.

Doğrusal Fonksiyonların Grafiği

Doğrusal fonksiyonların grafiğini çizerken, fonksiyonun doğrusal bir fonksiyon olduğundan yani f(x) =  ax+ b şeklinde yazıldığından emin olmalıyız. Bu fonksiyonun grafiğini çizerken, fonksiyonun x=0 için y eksenini kestiği noktaya ve y= 0 için x eksenini kestiği noktaya ihtiyaç duyarız. Bu iki noktayı belirledikten sonra grafiği çizebiliriz. Örneğin; f(x) = 3x+ 9 fonksiyonunun grafiği için x= 0 \rightarrow y= 9 ve y=0 \rightarrow x=-3 noktalarını birleştiririz:

Grafiği Verilen Fonksiyonların Denklemi

Fonksiyon grafiklerini yorumlarken; grafik üzerindeki noktalardan x ve y eksenine paralel doğrular çizeriz. y eksenine paralel çizdiğimiz doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonumuzun tanım kümesini, x eksenine paralel çizdiğimiz doğrulan y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonumuzun görüntü kümesini verir.

Grafiği verilen fonksiyonun denklemini yazarken, grafiğin x eksenini kestiği nokataya a ve y eksenini kestiği noktaya b dersek;

\frac{x }{a } + \frac{y}{b} = 1 formülünü uygularak grafiği verilen fonksiyonun denklemini yazabiliriz.

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar konusu; tıpkı matematiğin diğer konuları gibi günlük yaşamda sıkça kullanılmaktadır. Evimize yeni bir elektronik cihaz alırken, cihazın fonksiyonları hakkında bilgi sahibi olmak isteriz. Hayatımızı kolaylaştıran eşyaları anlatırken –fonksiyonel- sıfatını kullanırız. Fonksiyon kelimesinin sözlük anlamı -işlev, görev- olarak karşımıza çıkar. Fonksiyon kavramının matematikteki anlamı da sözlükteki anlamına oldukça yakındır. Matematiksel olarak fonksiyon kavramı; -değişken sayıları girdi olarak kullanarak bunlardan sayısal bir sonuç almamızı sağlayan kurallar- anlamına gelmektedir.

Fonksiyon kavramını günlük hayattan basit bir örnekle açıklayalım;

  • Değirmen Fonksiyonu: Tarladan topladığımız buğdayları değirmene verdiğimizde karşılığında un alırız. Burada buğday girdi, buğdayın öğütülmesi sırasında değirmende gerçekleşen işlemler fonksiyonun kuralı, işlem tamamlandığında elde ettiğimiz un da sonuç olacaktır. 

Fonksiyonların Gösterimi       

A ve B boş küme olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A \times B = {( c, d): c \epsilon A, d \epsilon B} kartezyen çarpım kümesinin ayrı ayrı tüm alt kümelerine A’dan B’ye bir bağıntı diyoruz. Bağıntıları göstermek için \alpha , \beta , g ve h gibi semboller kullanıyoruz.

A’dan B’ye tanımlanan herhangi bir bağıntı, aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa bu bağıntıya fonksiyon adını veririz:

  1. A kümesinde eşleşmemiş eleman bulunmamalıdır.
  2. A kümesindeki rastgele bir eleman, B kümesinde sadece bir elemanla eşleşmelidir.

Örneğin; A’dan B’ye tanımlı bir f bağıntımız olsun. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için:

  1. Her c \epsilon A için (c,d) c \epsilon f olacak şekilde bir d \epsilon B var ve
  2. (c, d_{1}) \epsilon f ve (c, d_{2}) \epsilon f olduğunda  d_{1}= d_{2} oluyorsa, f bağıntısına fonksiyon deriz.

 A kümesinden B kümesine tanımladığımız f fonksiyonunu f: A \rightarrow B şeklinde gösteririz. (c,d) \epsilon f \Rightarrow d=f(c) şeklinde yazarız. Bu şekilde gösterilen bir fonksiyonda c’ye bağımsız değişken, d’ye de bağımlı değişken ismini veririz.

f: A \rightarrow B şeklindeki gösterimde, A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi ise fonksiyonun değer kümesi adını alır.

A kümesinde bulunan elemanların, f fonksiyonu aracılığıyla B kümesinde eşleştiği elemanlardan meydana gelen kümeye fonksiyonun görüntü kümesi diyoruz. Görüntü kümesi, f(A) şeklinde gösterilir  ve f(A) \subseteq B dir.   

Eşit Fonksiyonlar

Fonksiyonlar da aynı sayılar ve denklemler gibi birbirlerine eşitlenebilir. f:(A) \rightarrow B ve h: A \rightarrow şeklinde iki fonksiyon düşünelim.   \forall x   \epsilon A için f(x) = h(x) oluyor ise f ve h fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar deriz. Eşit fonksiyonları f=g şeklinde gösteririz.

Birim Fonksiyon

g: A \rightarrow B bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonu g(x)= I(x)= x şeklinde gösteriyoruz.

Sabit Fonksiyon

h: A \rightarrow B bir fonksiyon iken, tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesindeki yalnızca bir eleman ile eşleşiyorsa, h fonksiyonuna sabit fonksiyon deriz. Sabit fonksiyonu, c \epsilon B olmak üzere, h(x)= c şeklinde gösteririz.

Doğrusal Fonksiyon

f fonksiyonu, doğal sayılar kümesinde tanımlı ve f fonksiyonunun değer kümesi de yine doğal sayılar iken;

a ve b \epsilon R olmak üzere, f(x)= ax + b biçiminde gösterilen fonksiyonlara doğrusal fonksiyon diyoruz.  Bu ifade, fonksiyonun görüntü kümesinin analitik düzlemde olduğunu gösterir.