ÜÇGENLER Konu Anlatımı Özeti - 8. Sınıf

8. Sınıf Üçgenler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Üçgenlerin Temel ve Yardımcı Elemanları

Üçgenin temel ve yardımcı elemanları şunlardır:

Temel Elemanlar:
- Kenarlar: Üçgenin oluştuğu üç doğru parçasıdır. Kenarlar, üçgenin sınırlarını belirler.
- Köşeler: Üçgenin kenarlarının birleştiği noktalardır. Üçgenin adı, genellikle köşelerinin isimlerinden türetilir (Örneğin, ABC üçgeni, A, B ve C noktalarının adlarına dayanır).
- İç Açılar: Üçgenin köşeleri arasındaki açılardır. Üçgenin toplam iç açısı 180 derecedir.
Yardımcı Elemanlar:
- Kenarortaylar: Bir üçgenin kenarlarının orta noktalarından geçen doğralardır. Kenarortaylar, üçgenin içerisinde birleşir ve üçgeni üç eşit parçaya böler.
- Açıortaylar: Bir üçgenin iç açılarından birini ikiye bölen doğralardır. Açıortaylar, üçgenin içerisinde birleşir ve iç açıları iki eşit parçaya böler.
- Yükseklikler: Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara dik olarak çizilen doğralardır. Yükseklikler, üçgenin içinde köşegenlerin üzerindeki noktalarla karşı kenarları birleştirir.

Üçgenin temel elemanları

Üçgende Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik

çgende Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik, üçgenlerin içerisindeki özel doğruları temsil eden kavramlardır. Bu doğrular, üçgenlerin farklı özelliklerini ve ilişkilerini anlamamızı sağlar. Kenarortay, üçgenin bir kenarını iki eşit parçaya bölerken, Açıortay, üçgenin bir iç açısını iki eşit parçaya böler. Yükseklik ise, bir üçgenin bir köşesiyle karşı kenar arasında çizilen dik doğru parçasını ifade eder. Bu kavramları daha detaylı inceleyerek, üçgenlerin özelliklerini keşfedebilir ve matematiksel ilişkileri anlayabiliriz.

Üçgende Kenarortay

Bir üçgenin kenarlarından birinin orta noktasından diğer köşeye uzanan doğraya kenarortay denir. Yani, bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından başlayıp diğer köşeye kadar uzanan bir doğru çizeriz. Üç kenar için de birer kenarortay vardır. İşte bu doğrular üçgenin içinde birleşir. Kenarortaylar, üçgeni eşit parçalara böler. Yani, üçgenin her bir kenarını üç eşit parçaya ayırır.

Kenarortay

Üçgende Açıortay

Üçgende bir iç açıyı ortadan iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. Açıortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir. Yani, bir iç açıdan başlayıp karşı kenarı kesen bir doğru çizeriz. Her iç açı için bir açıortay vardır ve bu doğrular da üçgenin içinde birleşir. Açıortaylar, iç açıyı iki eşit parçaya böler. Yani, iç açıyı iki eşit parçaya ayırır.
$\widehat{ABC}$ ‘nin açıortayı $[AD$ ’dir.

Açıortay

Üçgende Yükseklik

Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara dik olarak çizilen doğraya yükseklik denir. Yani, bir köşeden başlayıp karşı kenara dik bir doğru çizeriz. Her üç köşe için birer yükseklik vardır. Yükseklikler, köşegenlerin üzerindeki noktalarla karşı kenarları birleştirir ve üçgenin içinde birleşir.
Yükseklik $h$ ile gösterilir.

Yükseklik

Üçgenlerin Kenarları Arasındaki İlişkiler

Üçgen eşitsizliği kuralı, üçgenin kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklar.

Üçgen eşitsizliği şöyle der: Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır. Ayrıca, iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daha küçük olmalıdır. Yani, bir üçgenin kenarları a, c ve c olsun. Üçgen eşitsizliği, şu iki koşulu sağlamalıdır:

Üçgen

Verilen üç doğru parçasıyla üçgen çizilebilmesi için doğru parçalarının ölçülerinin bu eşitsizliklerden birini sağlaması yeterlidir.
$Ib - cI < a < b +c$
$Ia - cI < b < a +c$
$Ia - bI < c < a +b$

Üçgenin Açı ve Kenarları Arasındaki İlişkiler

Bir üçgende en büyük açıya karşılık gelen kenar, en uzun kenardır, ve en küçük açıya karşılık gelen kenar, en kısa kenardır.

Bu durum, üçgenlerde açı ve kenarlar arasındaki ilişkiyi gösterir. En büyük açıya sahip olan kenar, diğer kenarlardan daha uzundur çünkü bu açı, diğer iki açıya göre daha “açık” veya daha büyüktür. Bu nedenle, en büyük açı, en uzun kenarı görür.

Benzer şekilde, en küçük açıya sahip olan kenar, diğer kenarlardan daha kısadır çünkü bu açı, diğer iki açıya göre daha “dar” veya daha küçüktür. Dolayısıyla, en küçük açı, en kısa kenarı görür.

Üçgenin açı ve kenarları arasındaki ilişkiler

c < b < a ise,

$\mathrm{m}(\widehat{B C A})$ < $\mathrm{m}(\widehat{A B C})$ < $\mathrm{m}(\widehat{B A C})$

Üçgen Çizimleri

Üçgenlerin çizimi için bazı yöntemler vardır ve bu yöntemler pergel, cetvel ve açıölçer (iletki) gibi araçlar kullanılarak gerçekleştirilir.

Üç kenar uzunluğu verilen bir üçgeni pergel ve cetvel ile çizebilirsiniz.

Bir kenar uzunluğu ve uç noktalarındaki açıların ölçüleri verilen üçgeni cetvel ve açıölçer ile çizebilirsiniz.

İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü verilen üçgeni cetvel ve açıölçer ile çizebilirsiniz.

Pisagor Bağıntısı

Pisagor bağıntısı, dik üçgenlerdeki kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder.
Dik üçgenlerde $90^{\circ}$ ’lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir.

Pisagor Bağıntısı şu şekildedir: Bir dik üçgenin iki kısa kenarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (en uzun kenar) uzunluğunun karesine eşittir.
$c^2 = a^2 + b^2$

Daha matematiksel bir ifadeyle, dik üçgenin kenarları a, b ve c olsun, burada c hipotenüsü temsil eder. Pisagor Bağıntısı şu şekilde yazılır:

Pisagor Bağıntısı

Eşlik Benzerlik

Doğrusal olmayan en az üç doğru parçasının ardışık bir şekilde uç uca eklenmesiyle oluşan kapalı bir şekle “çokgen” denir.
Eğer iki çokgenin karşılıklı açıları birbirine eşit ve karşılıklı kenarları da eşitse, bu iki çokgen “eştir” ve bunu “ $\cong$ ” sembolüyle gösteririz.

İki çokgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise, bu iki çokgen “benzerdir” denir.
Benzer çokgenlerin karşılıklı kenarları, birbirleriyle orantılıdır. Bu oran, “benzerlik oranı” olarak adlandırılır.
Benzerlik oranı, iki benzer şekil arasındaki karşılıklı kenar uzunluklarının oranını ifade eder.
Özel bir durum olarak, eş şekillerin benzerlik oranı 1’dir. Benzerlik ” $\sim$ ” sembolü ile gösterilir

Üçgende benzerlik

Örnek: ABC üçgeni PRS üçgeni benzer ve
$m\widehat{(P)} = m\widehat{(A)}$ ,
$m\widehat{(R)} = m\widehat{(B)}$
$m\widehat{(S)} = m\widehat{(C)}$ olsun.

ABC ve PRS üçgenlerinde kenar benzerliği;
ABC ve PRS üçgen benzerliğine göre kenarlar arasında sırasıyla oranlama yaparsak,
Benzerlik oranı; $\frac{|PR|}{|AB|} = \frac{|RS|}{|BC|} = \frac{|PS|}{|AC|}$ ,
Yani, $\frac{4}{8} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

ABC ve PRS üçgenlerindeçevre benzerliği;
PRS üçgeninin çevresi: 3 + 4 + 5 = 12 cm
ABC üçgenin çevresi: 6 + 8 + 10 = 24 cm
Bu iki üçgenin çevreleri oranı: $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

ABC ve PRS üçgenlerinde alan benzerliği;
PRS üçgeninin alanı: $\frac{3 . 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm^2$
ABC üçgenin alanı: $\frac{6. 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 cm^2$
Bu iki üçgenin alanları oranı: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Eş şekiller aynı zamanda benzer şekillerdir. Ancak benzer şekiller eş olmak zorunda değildir.