ORAN VE ORANTI 7. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

7. Sınıf Oran ve Orantı konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Oran – Orantı

Oran, iki farklı niceliğin birbirine bölünmesiyle elde edilen sayısal değerdir. Oran, “a:b” şeklinde gösterilir, burada a ve b, orandaki iki farklı niceliği temsil eder. Örneğin, bir kutuda 3 kırmızı toplam ve 5 mavi top olduğunu düşünelim. Bu durumda, kırmızı topların mavi toplara oranı 3:5’tir.

Birbirine oranı verilen iki nicelikten biri bilindiğinde diğerini bulmak için oran genişletilir veya sadeleştirilir. Bu işlem, oranın özelliklerini kullanarak nicelikler arasındaki ilişkiyi belirlememizi sağlar.

Örneğin, bir meyve sepetinde 3 elma ve 5 portakal olduğunu düşünelim. Elma ve portakal arasındaki oran 3:5 olarak verilmiştir. Eğer elma sayısı biliniyorsa, portakal sayısını bulmak için oranı genişletebiliriz. Diyelim ki elma sayısı 6 olsun:
3 elma \longrightarrow 5 portakal
6 elma \longrightarrow x portakal
Bu durumda oranı genişlettik ve x’i bulmak için eşitlik kurduk. Çözüm yaparsak:
(\frac{3}{6}) = (\frac{5}{x})
Sonuç olarak, 3 elma için 6 portakal olduğunu bulduk.

İki veya daha fazla oranın eşit olduğu duruma orantı denir. Bir orantı, iki farklı oranın birbirine eşit olduğunu ifade eder. Bu oranlar genellikle \frac{a}{b} ve \frac{c}{d} şeklinde gösterilir, burada b ve d sıfırdan farklı sayılardır.
Örneğin, \frac{3}{4} ve \frac{6}{8} oranları düşünelim. Bu iki oran birbirine eşit olduğunda, yani \frac{3}{4} = \frac{6}{8} olduğunda bir orantı oluşur.

Orantılar, matematikte karşılaşılan birçok durumu ifade etmek için kullanılır. Örneğin, bir resmin genişlik ve yükseklik oranı, bir problemdeki hız ve zaman oranı, veya benzer ürünlerin fiyat ve miktar oranı gibi durumlar orantılarla ifade edilebilir.

Oran – Orantı

Örneğin, bir arabanın hızı saatte 60 km ve bu hızda 2 saat yol alırsa, toplam yol 120 km olur. Bu durumda, hız ve yol arasında bir orantı vardır: hız/yol = 60/120 = 1/2.

Bir orantıda, içler ve dışlar çarpımı (çapraz çarpım) birbirine eşittir. Yani, \frac{a}{b} = \frac{c}{d} (b, d \neq 0) orantısı için \frac{a}{b} = \frac{c}{d} ifadesini sağlarsak, a \cdot d = b \cdot c eşitliği elde edilir. Bu durumda, \frac{a}{b} ve \frac{c}{d} oran çifti bir orantı oluşturur.
Örneğin, \frac{3}{4} = \frac{6}{8} orantısını ele alalım. İçler ve dışlar çarpımını kullanarak bunun bir orantı olduğunu gösterelim:
İçler çarpımı: 3 \cdot 8 = 24
Dışlar çarpımı: 4 \cdot 6 = 24
İçler ve dışlar çarpımı birbirine eşit olduğu için, 24 = 24 eşitliği elde edilir. Bu da gösterir ki \frac{3}{4} ve \frac{6}{8} oranları bir orantı oluşturur.

Doğru Orantı

İki nicelikten biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu niceliklere doğru orantılı denir. Doğru orantı, genellikle D.O. şeklinde kısaltılır.

Doğru orantılı niceliklerde, artış veya azalışlar aynı oranda gerçekleşir. Örneğin, bir işçi 4 saatte 100 ürün üretiyorsa, aynı orantıyı koruyarak 8 saatte 200 ürün üretebilir. Bu durumda çalışma süresi ve üretilen ürün sayısı doğru orantılıdır.

Doğru orantılı niceliklerde, aynı türdeki verilerin alt alta yazıldığında çapraz çarpım yapılarak sonuçlar eşitlenir. Bu, doğru orantının çapraz çarpım özelliği olarak bilinir.

ÖRNEK SORU: 5 kg undan 50 adet kurabiye yapan bir aşçının, 10 kg undan kaç adet kurabiye yapabileceğini bulalım.

ÇÖZÜM:
1. Yol:
5 kg undan 50 adet kurabiye yapılıyor. 10 kg undan kaç adet kurabiye yapılacağını bulmak istiyoruz.
Bu durumu orantı yöntemiyle çözebiliriz.
\frac{5 , \text{kg}}{50 , \text{kurabiye}} = \frac{10 , \text{kg}}{x , \text{kurabiye}}
Burada x, 10 kg undan kaç adet kurabiye yapılacağını temsil eder.
Orantıyı çapraz çarpım yaparak çözebiliriz:
5 , \text{kg} \cdot x , \text{kurabiye} = 50 , \text{kurabiye} \cdot 10 , \text{kg}
Bu durumda:
5x = 500
x = \frac{500}{5} = 100
Sonuç olarak, 10 kg undan 100 adet kurabiye yapılabilir.
Yani, aşçı 10 kg undan 100 adet kurabiye yapabilir.

2.Yol:

Doğru Orantı

Bu durumda çapraz çarpımı yaparak eşitliği elde ederiz. Yani, un miktarı ve kurabiye sayısı arasındaki doğru orantı vardır. Un miktarı artıkça kurabiye sayısıyla artar.

Doğru orantılı nicelikler arasında çarpmaya dayalı bir ilişki bulunur. Örneğin, \frac{a}{b} = \frac{6}{26} oranında olduğunu varsayalım.
Bu durumda, a niceliği, 6 katı olarak ifade edilebilir, yani a = 6k şeklinde temsil edebiliriz. Benzer şekilde, b niceliği, 26 katı olarak ifade edilebilir, yani b = 26k şeklinde ifade edebiliriz.
Bu ilişki, a ve b arasında çarpmaya dayalı bir ilişki olduğunu gösterir. Orantılı bir durumda, nicelikler arasındaki oranı koruyarak, bir niceliği diğerinin katları şeklinde ifade edebiliriz.

Doğru Orantılı İki Çokluğa Ait Orantı Sabit

Doğru orantılı iki çokluğun birbirine bölümü, her zaman sabit bir sayıya eşittir. Bu sabit sayıya “orantı sabiti” denir. a ve b doğru orantılı iki çokluk olsun, bu durumda \frac{a}{b} = k şeklinde ifade edilir, burada k orantı sabitidir.

Bu ifadeye göre, a ve b nicelikleri arasındaki oran her zaman k‘ya eşittir. Bu, a ve b arasında birbirine bağlı bir ilişki olduğunu gösterir. Orantı sabiti, bu ilişkinin belirli bir değeri veya oranı temsil eder.

Ters Orantı

Ters orantılı çokluklar, biri artarken diğeri aynı oranda azalan veya biri azalırken diğeri aynı oranda artan çokluklardır. Bu tür çokluklara ters orantılı denir ve kısaltması T.O. olarak kullanılabilir.

Örneğin, bir işçi bir işi ne kadar sürede tamamlarsa, işin tamamlanması için gereken işçi sayısı o kadar azalır. Bu durumda işçi sayısı ve işin tamamlanma süresi ters orantılıdır. İşçi sayısı artarken işin tamamlanma süresi azalır, işçi sayısı azalırken ise işin tamamlanma süresi artar.

Ters orantılı çokluklarda, bir çokluğun değeri artarken diğerinin değeri azalırken, bu değişimler aynı oranda gerçekleşir. İki çokluğun değerleri çarpıldığında sabit bir sayıya eşitlenir.

Ters orantılı çokluklarda, aynı türden veriler alt alta yazılır. Ardından, aynı satırdaki veriler çarpılarak sonuçlar eşitlenir.
Bu yöntem, ters orantılı çokluklar arasındaki ilişkiyi görselleştirmek ve anlamak için kullanışlıdır. Verilerin yan yana yazılması ve çarpılması, ters orantılı ilişkiyi daha net bir şekilde gösterir.

ÖRNEK SORU: Eşit kapasiteli 4 makinenin 10 saatte yaptığı işi, aynı kapasitedeki 5 makinenin kaç saatte yapacağını bulalım.

ÇÖZÜM:
1.Yol:
4 makine 10 saatte işi tamamlıyor. 5 makine ile aynı işin kaç saatte tamamlanacağını bulmak istiyoruz.
Bu durumu orantı yöntemiyle çözebiliriz.
\frac{4 , \text{makine}}{10 , \text{saat}} = \frac{5 , \text{makine}}{x , \text{saat}}
Burada x, 5 makine ile işin kaç saatte tamamlanacağını temsil eder.
Aynı satırdaki veriler çarpılarak birbirleriyle çarpılır.
4 , \text{makine} \cdot 10 , \text{saat} = 5 , \text{saat} \cdot x , \text{makine}
Bu durumda:
40 = 5x
x = \frac{40}{5} = 8
Sonuç olarak, 5 makine aynı işi 8 saatte tamamlayabilir.
Yani, 4 makine 10 saatte tamamlarken, 5 makine aynı işi 8 saatte tamamlayabilir.

2.Yol:

Ters Orantı

Bu durumda çaparak eşitliği elde ederiz. Yani, makina sayısı ve işin yapılma saati arasındaki ters orantı vardrı. Makina sayısı artıkça, bir işin yapılma süresi azalır.

Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir. Bu çarpıma “orantı sabiti” denir. a ve b ters orantılı iki çokluk olmak üzere a . b = k ’dir. k, orantı sabitidir.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.