11. Sınıf Analitik Geometri konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Doğrunun Analitik İncelenmesi

Doğrunun analitik incelemesi, matematik dünyasında doğru çizgilerin gizemini çözmek için kullanılan güçlü bir araçtır. Bu yöntem, doğruların özelliklerini matematiksel olarak açıklamamıza yardımcı olur; bu da doğrunun eğimi, nerede kesiştiği ve nasıl tanımlanabileceği gibi konuları içerir. Doğrunun analitik incelemesi, matematiksel düşünme becerilerini geliştirirken aynı zamanda gerçek dünya problemlerini çözmek için de kullanılabilir.

Koordinat (Sayı) Doğrusu

Koordinat doğrusu, her noktasının bir reel sayıya karşılık geldiği bir matematiksel yapıdır. Bu sayı doğrusu, her iki reel sayı arasında sonsuz sayıda reel sayı içerir.

Bir A noktası x reel sayısı ile eşleştirildiğinde A noktasının koordinatı x olur ve koordinatı x olan A noktası A(x) şeklinde yazılır.

Sayı doğrultusu

Koordinat doğrusundaki iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
Yani, M(x) ve B(y) noktaları arasındaki uzaklık $|MB| = |y - x| = |x - y|$ olur. Örneğin, M(-6) ve B(5) noktaları arasındaki uzaklık, |MB| = |5 – (-6)| = 11 birimdir

Analitik Düzlem

Bir düzlemde, aynı başlangıç noktasına sahip olan ve dik bir şekilde kesişen iki koordinat doğrusu tarafından oluşturulan sisteme koordinat sistemi denir. Bu koordinat sistemi genellikle yatay ekseni x ve düşey ekseni y ile temsil eder.

Başlangıç noktası veya orijin olarak adlandırılan O noktası, bu iki eksenin kesişim noktasıdır. Koordinat sistemi, analitik düzlem olarak bilinen bir düzlemi tanımlar ve bu düzlemi dört farklı bölgeye ayırır.

Analitik düzlem

Gördüğünüz şekilde A noktasının koordinatlarını (x, y) ile ifade edelim. Bu ifadede, x A noktasının apsisini (yatay konumunu) ve y ise ordinatını (dikey konumunu) temsil eder. Yani, A(x, y) ifadesi, A noktasının koordinatlarını net bir şekilde gösterir.

Bu sayede, koordinat sistemi sayesinde herhangi bir noktanın konumu kolayca belirlenebilir, ve matematiksel işlemler ve analizler için kullanılır.

Analitik Düzlem

Şekilde gösterilen A(6, 21), B(-6, 2), C(-6, -2) ve D(6, -2) noktalarının bir araya gelmesiyle ABCD adını verdiğimiz bir dikdörtgen oluşur. Bu dikdörtgenin köşeleri, analitik düzlemde farklı bölgelerde bulunur ve bu nedenle bu noktaların koordinatlarının işaretleri bölgeye göre değişir.

Küçük bir hatırlatma:
A(x, y) noktası,

bölgede ise x > 0, y > 0 (+, +) olur.
bölgede ise x < 0, y > 0 (-, +) olur.
bölgede ise x < 0, y < 0 (-, -) olur.
bölgede ise x > 0, y < 0 (+, -) olur.

Küçük bir hatırlatma:
Bir kenar uzunluğu a birim olan, ABC eşkenar üçgeninin alanı $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Taban uzunlukları a birim ve c birim, yüksekliği h birim olan, ABCD yamuğunun alanı $\frac{(a+c). h}{2}$

Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik düzlemde $A(x_{1},y_{1})$ ve $B(x_{2},y_{2})$ noktaları verilsin.

İki nokta arasındaki uzaklık

$[A B]$ hipotenüs ve dik kenarları x ile y eksenine paralel olacak şekilde $A B C$ üçgeni oluşturuluyor. Bu üçgenin kenarları $BC$ ve $AC$ sırasıyla $y_2-y_1$ ve $x_2-x_1$ uzunluğundadır.

Pisagor Teoremi’ni kullanarak, $A$ ile $B$ noktaları arasındaki mesafeyi hesaplayabiliriz. Bu mesafe, $AB$ doğrusunun uzunluğunu ifade eder ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

$|A B|^2=\left|x_2-x_1\right|^2+\left|y_2-y_1\right|^2 \quad|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2=(\mathbf{b}-\mathbf{a})^2 \text { olduğundan }$
$|A B|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$

Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

1. $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ iki nokta verildiğinde, bu iki nokta arasındaki bir $C$ noktasını ( $C\in [AB]$ ) düşünelim. Eğer bu $C$ noktası, $AB$ doğrusunu $\frac{|AC|}{|CB|} = k$ oranında bölerse, bu durumda $C$ noktasının $[AB]$ doğrusunu $k$ oranında içten böldüğü ifade edilir.

$C$ noktasının $[AB]$ doğrusunu $k$ oranında içten böldüğü

Bu ifade, $AC$ uzunluğunun $CB$ uzunluğuna olan oranının $k$ olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki uzaklık farklarını kullanarak bu oranı hesaplayabiliriz. Eğer $k = 1$ ise, $C$ noktası tam olarak ortada bulunur ve $[AB]$ doğrusunu eşit bir şekilde böler. Eğer $k$ farklı bir değer ise, $C$ noktası $[AB]$ doğrusunu bu oranda içten böler.
CAD ile BCE iki dik üçgendir ve bu iki üçgen arasındaki benzerlik Açı-Açı benzerliği (A.A. benzerliği) kuralı ile ifade edilir. Eğer $\frac{|AC|}{|BC|} = k$ oranı verilmişse, bu durumda noktanın C(x, y) koordinatlarını hesaplamak için kullanılan iki eşitlik vardır.
İlk eşitlik, $x$ koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: $\frac{x - x_1}{x_2 - x} = k$ . Bu eşitlik, $C$ noktasının $x$ koordinatını bulmak için kullanılır.
İkinci eşitlik ise, $y$ koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: $\frac{y - y_1}{y_2 - y} = k$ . Bu eşitlik, $C$ noktasının $y$ koordinatını bulmak için kullanılır.

Bu iki eşitlik, $C(x, y)$ noktasının koordinatlarını bulmak için kullanışlıdır ve verilen benzerlik oranını kullanarak bu koordinatları elde edebilirsiniz.

2. $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ iki nokta verildiğinde, $C$ noktası bu iki nokta dışında ( $C\notin [AB]$ ) bir yerde bulunuyorsa ve $\frac{|AC|}{|CB|} = k$ ise, bu durumda C noktası [AB] doğrusunu k oranında dıştan böler denir.

$C$ noktası [AB] doğrusunu k oranında dıştan böler

CAD ile BCE iki dik üçgendir ve bu iki üçgen arasındaki benzerlik Açı-Açı benzerliği (A.A. benzerliği) kuralı ile ifade edilir. Eğer $\frac{|AC|}{|CB|} = k$ ise, bu durumda $C$ noktasının koordinatlarını bulmak için kullanılan iki eşitlik şunlardır:
İlk eşitlik, $x$ koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: $\frac{x - x_1}{x - x_2} = k$ . Bu eşitlik, $C$ noktasının $x$ koordinatını bulmak için kullanılır.
İkinci eşitlik ise, $y$ koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: $\frac{y - y_1}{y - y_2} = k$ . Bu eşitlik, $C$ noktasının $y$ koordinatını bulmak için kullanılır.

Bu iki eşitlik, $C(x, y)$ noktasının koordinatlarını bulmak için kullanışlıdır

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası

$A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları verildiğinde, bu iki noktanın birleştirdiği $AB$ doğru parçasının orta noktasını $C(x, y)$ olarak kabul edelim. Bu durumda, $\frac{|CB|}{|AC|} = 1$ olur.

Bİr doğru parçasının orta noktası

CAD ve BCE dik üçgenleri Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) eşlik bağıntısına göre benzerdir. Bu nedenle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
$x - x_1 = x_2 - x$ , bu eşitlik $x$ koordinatını hesaplamak için kullanılır ve sonucunda $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ elde edilir.
$y - y_1 = y_2 - y$ , bu eşitlik $y$ koordinatını hesaplamak için kullanılır ve sonucunda $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$ elde edilir.

Sonuç olarak, orta noktanın koordinatları $C(x, y) = C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ olarak bulunur.

Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

Köşe koordinatları $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ ve $B(x_3, y_3)$ olan ABC üçgenini düşünelim. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G$ noktası, koordinatları G(x, y) olsun. $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplamak için;
1. $BC$ doğru parçasının orta noktasını bulalım. Bu noktanın koordinatları $D\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)$ olur.
2. $G$ noktasını hesaplayalım. $G$ , $AD$ doğrusunu oranla bölen bir nokta olarak düşünülsün ve bu oran $\frac{|AG|}{|GD|}=2$ olarak verilsin. Bu oran, $A$ ile $G$ ve $G$ ile $D$ noktalarının koordinatları arasındaki farkın 2 katı olduğunu ifade eder.
3. $x$ koordinatını hesaplayalım. İlk olarak, $x_1$ ile $x$ arasındaki ilişkiyi şu şekilde yazabiliriz: $\frac{x_{1} - x}{x - \frac{x_{2} + x_{3}}{2}} = 2$ . Bu eşitliği çözerek $x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}$ elde ederiz.
4. $y$ koordinatını hesaplamak için aynı mantığı kullanabiliriz. Sonuç olarak, $G$ noktasının koordinatları $G\left(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}\right)$ olarak bulunur.