ANALİTİK DÜZLEMDE DOĞRULAR 11. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

11. Sınıf Analitik Düzlemde Doğrular konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun, x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya doğrunun eğim açısı denir.

$d_{1}$ doğrusunun eğim açısı $\alpha$ ve $d_{2}$ doğrusunun eğim açısı $\theta$ olarak ifade edilsin. Bu durumda $d_{1}$ doğrusunun eğimi $m_{1}$, $\tan\alpha$ olarak hesaplanır ve $d_{2}$ doğrusunun eğimi $m_{2}$, $\tan\theta$ olarak hesaplanır.
$d_{1}$ doğrusunun eğimi $m_{1} = \tan\alpha$
$d_{2}$ doğrusunun eğimi $m_{2} = \tan\theta$

$d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ doğrularının eğimleri;

1.

2.

3.

4.

İki Noktadan Geçen Doğrunun Eğimi

Analitik düzlemde, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını düşünelim. Bu iki nokta arasındaki doğruya AB doğrusu diyelim.

AB doğrusunun eğim açısı $\alpha$ olsun. Ayrıca, BAC ile BDE açılarının aynı olduğunu kabul edelim, bu nedenle BAC açısının ölçüsü de $\alpha$ olur.
ABC dik üçgeninde düzlemde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları köşelerini oluşturur. Şimdi, bu üçgenin düzleminde $A$ ve $B$ noktalarından geçen bir doğrunun eğimini hesaplayalım. Bu eğimi temsil eden $m$ değeri, $\tan\alpha$ ile ifade edilir ve şu formül ile hesaplanır:
$m = \tan\alpha = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paralel Doğrular

Paralel doğrular, ortak bir noktaları olmayan doğrulara denir. Eğer bir paralel doğru y ekseni ile paralel değilse, o zaman bu doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Çünkü $d_{1}$ doğrusu ve $d_{2}$ doğrusu paralel, yani aynı yönde sonsuz uzandığı için, $\alpha$ açısı $\theta$ ile aynıdır, yani $\alpha = \theta$. Bu nedenle, $\tan\alpha$ ile $\tan\theta$ da birbirine eşittir. Sonuç olarak, $m_{1}$ ve $m_{2}$ de birbirine eşittir, yani $m_{1} = m_{2}$ olur.

Dik Kesişen Doğrular

Birbirine dik olan iki doğrudan herhangi biri eksenlere paralel değilse bu iki doğrunun eğimleri çarpımı - 1 olur.

Çünkü $\beta$ açısı, $\alpha$ açısının 90 derece fazlasıdır, yani $\beta = 90^{\circ} + \alpha$. Bu nedenle, $m_2$, $\tan \beta$ olarak hesaplanabilir ve $\tan \left(90^{\circ} + \alpha\right)$ ifadesiyle eşittir. Bu ise $-\cot \alpha$ olarak ifade edilir.
Sonuç olarak, $d_1$ ve $d_2$ doğrularının eğimleri, $m_1 \cdot m_2$ şeklinde çarpılabilir ve bu çarpım, $\tan \alpha \cdot (-\cot \alpha)$ olarak hesaplanır, sonucunda ise $m_1 \cdot m_2 = -1$ olur.

Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

Eğimi $m$ olan ve $A(x_1, y_1)$ noktasından geçen bir doğrunun denklemini bulmak için, doğru üzerinde değişken bir nokta $P(x, y)$ alırız.

$d$ doğrusunun eğim açısı $\alpha$ olarak tanımlansın. Bu durumda, CAP açısının ölçüsü $\alpha$ le aynıdır çünkü yöndeş açılardır.

CAP dik üçgeninde doğrunun eğimi $m=\tan \alpha$ larak ifade edebiliriz. Bu $m=\frac{y-y_1}{x-x_1}$ şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla, eğimi $m$ olan ve $A\left(x_1, x_2\right)$ noktasından geçen doğrunun denklemi $\mathbf{y}-\mathbf{y}_{\mathbf{1}}=\mathbf{m} \cdot\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_1\right)$ şeklinde elde edilir. Bu doğru denklemi düzenlendiğinde;
$$\begin{aligned} y-y_1=m \cdot\left(x-x_1\right) \Rightarrow y-y_1=m \cdot x-m \cdot x_1 \\ \Rightarrow y=m \cdot x \underbrace{-m \cdot x_1+y_1}_n=m \cdot x+n \text { olur. } \end{aligned}$$

Sonuç olarak, $m$ eğimine ve $A(x_1, y_1)$ noktasından geçen bir doğrunun denklemi $y = m . x +n$ şeklinde ifade edilir.

Sonuç olarak,
$x, y, a, b, c \in \mathbb{R}$; $a \neq 0$ veya $b \neq 0$ olmak üzere $a x + b y + c = 0$ denklemi verildiğinde, $y$ teriminin tek başına ifadesi şu şekildedir: $y = -\frac{a x + c}{b}$. Bu ifade daha sade bir haliyle $y = -\frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ olarak yazılabilir. Buradan da görüldüğü gibi, $a x + b y + c = 0$ doğrusunun eğimi $m = -\frac{a}{b}$ şeklinde hesaplanır.