Trigonometri 11. Sınıf Özet Konu Anlatımı

11. Sınıf Çember ve daire konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Yönlü açılar

Trigonometri, matematikte açılar ve üçgenler arasındaki ilişkileri inceleyen bir dal olarak bilinir. Yönlü açılar, trigonometrinin önemli bir kavramıdır ve açıların pozitif veya negatif yönde ölçülebileceği anlamına gelir. Yönlü açılar, trigonometrik hesaplamalarda ve geometride birçok uygulamada önemli bir rol oynar. Ayrıca, vektörlerin ve dairesel hareketin tanımlanması gibi konularda da kullanılırlar.Burada, yönlü açıların tanımlrından ve özelliklerinden kısaca bahsettim.

Yönlü Açı

Yönlü açı, düzlemde aynı başlangıç noktasına sahip olan ve birleşen iki ışının oluşturduğu açıyı ifade eder. Bu iki ışın, açının kenarlarını oluştururken, ışınların başlangıç noktası açının köşesini oluşturur. Örneğin, [OA ve [OB ışınları BOA açısının kenarlarını oluştururken, O noktası ise açının köşesini temsil eder.

Yönlü açı

Yönlü açılar, bir açının kenarlarından birinin başlangıç, diğerinin ise bitiş kenarı olarak kabul edilir. Bu tür açılara yönlü açı adı verilir. Yönlü açılarda, başlangıç kenarı sabit kalırken, bitiş kenarı hareketlidir. Bitiş kenarı saat yönünün tersine doğru hareket eden açılara pozitif yönlü açı denir. AOB açısı, pozitif yönlü bir açıdır.

Pozitif Yönlü Açı

Bitiş kenarı saat dönüş yönüyle aynı yönde hareket eden açılara negatif yönlü açı denir. Dolayısıyla AOB açısı negatif yönlü bir açıdır.

Negatif Yönlü Açı

Açı Ölçü Birimleri

Açıların ölçülmesi, açının kolları arasındaki açıklığın belirlenmesiyle yapılır. Açının ölçüsü, genellikle derece veya radyan birimleri kullanılarak ifade edilir.
Derece birimi, tam bir çember yayının 360 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayın gören merkez açısının ölçüsüne 1 derece denir ve bu ölçü 1^{\circ} şeklinde gösterilir. Bir çemberin toplam yay ölçüsü 360^{\circ} dir.
Derecenin \frac{1}{60} ine 1 dakika denir. Bu ölçü 1^{\prime} biçiminde gösterilir. Dakikanın \frac{1}{60} ine 1 saniye denir. Bu ölçü 1″ biçiminde gösterilir. 1^{\circ}=60^{\prime}=3600^{\prime \prime} olur.

Bir açının ölçüsü a derece b dakika c saniye ise bu a^{\circ}+\mathbf{b}^{\prime}+c^{\prime \prime} veya \mathbf{a}^{\circ} \mathbf{b}^{\prime} c” biçiminde gösterilir.

Açı Ölçü Birimleri

Bir açının ölçüsü saniye cinsinden verildiğinde, 1^{\circ}=3600^{\prime \prime} olduğundan ölçüyü 360’a böleriz. Bölüm, açının derecesini; kalan, açının sayinesini gösterir. Kalan saniye değerinin kaç dakika olduğunu bulmak için (1^{\prime}=60^{\prime \prime}) ile bölme işlemi yaparız. Bölüm, açının kaç dakika olduğunu; kalan, kaç saniye olduğunu gösterir.

Radyan

Bir çemberin yarıçapıyla aynı uzunluğa sahip olan bir yayın, merkez açının ölçüsüne “1 radyan” denir ve bu ölçü 1^R şeklinde gösterilir. (Eğer bir açının ölçüsü \pi ile ifade ediliyorsa, ölçü birimi olarak radyan kullanıldığını düşüneceğiz)

Radyan

Esas Ölçü

O merkezli bir çemberde A ve B noktalarını birleştiren yayı gören merkez açının ölçüsü \alpha ise, A noktasından başlayarak çember üzerinde pozitif yönde ilerleyen bir kişi, 3 turun sonunda B noktasına ulaşır. Bu kişi, toplamda kaç derece yer değiştirmiş? Sorusunun cevabı için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

    \[\beta=\alpha+{3.360^{\circ}} \text { şeklinde yazılabilir. }\]

Bu formüle göre, kişi A noktasından harekete başlayıp 3 tur attıktan sonra B noktasına ulaşmış ve çember üzerinde \alpha açısı kadar yer değiştirmiştir. Burada \alpha açısı, \beta açısının asıl ölçüsünü temsil etmektedir.
\beta=\alpha+3.360^{\circ} açısında \alpha, \beta açılarının 360^{\circ} ile bölümünden elde edilen kalanı ifade eder.

Esas Ölçü

\mathrm{k} \in \mathbb{Z} için;
\alpha \in\left[0^{\circ}, 360^{\circ}\right) olmak üzere \beta=\alpha+k \cdot 360^{\circ} ise \alpha açısına \beta açısının esas ölçüsü denir.
\theta \in[0,2 \pi) olmak üzere ölçüsü \theta+k \cdot 2 \pi olan açının esas ölçüsü \theta radyandır.
Açıların esas ölçüleri negatif olamaz

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar, trigonometri alanında önemli bir role sahiptir. Birim çember, trigonometrik fonksiyonların geometrik olarak nasıl açıklanabileceğini gösterir. Kosinüs ve sinüs teoremleri, üçgenlerde açılar ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri açıklar. Trigonometrik fonksiyonların grafikleri, açılara bağlı olarak fonksiyonların nasıl değiştiğini gösterir. Ters trigonometrik fonksiyonlar ise trigonometrik fonksiyonların tersini hesaplamak için kullanılır.
Bu başlıklar altında, trigonometrik fonksiyonların birim çember yardımıyla açıklanmasından, üçgenlerdeki teoremlere, grafiklerine ve ters fonksiyonlara kadar birçok önemli konuya değinilir

Trigonometrik Fonksiyonların Birim Çember Yardımıyla Açıklanması

Trigonometrik fonksiyonlar, birim çemberin yardımıyla açıklanır. Birim çember, trigonometrik fonksiyonların geometrik olarak nasıl temsil edildiğini gösterir.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası verilsin ve bu noktayı orijinle birleştiren [OP nin x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü \alpha olsun.
P noktasının apsisine \alpha açısının kosinüsü denir ve bu ifade \cos \alpha ile gösterilir. Yani, x=\cos \alpha olur.
P noktasının ordinatına \alpha açısının sinüsü denir ve bu ifade \sin \alpha ile gösterilir. Yani, y=\sin \alpha olur.
Bu durumda, x ekseni kosinüs ekseni olarak adlandırılırken, y ekseni sinüs ekseni olarak adlandırılır.

P noktası birim çember üzerinde bulunduğundan apsis ve ordinat değerleri -1 den küçük, 1 den büyük olamaz. Yani, -1 \leq \sin \alpha \leq 1,-1 \leq \cos \alpha \leq 1.
Birim çemberde \mathrm{P} noktasından indirilen dikmenin ayağı H olmak üzere \mathrm{POH} dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında \cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha=1 özdeşliği elde edilir.

Sonuç olarak;

    \[\begin{array}{ll}1-\sin ^2 \alpha=\cos ^2 \alpha & 1-\sin ^2 \alpha=(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha) \\1-\cos ^2 \alpha=\sin ^2 \alpha & 1-\cos ^2 \alpha=(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)\end{array}\]

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Birim Çemberi

Küçük bir hatırlatma
30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} dik üçgeninde 30^{\circ} lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. 60^{\circ} lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısının \sqrt{3} katına eşittir.

30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} dik üçgeni

f: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], f(x)=\cos x biçiminde tanımlanan fonksiyona kosinüs fonksiyonu, g: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], g(x)=\sin x biçiminde tanımlanan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.
Ölçüleri toplamı 90^{\circ} olan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

a ve b iki açının ölçüleri olmak üzere,
a+b=90^{\circ} veya a+b=\frac{\pi}{2} olduğunda \sin a=\cos b olur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları  

Birim çember üzerinde P noktası verilsin ve bu noktayı orijinle birleştiren [OP nın x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü \alpha olsun.
A(1,0) noktasında birim çembere teğet olan x=1 doğrusuna tanjant ekseni denir.
AOP açısının bitiş kenarının tanjant eksenini kestiği T noktasının ordinatına \boldsymbol{\alpha} açısının tanjantı denir ve bu ifade \tan \alpha ile gösterilir. Yani, |\mathrm{TA}|=\tan \alpha 
OPH ve OTA benzer üçgenlerdir. Benzerlik bağıntılarından \frac{|\mathrm{PH}|}{|\mathrm{TA}|}=\frac{|\mathrm{OH}|}{|\mathrm{OA}|} ilişkisi elde edilir. 
Buradan

    \[\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}=\frac{\cos \alpha}{1} \Rightarrow \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text { elde edilir. }\]

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Birim Çemberi

k \in \mathbb{Z} ve \alpha \neq \frac{\pi}{2} \cdot k olmak üzere \tan \alpha \cdot \cot \alpha=1 olur.

Tanım: f: \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\tan x şeklinde tanımlanan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. Benzer şekilde, g: \mathbb{R}-\{\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\operatorname{cotx} şeklinde tanımlanan fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir.

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

m(\widehat{H O K})=\alpha olmak üzere birim çember üzerindeki \mathrm{K} noktasından çizilen teğetin \mathrm{x} eksenini kestiği L noktasının apsisine \alpha açısının sekantı denir ve bu ifade sec \alpha ile gösterilir. Yani, |\mathrm{OL}|=\sec \alpha.
K noktasından çizilen teğetin y eksenini kestiği M noktasının ordinatına \boldsymbol{\alpha} açısının kosekantı denir ve bu ifade \operatorname{cosec} \alpha ile gösterilir. Yani, |\mathrm{OM}|=\operatorname{cosec} \alpha.

Birim çemberde KOH ile LOK üçgenlerinde m(\widehat{H K O})=m(\widehat{O L K}) olur. Buna göre KOH ile LOK üçgenleri benzer üçgenler olur. 

Benzerlik oranını yazarsak,

    \[\frac{|\mathrm{OH}|}{|\mathrm{OK}|}=\frac{|\mathrm{OK}|}{|\mathrm{OL}|} \Rightarrow \frac{\cos \alpha}{1}=\frac{1}{\sec \alpha} \Rightarrow \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha} \text { olur. }\]

Benzer şekilde KON ile MOK üçgenlerinin benzerliğinden \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin \alpha} elde edilir.

Sekant ve Kosekant Fonksiyonlarının Birim Çemberi

f: \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow \mathbb{R}-(-1,1), f(x)= secx şeklinde tanımlanan fonksiyona sekant fonksiyonu denir.

g: \mathbb{R}-\{\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}-(-1,1), \mathrm{g}(\mathrm{x})= cosecx şeklinde tanımlanan fonksiyona kosekant fonksiyonu denir.

Tanımlı olduğu aralıkta,

    \[\begin{aligned}& 1+\tan ^2 x=\sec ^2 x \\& 1+\cot ^2 x=\operatorname{cosec}^2 x \text { olur. }\end{aligned}\]

Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri

Bir açının ölçüsü \alpha olan bir açının trigonometrik değerlerinin işaretini belirlemek için, açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği noktanın koordinatlarına bakılır. Bu noktanın apsisinin işareti \cos \alpha ‘nın işaretiyle aynı olur, ordinatının işareti ise \sin \alpha ‘nın işaretine uyar.

Trigonometrik Fonksiyon İşaretleri

Bir Açının Trigonometrik Değerlerinin Dar Açı Cinsinden Yazılması

Başlangıç kenarı x ekseninin pozitif tarafı olan pozitif yönlü bir dar açının ölçüsü \alpha olsun. Bu açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği A noktasının koordinatları A(\cos \alpha, \sin \alpha) şeklindedir. 

1. Birinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Analitik düzlemin birinci bölgesinde olan açılar, \alpha bir dar açının ölçüsü olmak üzere 90^{\circ}-\alpha biçiminde ifade edilebilir.

Birinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri


Bu açıların trigonometrik değerleri \alpha nın trigonometrik değerleri cinsinden yazılabilir.
Ölçüsü 90^{\circ}-\alpha olan açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği nokta C olsun. AOB üçgeni ve COD üçgeni birbirine eşittir, yani A ve C noktalarının koordinatları birbirlerinin sinüs ve kosinüs değerleriyle ifade edilebilir: C(\sin \alpha, \cos \alpha).

Buna göre \alpha ‘nın birimi derece olduğunda,

    \[\begin{aligned}& \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha \\& \tan \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\tan \alpha \cot \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cot \alpha\end{aligned}\]

\alpha ‘nın birimi radyan olmak üzere,

    \[\begin{array}{ll|}\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha & \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha & \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}\]

İki açının ölçüleri toplamı 90^{\circ} olduğunda bu açılardan birinin sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri diğer açının sırasıyla kosinüs, sinüs, kotanjant ve tanjant değerlerine eşittir.

    \[\begin{array}{cl}\cos 20^{\circ}=\sin 70^{\circ} \cot 79^{\circ}=\tan 11^{\circ}\]

2. İkinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Analitik düzlemin ikinci bölgesinde yer alan açılar, 180^\circ - \alpha veya 90^\circ + \alpha şeklinde ifade edilebilir. Bu açıların trigonometrik değerleri, \alpha‘nın trigonometrik değerleri kullanılarak yazılabilir.

İkinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Birim çember üzerinde görüldüğü gibi, ölçüsü 180^\circ - \alpha olan açının bitiş kenarı birim çemberi nokta \mathrm{C}‘de kesiyor. Bu durumda, üçgenler AOB ve COD eşittir, bu yüzden nokta C‘nin koordinatları C(-\cos \alpha, \sin \alpha) olur.

Bu bilgilere göre, \alpha‘nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak aşağıdaki formülleri elde ederiz:
\alpha nın birimi derece olmak üzere

    \[\begin{aligned}& \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha \\& \tan \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\tan \alpha \cot \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cot \alpha\end{aligned}\]

Eğer \alpha radyan cinsinden ise, formülleri aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

    \[\begin{array}{ll}\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha & \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha & \cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}\]

İki açının ölçüleri toplamı 180^{\circ} olduğunda bu açılardan birinin kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri diğer açının sırasıyla kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin negatiflerine eşittir.
İki açının ölçüleri toplamı 180^{\circ} olduğunda bu açıların sinüs değerleri birbirine eşittir.

    \[\begin{array}{cl}\cos 120^{\circ}=-\cos 60^{\circ} & \cot 179^{\circ}=-\cot 1^{\circ} \\\tan 145^{\circ}=-\tan 35^{\circ} & \sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}\end{array}\]

İkinci Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Birim çemberde, ölçüsü 90^\circ + \alpha olan açının bitiş kenarı birim çemberi nokta C’de keser. Ayrıca, AOB ve COD dik üçgenleri benzerdir ve nokta C’nin koordinatları C(-\sin \alpha, \cos \alpha) şeklindedir.
\alpha‘nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak, aşağıdaki trigonometrik değerleri elde ederiz:
\cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\sin \alpha \quad \sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)=\cos \alpha
\tan \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\cot \alpha \quad \cot \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\tan \alpha

Eğer \alpha radyan cinsinden ise, formülleri aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

    \[\begin{array}{ll}\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha & \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha \\\tan \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot \alpha & \cot \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan \alpha\end{array}\]

3. Üçüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Analitik düzlemin üçüncü bölgesindeki açılar, 180^\circ + \alpha veya 270^\circ - \alpha şeklinde ifade edilebilir. Bu açıların trigonometrik değerleri, \alpha‘nın trigonometrik değerleri kullanılarak yazılabilir.

Üçüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri


Birim çemberde, ölçüsü 180^\circ + \alpha olan açının bitiş kenarı birim çemberi nokta C’de keser. Buna göre, \alpha‘nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak aşağıdaki trigonometrik değerleri elde ederiz:
\cos \left(180^{\circ}+\alpha\right)=-\cos \alpha \quad \sin \left(180^{\circ}+\alpha\right)=-\sin \alpha \tan \left(180^{\circ}+\alpha\right)=\tan \alpha \quad \cot \left(180^{\circ}+\alpha\right)=\cot \alpha 

Eğer \alpha radyan cinsinden ise, formülleri aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:
\cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha \quad \sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha \quad \cot (\pi+\alpha)=\cot \alpha

AOB ve COD üçgenlerinin A.K.A. eşliğinden C noktasının koordinatları C(-\sin \alpha, -\cos \alpha) olur.


\alpha‘nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak, aşağıdaki trigonometrik değerleri elde ederiz:

    \[\begin{array}{ll}\cos \left(270^{\circ}-\alpha\right)=-\sin \alpha & \sin \left(270^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha \\\tan \left(270^{\circ}-\alpha\right)=\cot \alpha & \cot \left(270^{\circ}-\alpha\right)=\tan \alpha\end{array}\]

Eğer \alpha radyan cinsinden ise, formülleri aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

    \[\begin{array}{ll}\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha & \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha \\\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha & \cot \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha\end{array}\]

Üçüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

4. Dördüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Analitik düzlemin dördüncü bölgesindeki açılar, 360^\circ - \alpha veya 270^\circ + \alpha şeklinde ifade edilebilir. Bu açıların trigonometrik değerleri, \alpha‘nın trigonometrik değerleri kullanılarak yazılabilir.

Dördüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Ölçüsü 360^\circ - \alpha olan açının bitiş kenarı birim çemberi nokta C’de keser. Ayrıca, AOB ve COB üçgenleri A.K.A. eşliğinden C noktasının koordinatları C(\cos \alpha, -\sin \alpha) şeklindedir.

\alpha‘nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak, aşağıdaki trigonometrik değerleri elde ederiz:

    \[\begin{array}{ll}\cos \left(360^{\circ}-\alpha\right)=\cos \alpha & \sin \left(360^{\circ}-\alpha\right)=-\sin \alpha \\\tan \left(360^{\circ}-\alpha\right)=-\tan \alpha & \cot \left(360^{\circ}-\alpha\right)=-\cot \alpha\end{array}\]

Eğer \alpha radyan cinsinden ise, formülleri aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

    \[\begin{array}{ll}\cos (2 \pi-\alpha)=\cos \alpha & \sin (2 \pi-\alpha)=-\sin \alpha \\\tan (2 \pi-\alpha)=-\tan \alpha & \cot (2 \pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}\]

Dördüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

270^\circ + \alpha açısının birim çemberi üzerinde kestiği nokta C olsun. AOB ve COD dik üçgenlerinin A.K.A. eşliğinden C noktasının koordinatları C(\sin \alpha, -\cos \alpha) şeklindedir.
\alpha‘nın birim derece cinsinden olduğunu varsayarak, trigonometrik değerleri şu şekildedir:

    \[\begin{array}{ll}\cos \left(270^{\circ}+\alpha\right)=\sin \alpha & \sin \left(270^{\circ}+\alpha\right)=-\cos \alpha \\\tan \left(270^{\circ}+\alpha\right)=-\cot \alpha & \cot \left(270^{\circ}+\alpha\right)=-\tan \alpha\end{array}\]

Eğer \alpha radyan cinsinden ise, formüller aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

    \[\begin{aligned}& \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha \quad \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha \\& \tan \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\cot \alpha \cot \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\tan \alpha\end{aligned}\]

Dördüncü Bölgede Olan Açıların Trigonometrik Değerleri

Dördüncü bölgede, ölçüleri -\alpha ve 360^{\circ}-\alpha olan açıların birim çemberi üzerindeki bitiş kenarı C noktasında keser. C noktasının koordinatları C(\cos \alpha,-\sin \alpha) şeklindedir.

Buna göre;

    \[\begin{aligned}& \cos (-\alpha)=\cos \alpha \\& \sin (-\alpha)=-\sin \alpha \\& \tan (-\alpha)=-\tan \alpha \\& \cot (-\alpha)=-\cot \alpha\end{aligned}\]

Sonuç olarak, herhangi bir açının trigonometrik değeri, dar açı cinsinden ifade edilirken 180^{\circ} veya 360^{\circ} kullanılırsa trigonometrik fonksiyon isimleri değişmez. Ancak 90^{\circ} veya 270^{\circ} kullanılırsa trigonometrik fonksiyon isimleri değişir.

Küçük bir hatırlatma
İki benzer üçgenin alanları arasındaki oran, bu iki üçgenin benzerlik oranının karesine eşittir.

Trigonometrik Fonksiyonların Açı Değerlerine Göre Sıralanması

1. Herhangi bir açının konumu ne olursa olsun, trigonometrik değerleri dar açı cinsinden ifade edilir.

2. Trigonometrik değerlerin büyüklük-küçüklük ilişkisini belirlemek için, değerler sinüs ve tanjant için dikey eksene, kosinüs ve kotanjant için yatay eksene taşınır.

Sonuç olarak, 1. bölgedeki açılar büyüdükçe sinüs değerleri artar, kosinüs değerleri ise azalır. Ayrıca, 1. bölgedeki bir açının tanjant değeri, sinüs değerinden her zaman daha büyüktür.

Kosinüs Teoremi

ABC üçgeninde, BC=a, AC=b, AB=c olarak tanımlanan kenar uzunlukları ve \angle A, \angle B, \angle C olarak tanımlanan iç açılar olsun. AH \perp BC olduğunda HC=x ve BH=a-x olur.

Kosinüs Teoremi

AHC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında:
|A C|^2=|A H|^2+|H C|^2
\mathrm{b}^2=\mathrm{h}^2+\mathrm{x}^2 \Rightarrow \mathbf{h}^2=\mathbf{b}^2-\mathbf{x}^2 olur. (1)

AHB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında:

    \[|A B|^2=|A H|^2+|B H|^2\]

c^2=h^2+(a-x)^2 olduğuna göre
h^2=c^2-(a-x)^2 olur. (2)

(1) ve (2) denklemleri birlikte çözüldüğünde b^2-x^2=c^2-(a-x)^2 elde edilir. Buradan b^2-x^2=c^2-a^2+2ax-x^2 ve b^2=c^2-a^2+2ax olur. (3)

AHC dik üçgeninde \cos C=\frac{x}{b} olduğundan x=b\cos C olur. Bu değer (3) denkleminde yerine yazıldığında c^2=a^2+b^2-2ab\cos C elde edilir. Benzer şekilde:a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos (\widehat{A})

b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \cos (\widehat{B})

Sinüs Teoremi

ABC üçgeninin kenar uzunlukları, |B C|=a, |A C|=b, |A B|=c ve [A H] \perp[B C] olsun. 

Sinüs Teoremi

AHB dik üçgeninde \sin (\widehat{B})=\frac{h_a}{c} \Rightarrow h_a=c \cdot \sin (\widehat{B}) elde edilir.

Bu durumda ABC üçgenin alanı şu şekilde ifade edilebilir:
\frac{a \cdot h_a}{2}=\frac{a \cdot c \cdot \sin (\widehat{B})}{2}

Benzer şekilde ABC üçgeninin alanı;
\frac{a \cdot b \cdot \sin (\widehat{C})}{2} ve
\frac{b \cdot c \cdot \sin (\widehat{A})}{2} eşitlikleri yazılır. 

Bu eşitlikleri birleştirirsek ABC üçgeninin alanı;
\frac{a \cdot c \cdot \sin (\widehat{B})}{2}=\frac{a \cdot b \cdot \sin (\widehat{C})}{2}=\frac{b \cdot c \cdot \sin (\widehat{A})}{2} olur.

Bu eşitlikler 2 ile çarpılıp a.b.c çarpımına bölündüğünde,
\frac{a \cdot c \cdot \sin (\widehat{B})}{a \cdot b \cdot c}=\frac{a \cdot b \cdot \sin (\widehat{C})}{a \cdot b \cdot c}=\frac{b \cdot c \cdot \sin (\widehat{A})}{a \cdot b \cdot c} \Rightarrow \frac{\sin (\widehat{A})}{a}=\frac{\sin (\widehat{B})}{b}=\frac{\sin (\widehat{C})}{c} olur. 

Bu ifadeden;
\frac{a}{\sin (\widehat{A})}=\frac{b}{\sin (\widehat{B})}=\frac{c}{\sin (\widehat{C})} olarak bulunur.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikler

Belirli zaman aralıklarında aynı hareketin tekrarlandığı durumlar periyodik olarak adlandırılır. Örneğin, Dünya’nın Güneş etrafında dönmesi periyodik bir hareket örneğidir.

Periyot ve Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun periyodik olabilmesi için, tanım kümesindeki her x elemanı için f(x) = f(x + T) eşitliğinin geçerli olması gerekmektedir. Burada T \in \mathbb{R}, f fonksiyonunun periyodu olarak adlandırılan en küçük değeri temsil eder. Periyot (T), aynı değerlerin tekrar ettiği en küçük zaman aralığıdır.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyotları

Sinüs fonksiyonunun değerleri, [0,2 \pi],[2 \pi, 4 \pi], \ldots aralıklarında \mathbf{0 ,} \mathbf{1}, \mathbf{0}, \mathbf{- 1}, \mathbf{0} değerleri tekrar ediyor. Bu durum  [4 \pi, 6 \pi],[6 \pi, 8 \pi] aralıkları için de geçerlidir.

Bu gözemle, \sin x=\sin (x+2 \pi)=\sin (x+2 \cdot 2 \pi)=\cdots=\sin (x+k \cdot 2 \pi) olduğu görüyoruz.
\forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}olmak üzere \sin (x+2 k \pi)=\sin x olduğundan sinüs fonksiyonunun periyodu en küçük k \in \mathbb{Z}^{+}için \mathbf{T}=\mathbf{2} \pi olur.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyotları

Kosinüs fonksiyonu için [0,2 \pi],[2 \pi, 4 \pi], \ldots aralıklarında \mathbf{1}, \mathbf{0},-\mathbf{1}, \mathbf{0}, 1 değerlerinin tekrar ediyor.
Bu gözlemle, \cos x=\cos (x+2 \pi)=\cos (x+2 \cdot 2 \pi)=\cdots=\cos (x+k \cdot 2 \pi)  olduğunu görüyoruz. \forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}için \cos (x+2 k \pi)=\cos x olduğundan kosinüs fonksiyonunun periyodu en küçük k \in \mathbb{Z}^{+}için T=\mathbf{2} \pi olur.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyon Grafiği

Birim çemberde görüldüğü gibi, \alpha açısına 2 \pi ve 2 \pi nin katları eklendiğinde sinüs ve kosinüs değerleri değişmez.

    \[\begin{aligned}& \sin \alpha=\sin (\alpha+2 \mathbf{k} \pi) \\& \cos \alpha=\cos (\alpha+2 \mathbf{k} \pi)\end{aligned}\]

Sonuç olarak, a \neq 0 ve a, b, c \in \mathbb{R} olmak üzere,
\sin (a x+b)+c ve \cos (a x+b)+c fonksiyonlarının periyodu \frac{2 \pi}{|a|} olur.

Sinüs Fonksiyon Grafiği

\forall x \in \mathbb{R}, \sin (x+2 k \pi)=\sin x olduğundan \sin x fonksiyonunun periyodu 2 \pi dir. Bu fonksiyonun grafiği [0,2 \pi]  aralığında çizilebilir. 

Grafik … [-4\pi, -2\pi],[-2 \pi, 0], [0,2 \pi], [2 \pi, 4 \pi] … aralıklarda tekrar eder. Bu nedenle, [0, 2\pi] aralığında birkaç değer seçerek aşağıdaki tablo oluşturulabilir:

Sinüs Fonksiyon Tablosu

Tablodaki (x, \sin x) noktalarını analitik düzlemde işaretleyerek ardışık noktaları birleştirdiğimizde, \sin x fonksiyonunun grafiği;

Sinüs Fonksiyon Grafiği

Gördüğünüz gibi, bu grafik orijine göre simetriktir. Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyonlardır. Bu durumda, \sin x fonksiyonu bir tek fonksiyondur.
f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x değeri için,
f(-x)=-f(x) ise f tektir, f(-x)=f(x) ise f çifttir.
Burada tanım gereği \sin (-x)=-\sin x olduğundan \sin x fonksiyonu tek fonksiyondur.

Kosinüs Fonksiyon Grafiği

\forall x \in \mathbb{R}, \cos (x+2 k \pi)=\cos x olduğundan \cos x fonksiyonunun periyodu 2 \pi olur. Bu nedenle, fonksiyonun grafiği [0,2 \pi] aralığında çizilir. Grafik … [-4 \pi,-2 \pi],[-2 \pi, 0],[0,2 \pi],[2 \pi, 4 \pi] \ldots aralıklarında tekrar eder. [0,2 \pi] nda birkaç değer seçildiğinde aşağıdaki tablo oluşur.

Kosinüs Fonksiyon Tablosu

Tabloda, [0,2 \pi] aralığında seçilen bazı x değerleri için (x, \cos x) noktaları bulunmaktadır. Bu noktalar, analitik düzlemde işaretlenerek ardışık noktalar birleştirildiğinde kosinüs fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi çizilir:

Kosinüs Fonksiyon Grafiği

Gördüğünüz gibi, bu grafik y-eksenine göre simetriktir. Bu, kosinüs fonksiyonunun çift bir fonksiyon olduğunu gösterir. Yani, \cos (-x)=\cos x olur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyotları

Tanjant fonksiyon değerleri [0, \pi],[\pi, 2 \pi],[2 \pi, 3 \pi], \ldots aralıklarında \mathbf{0}, tanımsız, \mathbf{0} şeklinde tekrar eder. Bu durum, \tan x=\tan (x+\pi)=\tan (x+2 \pi)=\cdots=\tan (x+k \pi) eşitliğini ortaya koyar.

\forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}için \tan (x+k \pi)=\tan x olduğundan tanjant fonksiyonunun periyodu en küçük k \in \mathbb{Z}^{+}için T=\pi olur.

Kotanjant fonksiyonu için [0, \pi],[\pi, 2 \pi],[2 \pi, 3 \pi], \ldots aralıklarında tanımsız, 0, tanımsız şeklinde tekrar eder. Buradan \cot x=\cot (x+\pi)=\cot (x+2 \pi)=\cdots=\cot (x+k \pi) eşitliği ortaya çıkar. \forall x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{Z}^{+}olmak üzere \cot (x+k \pi)=\cot x olduğundan kotanjant fonksiyonunun periyodu en küçük k \in \mathbb{Z}^{+}için T=\pi olur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları Tablosu

Birim çemberde görüldüğü gibi, \alpha açısına, \pi ve \pi nin katları eklendiğinde, tanjant ve kotanjant değerleri değişmez.
\tan \alpha=\tan (\alpha+k \pi)
\cot \alpha=\cot (\alpha+k \pi)

Sonuç olarak, a, b, c \in \mathbb{R} olmak üzere \tan (a x+)+c ve \cot (a x+b)+c fonksiyonlarının periyodunu hesaplayabiliriz. İfadeyi yeniden düzenleyerek şu sonuca ulaşırız: Fonksiyonun periyodu \frac{\pi}{|a|}‘dir. 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyon Grafiği

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

f: A \rightarrow B tanımlı bir f fonksiyonun tersinin fonksiyon olabilmesi için bu fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir.

Örneğin, \sin x, \cos x ve \tan x fonksiyonlarının grafiklerini yatay doğru testine tabi tuttuğumuzda, bu fonksiyonların birebir olmadığını görürüz. Bu nedenle, bu fonksiyonların ters fonksiyonları mevcut tanım kümelerinde bulunmaz.

Ancak, bu fonksiyonların tanım kümesinin birebir ve örtelen olan bir alt kümesini tanım kümesi olarak seçersek, bu fonksiyonların bu alt kümede ters fonksiyonları bulunabilir.

1. f(x) =\sin x Fonksiyonunun Tersi

\sin x fonksiyonunun tanım kümesini \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] olarak alırsak, bu aralıkta fonksiyon birebir ve örtelenir.

f(x) =\sin x Fonksiyonunun Tersi

Fonksiyon grafiğinde görüldüğü gibi, \sin x fonksiyonunun tanım kümesi  \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığında birebir ve örtelendir. 

Bu durumda, \sin x fonksiyonu  f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow[-1,1], f(x)=\sin x olarak tanımlanırken, \mathrm{f}^{-1}:[-1,1] \rightarrow\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})=\arcsin x fonksiyonu \sin x fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak adlandırılır.
Bu durumu matematiksel olarak ifade edersek, y=\arcsin x \Leftrightarrow x=\sin y şeklinde ifade edilebilir.

Küçük bir not; 

    \[\begin{aligned}& \sin (\arcsin x)=x, x \in[-1,1] \\& \arcsin (\sin y)=y, y \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\end{aligned}\]

2. g(x) =\cos x Fonksiyonunun Tersi

\cos x fonksiyonunun tanım kümesini [0, \pi] olarak seçersek, bu aralıkta fonksiyon birebir ve örtelenir.

g(x) =\cos x Fonksiyonunun Tersi

Grafikte görüldüğü gibi, \cos x fonksiyonu [0, \pi] aralığında birebir ve örtelenir.

Bu durumda, \cos x fonksiyonu g:[0, \pi] \rightarrow[-1,1], g(x)=\cos x olarak tanımlandığında, \mathrm{g}^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi], g^{-1}(x)=\arccos x fonksiyonu \cos x fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak adlandırılır.

Bu durumu matematiksel olarak ifade edersek, y=\arccos x \Leftrightarrow x=\cos y şeklinde ifade edilebilir.

Küçük bir not; 

    \[\begin{aligned}& \cos (\arccos x)=x, x \in[-1,1] \\& \arccos (\cos y)=y, y \in[0, \pi]\end{aligned}\]

3. h(x)=\tan x Fonksiyonunun Tersi

\tan x fonksiyonu \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığında birebir ve örtelenir.

h(x)=\tan x Fonksiyonunun Tersi

Grafiğinde görüldüğü gibi, \tan x fonksiyonu \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] aralığında birebir ve örtendir. Bu aralıkta \tan x fonksiyonunun ters fonksiyonu bulunur.

\tan x fonksiyonunu h:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow\mathrm{R}, h(x)=\tan x olarak tanımlarsak, ters fonksiyonu \mathrm{h}^{-1}: \mathrm{R} \rightarrow\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \mathrm{h}^{-1}(\mathrm{x})=\arcsin x ifade edebiliriz.

Matematiksel olarak, y=\arctan x \Leftrightarrow x=\tan y ifadesi geçerlidir.

Trigonometri ile İlgili Terim ve Kavramlar

  • Yönlü Açı,
  • Derece, 
  • Dakika, 
  • Saniye, 
  • Radyan, 
  • Esas Ölçü, 
  • Trigonometrik Fonksiyon, 
  • Periyot, 
  • Periyodik Fonksiyon

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.