MANTIK 9. Sınıf Özet Konu Anlatımı

9. Sınıf Mantık konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Önermeler ve Birleşik Önermeler

Önermeler ve bileşik önermeler, matematiksel ve mantıksal düşüncenin temel taşlarıdır. Önermeler, doğru veya yanlış olarak değerlendirilebilen kesin hüküm bildiren ifadelerdir, while bileşik önermeler ise birden fazla önermenin birleştirilmesiyle oluşturulan ifadelerdir. Önerme ve Birleşik Önermeleri özetledim.

Önermeler ve Doğruluk Değeri

Önerme, doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilen bir ifadedir. Önerme, bir durumu ya da bir olayı açıklamak veya belirtmek amacıyla kullanılan bir cümledir. Önerme, genellikle P, Q, R gibi harflerle temsil edilir. Örnek olarak, “2+2=4” bir önermedir çünkü bu ifade doğru bir matematiksel eşitliği ifade etmektedir. Ancak, “Hava güzel” bir önerme değildir çünkü bu ifade doğru veya yanlış olarak nitelendirilemez, çünkü hava güzel olabilir veya olmayabilir.

Doğruluk değeri ise bir önermenin doğru veya yanlış olduğunu belirtir. Bir önerme doğru ise doğru değeri, yanlış ise yanlış değeri alır. Örneğin, “5+3=9” önermesi yanlıştır çünkü matematiksel olarak doğru değildir, bu yüzden yanlış değeri vardır. Ancak, “4<7” önermesi doğrudur çünkü bu ifade matematiksel olarak doğru bir eşitsizliği ifade eder, bu yüzden doğru değeri vardır.

Önerme doğru hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri D ya da 1; yanlış hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri Y ya da O ile gösterilir

Soru, istek, emir, hayret, ünlem gibi anlamlar içeren ifadeler önerme değildir. Önerme, doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilen kesin bir hüküm bildiren ifadelerdir. Bu tür ifadelerin doğruluk değeri belirlenemez çünkü onlar bir durumu ya da olayı açıklamak yerine bir soru sormak, bir istekte bulunmak, bir emir vermek, bir hayret ifade etmek veya bir ünlem kullanmak gibi amaçlarla kullanılırlar. Önerme olabilmesi için kesin bir hüküm içermesi gerekmektedir.

n farklı önermenin doğruluk durumu?

Her önermenin doğruluk durumu 1 veya 0 şeklinde iki değer alabilir, farklı önermelerin birlikte doğruluk durumunu hesaplamak için 2^{n} formülü kullanılır.
n tane önermenin birlikte 2^{n} tane doğruluk durumu vardır.

İki Önermenin Denkliği

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir. İki önerme p ve q’nun doğruluk değerleri aynıysa, bunu p = q şeklinde gösteririz ve “p denktir q” şeklinde okuruz. Yani, p denktir q ifadesi, p ve q’nun aynı doğruluk değerine sahip olduğunu ifade eder.
Bir p önermesinin doğruluk değeri doğru ise p = 1, yanlış ise p = 0 ile gösterilir.

Bir Önermenin Değili

Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak yeni bir önerme oluşturulur. Bu yeni önermeye, orijinal önermenin değili (olumsuzu) denir. Bir p önermesinin olumsuzunu p' veya \sim p şeklinde gösterebiliriz ve “p’nin olumsuzu” şeklinde okuyabiliriz.
p = 1 ise p' = 0
q = 0 ise q' = 1 olur.
(p')' = p

Bileşik Önermeler

Bileşik önermeler, birden fazla önermenin birleştirilmesiyle oluşan ifadelerdir. Bu ifadeler, mantıksal bağlaçlar veya işleçler kullanılarak oluşturulur. Bileşik önermeler, birden çok önermeyi bir araya getirerek daha karmaşık ifadeler oluşturmayı sağlar.
Birleşik önerme, iki veya daha fazla önermenin “ve”, “veya”, “ya da”, “ise”, “ancak ve ancak” bağlaçlarından en az biri ile birbirine bağlanmasıyla oluşur.

“ve” Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler

p ve q önermelerinin “ve” bağlacıyla birleştirilmesi sonucunda oluşan bileşik önermeye “p ve q” bileşik önermesi denir. Bu bileşik önerme p\wedge q şeklinde gösterilir. p\wedge q bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de doğru olması durumun da doğru, diğer durumlarda yanlış olur.

“ve” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermeler

“ve” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri

“ve” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin üç farklı özelliği bulunmakta, burada bu üç özellikten bahsedeceğiz.

Tek kuvvet Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p önermesi için p\wedge p = p tir. Bu özelliğe “ve” nin tek kuvvet özelliği denir.

“ve” nin tek kuvvet özelliği
Değişme Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q önermeleri için p\wedge q = q \wedge p
Bu özelliğe “ve” nin değişme özelliği denir.

“ve” nin değişme özelliği
Birleşme Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q, r önermeleri için (p\wedge q)\wedge r= p\wedge (q\wedge r) tir. Bu özelliğe “ve” nin birleşme özelliği denir.

p\wedge p' = 0
p\wedge 0 = 0
p\wedge 1 = p

“ve” nin birleşme özelliği

“veya” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p veya q” bileşik önermesi denir ve p\vee q şeklinde gösterilir. p\vee q önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. p\vee q bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de yanlış olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

Veya Bağlacı ile Kurulan Önermeler

“veya” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri

“veya” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin üç farklı özelliği bulunmakta, burada bu üç özellikten bahsedeceğiz.

Tek Kuvvet Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p önermesi için p\vee p = p tir. Bu özelliğe “veya”nın tek kuvvet özelliği denir.

“veya”nın tek kuvvet özelliği
Değişme Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q önermeleri için p\vee q = q\vee p
Bu özelliğe “veya” nin değişme özelliği denir.

“veya” nin değişme özelliği
Birleşme Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q, r önermeleri için (p\vee q) \vee r= p\vee (q\vee r) tir. Bu özelliğe “veya” nin birleşme özelliği denir.

p\vee p' = 1
p\vee 0 = p
p\vee 1 = 1

“veya” nin birleşme özelliği
“ve” nin “veya” Üzerine Dağılma Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q, r önermeleri için p\wedge (q\vee r) = (p\wedge q)\vee (p\wedge r) tir. Bu özelliğe “ve” nin “veya” üzerine soldan dağılma özelliği denir.

“ve” nin “veya” üzerine dağılma özelliği
“veya” nın “ve” Üzerine Dağılma Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q, r önermeleri için p\vee (q\wedge r) = (p\vee q)\wedge (p\vee r) tir. Bu özelliğe “veya” nın “ve” üzerine soldan dağılma özelliği denir.

“veya” nın “ve” üzerine dağılma özelliği
DE Morganın Kuralları

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q önermeleri için,
(p\wedge q)' = p'\vee q',
(p\vee q)' = p'\wedge q' tir. Bu kurallara De Morgan kuralları denir.

De Morgan kuralları

“ya da” Bağlacı ile Oluşan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye “p ya da q” bileşik önermesi denir ve p\veebar q şeklinde gösterilir. p\veebar q önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. p\veebar q önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin de doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

“ya da” Bağlacı ile Oluşan Bileşik Önermeler

“ya da” Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikler

“ya da” bağlacı ile kurulan bileşik önermelerin iki farklı özelliği bulunmakta, burada bu iki özellikten bahsedeceğiz.

Değişme Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q önermeleri için p\veebar q = q\veebar p
Bu özelliğe “ya da” nin değişme özelliği denir.

“ya da” nin değişme özelliği
Birleşme Özelliği

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi her p, q, r önermeleri için (p\veebar q) \veebar r= p\veebar (q\veebar r) tir. Bu özelliğe “ya da” nın birleşme özelliği denir.

p\veebar p' = 1
p\veebar 1 = p'
p\veebar 0 = p
p\veebar p = 0

“ya da” nın birleşme özelliği

Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme

Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşulla Önerme hakkındaki önemli bilgileri özetledim.

Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin “ise” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve p\Rightarrow q şeklinde gösterilir. p\Rightarrow q bileşik önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. p\Rightarrow q bileşik önermesinin doğruluk değeri, p önermesinin doğru q önermesinin yanlış olması durumunda yanlış, diğer durumlarda doğru olur.

Koşullu Önerme

Her p, q önermeleri için p\Rightarrow q = p' \vee q tir.
p\Rightarrow p = 1
p\Rightarrow 0 = p'
0\Rightarrow p = 1
p\Rightarrow 1= 1
1\Rightarrow p= p

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi

p\Rightarrow q önermesinin karşıtı q\Rightarrow p,
p\Rightarrow q önermesinin tersi p'\Rightarrow q',
p\Rightarrow q önermesinin karşıt tersi q'\Rightarrow p'dir.

(p\Rightarrow q) = (q'\Rightarrow p')

İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p\Leftrightarrow q şeklinde gösterilir. p\Leftrightarrow q bileşik önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. p\Leftrightarrow q bileşik önermesinin doğruluk değeri, p ve q önermelerinin her ikisinin doğruluk değerlerinin aynı olması durumunda doğru, diğer durumlarda yanlış olur

p\Leftrightarrow q =(p\Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p)
p\Leftrightarrow q = (p'\vee q)\wedge (q'\vee p)

p\Leftrightarrow p = 1
p\Leftrightarrow 1 = p
p\Leftrightarrow 0 = p'
p\Leftrightarrow p'= 0
1\Leftrightarrow p= p

İki Yönlü Koşullu Önerme

Her ve Bazı Niceleyicileri

Açık önerme, Niceleyiciler ve Açık Önerme Değili hakkındaki bilgileri özetledim.

Açık Önermeler

Denklemler ve eşitsizlikler açık önermedir.


Açık önermeler, en az bir değişken içeren ve bu değişkenlere bağlı olarak doğru veya yanlış hüküm bildiren ifadelerdir. Bir açık önermeyi doğru veya yanlış yapacak değerlerin kümesine, açık önermenin doğruluk kümesi denir. Değişkeni x olan bir açık önerme p(x), q(x), … şeklinde gösterilir. Değişkenleri x ve y olan bir açık önerme ise p(x, y), q(x, y), … şeklinde ifade edilir. Bu şekilde, değişkenlerin varlığına ve ilişkilerine göre ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı belirlenebilir.

Niceleyiciler

Evrensel niceleyici “Her” terimine denir ve sembolü \vee ile gösterilir. “Her” niceleyicisi önündeki elemanların tamamını ifade eder. Varlıksal niceleyici “Bazı” terimine denir ve sembolü \exists (okunuşu: “var”) ile gösterilir. “En az” niceleyicisi de bazı durumlarda kullanılır ve en az bir tane elemanı ifade eder.

Açık Önermenin Değili

“Her” niceleyicisinin değili “bazı” niceleyicisi, “bazı” niceleyicisinin değili “her” niceleyicisidir. p(x) açık önermesi için,
[\forall x, p(x)]^{\prime} \equiv \exists x, p^{\prime}(x)
p açık önermesindeki her x in tersi: p açık önermesinin tersinde bazı x lerdir.
[\exists x, p(x)]^{\prime} \equiv \forall x, p^{\prime}(x)
p açık önermesindeki bazı x lerin tersi: p açık önermesinin tersinde her x dir.

Terim ve Değili

Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları

Bir terimi eksiksiz olarak açıklayan ifadelere tanım denir. Tanımlar, bir kavramı ya da terimi açıklamak ve anlamını netleştirmek için kullanılır.

Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir. Aksiyomlar, bir teori veya sistemde temel kabul edilen gerçeklikleri ifade eder. Aksiyomlar doğrudur ve doğrulukları ispat gerektirmez. Doğruluğu ispatlanarak kabul edilen önermelere teorem denir. Bir teorem, p\Rightarrow q  şeklindeki bir önermedir, burada p’ye hipotez, q’ya hüküm denir. Bir teoremin hipotezinden hareketle hükümünü elde etmek için teoremi ispatlamak gerekir. Teorem ispatı, mantıksal ve matematiksel yollarla teoremin doğruluğunu göstermeyi amaçlar. Teorem ispatı, doğru mantıksal adımlar ve geçerli çıkarımlar kullanılarak yapılır. Teorem ispatı, ilgili alanın kurallarına ve mantığa dayanır.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.