Diğer eğitim projelerimize baktınız mı ? KolayBiyoloji.com KolayFizik.com KonuAnlatım.com
ANALİTİK GEOMETRİ 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti
11. Sınıf Analitik Geometri konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Doğrunun analitik incelemesi, matematik dünyasında doğru çizgilerin gizemini çözmek için kullanılan güçlü bir araçtır. Bu yöntem, doğruların özelliklerini matematiksel olarak açıklamamıza yardımcı olur; bu da doğrunun eğimi, nerede kesiştiği ve nasıl tanımlanabileceği gibi konuları içerir. Doğrunun analitik incelemesi, matematiksel düşünme becerilerini geliştirirken aynı zamanda gerçek dünya problemlerini çözmek için de kullanılabilir.
Koordinat (Sayı) Doğrusu
Koordinat doğrusu, her noktasının bir reel sayıya karşılık geldiği bir matematiksel yapıdır. Bu sayı doğrusu, her iki reel sayı arasında sonsuz sayıda reel sayı içerir.
Bir A noktası x reel sayısı ile eşleştirildiğinde A noktasının koordinatı x olur ve koordinatı x olan A noktası A(x) şeklinde yazılır.
Koordinat doğrusundaki iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
Yani, M(x) ve B(y) noktaları arasındaki uzaklık olur. Örneğin, M(-6) ve B(5) noktaları arasındaki uzaklık, |MB| = |5 – (-6)| = 11 birimdir
Analitik Düzlem
Bir düzlemde, aynı başlangıç noktasına sahip olan ve dik bir şekilde kesişen iki koordinat doğrusu tarafından oluşturulan sisteme koordinat sistemi denir. Bu koordinat sistemi genellikle yatay ekseni x ve düşey ekseni y ile temsil eder.
Başlangıç noktası veya orijin olarak adlandırılan O noktası, bu iki eksenin kesişim noktasıdır. Koordinat sistemi, analitik düzlem olarak bilinen bir düzlemi tanımlar ve bu düzlemi dört farklı bölgeye ayırır.
Gördüğünüz şekilde A noktasının koordinatlarını (x, y) ile ifade edelim. Bu ifadede, x A noktasının apsisini (yatay konumunu) ve y ise ordinatını (dikey konumunu) temsil eder. Yani, A(x, y) ifadesi, A noktasının koordinatlarını net bir şekilde gösterir.
Bu sayede, koordinat sistemi sayesinde herhangi bir noktanın konumu kolayca belirlenebilir, ve matematiksel işlemler ve analizler için kullanılır.
Şekilde gösterilen A(6, 21), B(-6, 2), C(-6, -2) ve D(6, -2) noktalarının bir araya gelmesiyle ABCD adını verdiğimiz bir dikdörtgen oluşur. Bu dikdörtgenin köşeleri, analitik düzlemde farklı bölgelerde bulunur ve bu nedenle bu noktaların koordinatlarının işaretleri bölgeye göre değişir.
Küçük bir hatırlatma:
A(x, y) noktası,
- bölgede ise x > 0, y > 0 (+, +) olur.
- bölgede ise x < 0, y > 0 (-, +) olur.
- bölgede ise x < 0, y < 0 (-, -) olur.
- bölgede ise x > 0, y < 0 (+, -) olur.
Küçük bir hatırlatma:
Bir kenar uzunluğu a birim olan, ABC eşkenar üçgeninin alanı
Taban uzunlukları a birim ve c birim, yüksekliği h birim olan, ABCD yamuğunun alanı
Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde ve noktaları verilsin.
hipotenüs ve dik kenarları x ile y eksenine paralel olacak şekilde üçgeni oluşturuluyor. Bu üçgenin kenarları ve sırasıyla ve uzunluğundadır.
Pisagor Teoremi’ni kullanarak, ile noktaları arasındaki mesafeyi hesaplayabiliriz. Bu mesafe, doğrusunun uzunluğunu ifade eder ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
1. ve iki nokta verildiğinde, bu iki nokta arasındaki bir noktasını () düşünelim. Eğer bu noktası, doğrusunu oranında bölerse, bu durumda noktasının doğrusunu oranında içten böldüğü ifade edilir.
Bu ifade, uzunluğunun uzunluğuna olan oranının olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki uzaklık farklarını kullanarak bu oranı hesaplayabiliriz. Eğer ise, noktası tam olarak ortada bulunur ve doğrusunu eşit bir şekilde böler. Eğer farklı bir değer ise, noktası doğrusunu bu oranda içten böler.
CAD ile BCE iki dik üçgendir ve bu iki üçgen arasındaki benzerlik Açı-Açı benzerliği (A.A. benzerliği) kuralı ile ifade edilir. Eğer oranı verilmişse, bu durumda noktanın C(x, y) koordinatlarını hesaplamak için kullanılan iki eşitlik vardır.
İlk eşitlik, koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: . Bu eşitlik, noktasının koordinatını bulmak için kullanılır.
İkinci eşitlik ise, koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: . Bu eşitlik, noktasının koordinatını bulmak için kullanılır.
Bu iki eşitlik, noktasının koordinatlarını bulmak için kullanışlıdır ve verilen benzerlik oranını kullanarak bu koordinatları elde edebilirsiniz.
2. ve iki nokta verildiğinde, noktası bu iki nokta dışında () bir yerde bulunuyorsa ve ise, bu durumda C noktası [AB] doğrusunu k oranında dıştan böler denir.
CAD ile BCE iki dik üçgendir ve bu iki üçgen arasındaki benzerlik Açı-Açı benzerliği (A.A. benzerliği) kuralı ile ifade edilir. Eğer ise, bu durumda noktasının koordinatlarını bulmak için kullanılan iki eşitlik şunlardır:
İlk eşitlik, koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: . Bu eşitlik, noktasının koordinatını bulmak için kullanılır.
İkinci eşitlik ise, koordinatını hesaplarken kullanılır ve şu şekildedir: . Bu eşitlik, noktasının koordinatını bulmak için kullanılır.
Bu iki eşitlik, noktasının koordinatlarını bulmak için kullanışlıdır
Bir Doğru Parçasının Orta Noktası
ve noktaları verildiğinde, bu iki noktanın birleştirdiği doğru parçasının orta noktasını olarak kabul edelim. Bu durumda, olur.
CAD ve BCE dik üçgenleri Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) eşlik bağıntısına göre benzerdir. Bu nedenle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
, bu eşitlik koordinatını hesaplamak için kullanılır ve sonucunda elde edilir.
, bu eşitlik koordinatını hesaplamak için kullanılır ve sonucunda elde edilir.
Sonuç olarak, orta noktanın koordinatları olarak bulunur.
Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
Köşe koordinatları , ve olan ABC üçgenini düşünelim. Bu üçgenin ağırlık merkezi noktası, koordinatları G(x, y) olsun. üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplamak için;
1. doğru parçasının orta noktasını bulalım. Bu noktanın koordinatları olur.
2. noktasını hesaplayalım. , doğrusunu oranla bölen bir nokta olarak düşünülsün ve bu oran olarak verilsin. Bu oran, ile ve ile noktalarının koordinatları arasındaki farkın 2 katı olduğunu ifade eder.
3. koordinatını hesaplayalım. İlk olarak, ile arasındaki ilişkiyi şu şekilde yazabiliriz: . Bu eşitliği çözerek elde ederiz.
4. koordinatını hesaplamak için aynı mantığı kullanabiliriz. Sonuç olarak, noktasının koordinatları olarak bulunur.
Küçük bir hatırlatma:
Bir dik üçgenin hipotenüsüne ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir.
Yani;