RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER 7. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

7. Sınıf Rasyonel Sayılarla İşlemler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Rasyonel Sayılarla Toplama-Çıkarma İşlemi

Eşit paydalara sahip rasyonel sayılarla toplama veya çıkarma yaparken, paylar birbiriyle toplanır veya çıkarılır ve sonuç paya yazılırken paydanın değişmeden kalması gereklidir. Yani, paylar kendi aralarında işlem görürken payda sabit kalır ve ortak payda kullanılır.

Örneğin, $\frac{2}{5} + \frac{3}{5}$ işlemini ele alalım.
Paydaları eşittir, bu nedenle paylar olan $2$ ve $3$ toplanır ve sonuç olarak $\frac{5}{5}$ elde edilir.
Bu durumda, ortak payda olan $5$ , sonuç olarak payda olarak kullanılır ve $\frac{5}{5}$ , tam birim kesri olarak da ifade edilebilir.

Eşit olmayan paydalara sahip rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken, paydaları eşitlemek gerekir.

Örneğin, $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ işlemini ele alalım.
Paydaları eşit değildir, bu nedenle paydaları eşitlemek için $3$ ile $4$ ‘ün ortak paydası olan $12$ ‘yi kullanırız.
Bu durumda, $\frac{1}{3}$ ‘ü $4$ ile çarptığımızda $\frac{4}{12}$ elde ederiz ve $\frac{1}{4}$ ‘ü $3$ ile çarptığımızda $\frac{3}{12}$ elde ederiz.
Artık paydaları eşit olan $\frac{4}{12}$ ve $\frac{3}{12}$ kesirlerini toplayabilir veya çıkarabiliriz.

Toplama işlemi yaparken, tam sayılı kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek işlemi daha kolay hale getirebilir.

Örneğin, $3 + \frac{5}{4}$ işlemini ele alalım.
Toplama işlemi daha kolay yapabilmek için $3$ ‘ü bileşik bir kesir olarak ifade edebiliriz.
$3$ , $\frac{12}{4}$ olarak da yazılabilir.
Artık, $\frac{12}{4} + \frac{5}{4}$ işlemini gerçekleştirebiliriz, çünkü paydaları eşittir.
Bu durumda, paylar olan $12$ ve $5$ toplanarak $\frac{17}{4}$ elde edilir.

Rasyonel Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri

Rasyonel sayılarla yapılan toplama işleminde, toplanan sayıların yerlerini değiştirdiğimizde toplam değişmez. Yani, sayıların sırasını değiştirsek bile sonuç aynı kalır. Bu nedenle, rasyonel sayılarla toplama işleminin “değişme özelliği” vardır.

Örneğin, $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$ işlemini ele alalım. Toplanan kesirlerin yerlerini değiştirelim: $\frac{5}{6} + \frac{2}{3}$ . Her iki durumda da toplam $\frac{7}{6}$ olarak kalır.

Rasyonel sayılarda toplama işlemi yaparken, sayıları farklı şekillerde gruplandırarak işlemi gerçekleştirsek bile sonuç değişmez. Yani, toplama işleminin “birleşme özelliği” vardır.

Örneğin, $(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$ ve $\frac{1}{4} + (\frac{1}{6} + \frac{1}{3})$ işlemlerini ele alalım. İki durumda da gruplamayı farklı şekillerde yapalım. Sonuç her iki durumda da $\frac{5}{6}$ olarak aynı kalır.

İki rasyonel sayının toplamı, toplama işleminin etkisiz elemanını veriyorsa, bu iki sayı birbirinin toplama işlemine göre tersidir.

Örneğin, $\frac{3}{5}$ ve $-\frac{3}{5}$ kesirlerini ele alalım. İki kesirin toplamı $\frac{3}{5} + (-\frac{3}{5}) = 0$ olduğunda, bu iki kesir birbirinin toplama işlemine göre tersidir.

Bir rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi bulunurken, sayının işareti negatifse pozitif, pozitifse negatif olarak değiştirilir.

Örneğin, $\frac{4}{7}$ kesrinin toplama işlemine göre tersini bulmak istiyoruz. Tersi $-\frac{4}{7}$ olacaktır.
Benzer şekilde, $-\frac{5}{9}$ kesrinin toplama işlemine göre tersi $\frac{5}{9}$ olacaktır.

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken, paylar kendi aralarında çarpılır ve çarpım paya yazılırken, paydalar da kendi aralarında çarpılır ve çarpım paydaya yazılır.

Örneğin, $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ işlemini ele alalım.
Paylar olan $2$ ve $4$ çarpılır ve çarpım olarak $8$ elde edilir.
Paydalar olan $3$ ve $5$ çarpılır ve çarpım olarak $15$ elde edilir.
Sonuç olarak, $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ olur.

Tam sayılı kesirlerle çarpma işlemi yaparken, tam sayılar bileşik kesre çevrilerek çarpma işlemi gerçekleştirilir.

Örneğin, $3 \times \frac{2}{5}$ işlemini ele alalım.
Tam sayı olan $3$ ‘ü $\frac{3}{1}$ olarak ifade edebiliriz.
Bu durumda, $\frac{3}{1} \times \frac{2}{5}$ işlemini yapabiliriz.
Paylar olan $3$ ve $2$ çarpılır ve çarpım olarak $6$ elde edilir.
Paydalar olan $1$ ve $5$ çarpılır ve çarpım olarak $5$ elde edilir.
Sonuç olarak, $3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ olur.

Bir tam sayıyla rasyonel sayıyı çarptığımızda, tam sayının paydasına $1$ yazarak çarpma işlemi yapılır.

Örneğin, $4 \times \frac{3}{7}$ işlemini ele alalım.
Bu durumda, $4$ ‘ün paydasına $1$ yazarak $\frac{4}{1}$ elde ederiz.
Sonra, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{7}$ işlemini gerçekleştiririz. Paylar olan $4$ ve $3$ çarpılır ve çarpım olarak $12$ elde edilir.
Paydalar olan $1$ ve $7$ çarpılır ve çarpım olarak $7$ elde edilir. Sonuç olarak, $4 \times \frac{3}{7} = \frac{12}{7}$ olur.

İşlemin sonucunu sadeleştirme yaparak daha sade bir ifade elde etmek matematiksel olarak yaygın bir uygulamadır. Bu, payı ve paydayı aynı sayıya bölerek gerçekleştirilebilir. Bu şekilde, kesiri en basit haline getirebiliriz.
Örneğin, $\frac{8}{12}$ kesirini sadeleştirmek istediğimizi varsayalım.
Pay ve payda 2’ye bölünebilir, bu yüzden her ikisini de 2’ye bölelim: $\frac{8}{12} = \frac{4}{6}$ .
Daha sonra, pay ve paydayı tekrar 2’ye bölelim: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . Sonuç olarak, $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ şeklinde sadeleştirilir.

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminin Özellikleri

Çarpılan rasyonel sayılar yer değiştirdiğinde çarpım sonucu değişmez. Bu nedenle, rasyonel sayılarla çarpma işleminin “değişme özelliği” vardır.

Örneğin, $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ işlemini ele alalım.
Rasyonel sayıları yer değiştirelim: $\frac{4}{5} \times \frac{2}{3}$ .
İşlemi gerçekleştirdiğimizde, sonuç olarak hala $\frac{8}{15}$ elde ederiz. Yani, rasyonel sayıları yer değiştirmek çarpım sonucunu etkilemez.

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken, sayıları farklı şekilde gruplandırmamızın sonuç üzerinde bir etkisi olmaz. Bu nedenle, rasyonel sayılarda çarpma işleminin “birleşme özelliği” vardır.

Örneğin, $(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}) \times \frac{6}{7}$ ve $\frac{2}{3} \times (\frac{4}{5} \times \frac{6}{7})$ işlemlerini ele alalım.
İlk olarak, sol taraftaki işlemi yapalım: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ .
Sonra, elde ettiğimiz sonucu $\frac{8}{15} \times \frac{6}{7}$ işlemine uygulayalım ve sonuç olarak $\frac{16}{21}$ elde edelim.
Sağ taraftaki işlemi yapalım: $\frac{4}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{24}{35}$ .
Sonuç olarak, $(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}) \times \frac{6}{7} = \frac{8}{15} \times \frac{6}{7} = \frac{16}{21}$ ve $\frac{2}{3} \times (\frac{4}{5} \times \frac{6}{7}) = \frac{2}{3} \times \frac{24}{35} = \frac{16}{21}$ olduğunu görürüz.

Bir rasyonel sayıyı 0 ile çarptığımızda sonuç her zaman 0 olur. Bu nedenle, 0 rasyonel sayılarla çarpma işleminde “yutan eleman“dır.

Örneğin, $\frac{2}{3} \times 0 = 0$ ve $0 \times \frac{4}{5} = 0$ . Her iki durumda da sonuç 0’dır.

İki rasyonel sayıyı çarptığımızda sonuç 1 oluyorsa, bu iki sayı “çarpma işlemine göre birbirinin tersi”dir.

Örneğin, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$ ve $\frac{5}{7} \times \frac{7}{5} = 1$ . Her iki durumda da çarpılan rasyonel sayılar birbirinin tersidir.

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi toplama işlemine dağılır. Yani, bir rasyonel sayıyı toplama işlemine uygulamadan önce çarptığımızda veya sonra çarptığımızda sonuç aynı olur.

Örneğin, $\frac{2}{3} \times (\frac{4}{5} + \frac{6}{7}) = \frac{2}{3} \times \frac{26}{35} = \frac{52}{105}$ . Aynı işlemi dağılımı kullanmadan yapalım: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{8}{15} + \frac{4}{7} = \frac{56}{105}$ .
Sonuç olarak, $\frac{2}{3} \times (\frac{4}{5} + \frac{6}{7}) = \frac{2}{3} \times \frac{26}{35} = \frac{52}{105}$ ve $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{8}{15} + \frac{4}{7} = \frac{56}{105}$ olduğunu görürüz.

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi, çıkarma işlemi üzerine dağılır. Yani, bir rasyonel sayıyı bir farkın çarpmasına uyguladığımızda veya çarptıktan sonra farkı uyguladığımızda sonuç aynı olur.

Örneğin, $\frac{2}{3} \times (\frac{4}{5} - \frac{6}{7}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{35} = \frac{4}{105}$ .
Aynı işlemi dağılımı kullanmadan yapalım: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} - \frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{8}{15} - \frac{4}{7} = \frac{4}{105}$ .
Sonuç olarak, $\frac{2}{3} \times (\frac{4}{5} - \frac{6}{7}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{35} = \frac{4}{105}$ ve $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} - \frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{8}{15} - \frac{4}{7} = \frac{4}{105}$ olduğunu görürüz.

Bir rasyonel sayı, “-1” ile çarpıldığında sayının işareti değişir. Elde edilen sonuç, sayının toplama işlemine göre tersidir.

Örneğin, $\frac{3}{4} \times (-1) = -\frac{3}{4}$ ve $(-1) \times \frac{5}{6} = -\frac{5}{6}$ . Her iki durumda da, rasyonel sayı “1” ile çarpıldığında işaret değişir ve sonuç, sayının toplama işlemine göre tersi olarak elde edilir.

Rasyonel Sayılarla Bölme İşlem

1) “Ortak payda algoritması” rasyonel sayıların paydalarını eşitleyerek, payları ve paydaları kendi aralarında bölme işlemidir. Bu yöntem kullanılarak farklı paydalara sahip olan rasyonel sayıları karşılaştırma veya toplama/çıkarma işlemlerini daha kolay hale getirebiliriz.

Örneğin, $\frac{2}{3}$ ve $\frac{5}{7}$ kesirlerini karşılaştıralım.
Ortak payda algoritmasını kullanarak paydaları eşitleyebiliriz.
Ortak payda olarak 21’i seçelim.
İlk kesiri $\frac{2}{3} \times \frac{7}{7} = \frac{14}{21}$ ve ikinci kesiri $\frac{5}{7} \times \frac{3}{3} = \frac{15}{21}$ elde ederiz.
Sonuç olarak, $\frac{2}{3}$ ve $\frac{5}{7}$ kesirlerinin karşılaştırması $\frac{14}{21}$ ve $\frac{15}{21}$ kesirleriyle yapılabilir.

2) “Ters çevir çarp algoritması”, birinci rasyonel sayının, ikinci rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersiyle çarpılması işlemidir. Bu yöntem, bölme işlemi yaparken kullanılabilir veya çarpma işleminin tersini elde etmek için kullanılabilir.

Örneğin, $\frac{3}{4}$ kesirini $\frac{4}{3}$ ile çarpmak istediğimizi düşünelim.
Ters çevir çarp algoritmasını kullanarak çarpımı yapabiliriz.
$\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{3 \times 4}{4 \times 3} = \frac{12}{12} = 1$ .
Sonuç olarak, $\frac{3}{4}$ kesirinin $\frac{4}{3}$ kesriyle çarpımı 1’dir.

3) Bir sayıyı rasyonel bir sayıya bölmek, sayıyı o rasyonel sayının çarpmaya göre tersiyle çarpmak demektir. Bu işlem, rasyonel sayılar arasında bölme işlemi yaparken kullanılır.

Örneğin, 5’i $\frac{2}{3}$ kesriyle bölmek istediğimizi düşünelim.
Bu işlemi gerçekleştirmek için $\frac{2}{3}$ kesrinin çarpmaya göre tersini alırız, yani $\frac{3}{2}$ .
Ardından, 5’i $\frac{3}{2}$ ile çarparız: $5 \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2}$ .
Sonuç olarak, 5’in $\frac{2}{3}$ kesriyle bölümü $\frac{15}{2}$ kesrini verir.

4) Tam sayılı kesirler, bileşik kesire çevrilerek bölme işlemi yapılabilir. Böylece bölme işlemi daha kolay hale gelir.

Örneğin, 8’i $\frac{2}{5}$ ile bölmek istediğimizi düşünelim. Bu işlemi gerçekleştirmek için $\frac{2}{5}$ kesrini bileşik kesire çevirebiliriz.
Bileşik kesiri elde etmek için 8’i paya yazıp 1’i paydaya yazarak $\frac{8}{1}$ şeklinde ifade ederiz.
Ardından, $\frac{8}{1} \div \frac{2}{5}$ işlemini yaparız, yani $\frac{8}{1} \times \frac{5}{2} = \frac{8 \times 5}{1 \times 2} = \frac{40}{2} = 20$ .
Sonuç olarak, 8’in $\frac{2}{5}$ kesrine bölümü 20’dir.

Rasyonel Sayılarla Bölme İşleminde 0, 1 ve -1’in Etkisi

Sıfırın, sıfır hariç herhangi bir rasyonel sayıya bölümü sonucu sıfırdır. Yani, $\frac{0}{a} = 0$ (burada $a \neq 0$ ).
Sıfır hariç, bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Yani, $\frac{a}{0}$ işlemi tanımsızdır (burada $a$ herhangi bir sayıdır).
Bir rasyonel sayının 1’e bölümü yine o sayıya eşittir. Yani, $\frac{a}{1} = a$ (burada $a$ herhangi bir sayıdır).
1’in sıfır hariç bir rasyonel sayıya bölümü, o rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersini verir. Yani, $\frac{1}{a}$ işlemi, $\frac{1}{a} \times a = 1$ sonucunu verir (burada $a \neq 0$ ).
Sıfır hariç, bir rasyonel sayının -1’e bölümü, o sayının toplama işlemine göre tersini verir. Yani, $\frac{a}{-1}$ işlemi, $(-1) \times a = -a$ sonucunu verir (burada $a$ herhangi bir sayıdır ve $a \neq 0$ ).

Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler

Matematik problemlerinde birden fazla işlem olduğunda, işlemleri belirli bir sıraya göre yapmamız önemlidir. İşlem önceliği kurallarına uyarak doğru sonuç elde edebiliriz. İşlem önceliği sırası aşağıdaki gibidir:

Üslü işlemler: İlk olarak üslü işlemleri yaparız. Önce üssü alınan sayıyı ardından üssü uygularız.
Parantezli işlemler: Parantez içindeki işlemler, öncelikli olarak yapılır. İç içe parantezlerden başlayarak dışarı doğru ilerleriz.
Çarpma ve bölme işlemleri: Çarpma ve bölme işlemleri, soldan sağa doğru sırayla yapılır. İkisi bir arada ise sol taraftaki işlem önce yapılır.
Toplama ve çıkarma işlemleri: Toplama ve çıkarma işlemleri de soldan sağa doğru sırayla yapılır. İkisi bir arada ise sol taraftaki işlem önce yapılır.

Bu işlem önceliği kurallarına uyarak matematik problemlerinde doğru sırayı takip ederiz ve sonuçları doğru bir şekilde elde ederiz.

Örnek olarak, şu ifadeyi ele alalım: $2 + 3 \times 4 - \frac{(5 + 6 )}{2^2}$
İşlem önceliği kurallarına göre,
Önce parantez içindeki işlemi yaparız: $5 + 6 = 11$
Sonra üslü işlemi yaparız: $2^2 = 4$
Çarpma ve bölme işlemlerini sırayla yaparız: $3 x 4 = 12$ ve $\frac{11)}{4} =2.75$
Son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yaparız: $2 + 12 = 14$ ve $14 - 2.75 = 11.25$

ÖRNEK SORU: $\frac{2 + \frac{1}{2}}{3 - \frac{1}{4} }$ sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM:
Büyük kesir çizgisiyle ifade edilen bir kesiri hesaplarken, pay ve payda kısmındaki işlemleri ayrı ayrı yaparız ve sonuçlarını birbirine böleriz. Bu şekilde, doğru sonuca ulaşırız.

Rasyonel Sayılarda İşlem

ÖRNEK SORU: $\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$ sonucunu bulalım.
ÇÖZÜM:
Bu tarz sorularda en alttaki işlemden başlayarak yukarıya doğru işlem sırası takip edilir.

$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$ çözümü

Rasyonel Sayıların Kareleri ve Küpleri

Rasyonel sayıların karesi: Bir rasyonel sayının karesi, o sayının kendisiyle kendisini çarpmaktır. Örneğin, 3 sayısının karesi 3^2 = 9’dur. Pozitif rasyonel sayıların karesi her zaman pozitif bir sayıdır. Örneğin, 2 sayısının karesi 2^2 = 4’tür.

Rasyonel sayıların küpü: Bir rasyonel sayının küpü, o sayının kendisiyle kendisini ve tekrar kendisini çarpmaktır. Örneğin, 2 sayısının küpü 2^3 = 8’dir. Pozitif rasyonel sayıların küpü her zaman pozitif bir sayıdır.

Negatif rasyonel sayıların kareleri ve küpleri ise farklı özelliklere sahiptir. Negatif bir rasyonel sayının karesi her zaman pozitif bir sayıdır, çünkü negatif sayının karesi negatif bir sayıyı pozitif yapar. Örneğin, -3 sayısının karesi (-3)^2 = 9’dur. Negatif bir rasyonel sayının küpü ise negatif bir sayıdır. Örneğin, -2 sayısının küpü (-2)^3 = -8’dir.

Kısacası, pozitif rasyonel sayıların kareleri ve küpleri pozitif, negatif rasyonel sayıların kareleri pozitif, küpleri ise negatif olabilir.