KÜMELER 9. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

9. Sınıf Kümeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Kümeler ile İlgili Temel Kavramlar

Küme, birbirinden farklı ve iyi tanımlanmış nesnelerden oluşan bir topluluktur. Küme sembolleri genellikle büyük harflerle temsil edilir, örneğin A, B, C, … şeklinde gösterilir.

Kümenin oluşturan nesnelere kümenin elemanı denir. Eğer a bir eleman A kümesine aitse, bunu $a\in A$ şeklinde yazabiliriz ve “a, A kümesinin bir elemanıdır” şeklinde okuruz. Aynı şekilde, eğer a A kümesine ait değilse, bunu $\notin a$ şeklinde yazabiliriz ve “a, A kümesinin bir elemanı değildir” şeklinde okuruz.

Kümenin eleman sayısı, s(A) şeklinde gösterilir. Bu, A kümesindeki elemanların toplam sayısını ifade eder.

$\in$	Elemanıdır.
$\notin$	Elemanı değildir.
$\varnothing$	Boş küme.
$\{ \}$	Boş küme.
$s(A)$	Kümenin eleman sayısı
$\subset$	Alt küme
$\supset$	Kapsar
$\subseteq$	Özalt küme
$\supseteq$	Kapsar
$\subsetneq$	Alt küme değil
$\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right}$	Küme gösterimi

Küme Sembolleri

Kümelerin Farklı Gösterimleri

Kümenin elemanlarının aralarına virgül konularak ${ }$ biçiminde parantezin içine yazılmasına liste yöntemi ile gösterme denir.

Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içine, önlerine nokta konularak yazılmasına Venn şeması ile gösterme denir.

Kümeyi oluşturan elemanların ortak bir özelliği varsa, kümenin elemanlarının bu özellik kullanılarak yazılmasına ortak özellik yöntemi ile gösterme denir. $A =\lbrace x\mid \dotso \rbrace$ veya $A =\lbrace x: \dotso \rbrace$ şeklindeki yazılımda noktalı yerlere elemanların ortak özelliği yazılır. Küme parantezi içindeki $\rvert$ ve $:$ işaretleri “öyle ki” diye okunur.

Kümelerin Farklı Gösterimleri

Kümede her eleman yalnız bir kez yazılır.

Kümedeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.

Sonlu ve Sonsuz Kümeler

Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.

Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz küme denir.
Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bulunabilir.

Boş Küme

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme $\{ \}$ veya $\varnothing$ sembolleri ile gösterilir

Evrensel Küme

Üzerinde işlem yapılan kümelere ait elemanları içinde bulunduran kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme $E$ ile gösterilir.

Alt Küme

Herhangi iki küme A ve B düşünelim. A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda B kümesinin elemanıysa, A kümesi B kümesinin alt kümesi olarak adlandırılır ve $A \subset B$ veya $A \subseteq B$ ile gösterilir. Benzer şekilde, B kümesi A kümesini kapsıyorsa, $B \supset A$ veya $B \supseteq A$ şeklinde ifade edilir. A kümesinin en az bir elemanı, B kümesinin elemanı değilse, A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir ve ve $A \subsetneq B$ ile gösterilir.

$\begin{aligned} &A \subset B \Leftrightarrow [a \in A \Rightarrow a \in B] \text { dir. } \end{aligned}$
Bu ifadenin anlamı şudur:

A kümesi B kümesinin alt kümesidir, yani her A elemanı aynı zamanda B elemanıysa, bu durumda $A\subseteq B$ doğrudur.
A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir, yani A kümesinin en az bir elemanı B kümesinin elemanı değilse, bu durumda $A\nsubseteq B$ doğrudur.

Alt Küme

A, B ve C herhangi bir küme olmak üzere,
Boş küme her kümenin alt kümesidir. $\varnothing \subseteq A$ dır.
Her küme kendisinin alt kümesidir. $A \subseteq A$ dır.
Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. $A \subseteq E$ dir.
$(A \subseteq B) \wedge(B \subseteq C) \Rightarrow(A \subseteq C)$ dir.
Bir A kümesinin kendinden başka alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı $2^{n}$ , öz alt kümelerinin sayısı $2^{n}-1$ ile hesaplanır.

Bir A kümesinin kendinden başka alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı $2^{n}$ , öz alt kümelerinin sayısı $2^{n}-1$ ile hesaplanır.

İki Kümenin Eşitliği

$A \subseteq B$ ve $B \subseteq A$ ise yani A ve B aynı elemanlardan oluşuyorsa bu kümelere eşit kümeler denir ve $A = B$ ile gösterilir. A ve B eşit kümeler değilse $A \neq B$ ile gösterilir.

Eleman sayıları aynı olan kümeler eşit kümeler olmayabilir.

$A = B \Leftrightarrow A\subseteq B$ ve $B\subseteq A$

Kümelerde İşlemler

Kümelerde Birleşim, Kesişim, Fark ve Tümleme işlemlerinden önemli kısımlarından bahsedeceğim.

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemler

A ve B, herhangi iki küme olsun. A ve B kümelerinin tüm elemanlarından oluşan küme, bu iki kümenin birleşim kümesi olarak adlandırılır ve sembolik olarak $A\cup B$ şeklinde gösterilir.

A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan küme ise bu iki kümenin kesişim kümesi olarak adlandırılır ve sembolik olarak $A\cap B$ şeklinde gösterilir.
Bir kümenin birleşim kümesi, A veya B kümesinde yer alan tüm elemanları içerirken, kesişim kümesi yalnızca A ve B kümesinde ortak olan elemanları içerir.

$A u B = \lbrace x|x\in A veya x\in B\rbrace$
$A n B = \lbrace x|x\in A ve x\in B\rbrace$

Kümelerde Kesişim ve Birleşim

$A u E = E$
$A n E = A$

$A n B = \varnothing$ ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.

Her A kümesi için $A u A = A$ ve $A n A = A$ dır. Bu özelliğe tek kuvvet özelliği denir.

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin değişme özelliği vardır. Yani A ve B kümeleri için $A u B = B u A$ ve $A n B= B n A$ tir.

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin birleşme özelliği vardır. Yani A, B ve C kümeleri için $(A u B) u C = A u (B u C)$ ve $(A n B) n C = A n (B n C)$

Bir küme ile boş kümenin birleşimi kümenin kendisini verdiği için birleşim işleminin birim (etkisiz) elemanı 0 dir. $A u \varnothing = \varnothing u A = A$ tir.

Bir küme ile boş kümenin kesişimi 0 olduğu için kesişim işleminin yutan elemanı 0 dir. $A u \varnothing = \varnothing n A = \varnothing$

$A\subseteq B$ iken, $x\in A$ $\Rightarrow$ $x\in B$

A ve B kümeleri için $A\subseteq B$ ise $A u B = B$ ve $A n B = A$

Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine soldan ve sağ dan dağılma özelliği vardır. Yani,
$A u (B n C) = (A u B) n (A uC)$
$(B n C) u A = (B u A) n (C u A)$

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır. Yani,
$A n (B u C) = (A n B) u (A n C)$
$(B u C) n A = (B n A) u (C n A)$

A ve B herhangi iki küme olmak üzere,
$s(A u B) = s(A) + s(B) - s(A n B)$

$A n B = \varnothing$ iken $s(A u B) = s(A) + s(B)$

$A\subseteq B$ iken $s(A u B) = s(B)$

A, B ve C kümeleri için, $s(A u B u C)= s(A) + s(B) + s(C) - s(A n B) - s(A n C)- s(B n C) + s(A n B n C)$

Bir Kümenin Tümleyeni

E evrensel küme olmak üzere A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve bu küme $A'$ ile gösterilir. A kümesi ile $A'$ kümesinin eleman sayılarının toplamı E kümesinin eleman sayısını verir. Yani $s(A) + s(A') = s(E)$ tir.

$A' = \lbrace x\lvert x\notin A \:ve\: x\in a\rbrace$

Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Yani $E' = \varnothing$ tir.

❖ Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. Yani $\varnothing ' = E$ tir.
❖ Her A kümesi için $A' n A =\varnothing$ ve $A' u A = E$ tir.
❖ Her A kümesi için $(A')' = A$ tir

Her A ve B kümesi için $A\subseteq B'$ ise $B'\subseteq A'$ olur

De Morgan Kuralları

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, $(A u B)' = A' n B'$ ve $(A n B)' = A' u B'$

Kümelerde Fark İşlemi

A ve B iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir. A – B veya A \ B ile gösterili

$A - B = \lbrace x | x\in A\wedge x\notin B\rbrace$

$A\neq B$ olmak üzere $A-B = A n B'$
$A\neq B$ olmak üzere $A-B \neq B-A$

Kümelerde Fark

$A\subseteq E$ olmak üzere,
$A - A =\varnothing$
$\varnothing - A =\varnothing$
$A - \varnothing = A$

$A\subseteq E$ olmak üzere,
$A - E =\varnothing$
$E - A = A'$

$s(A u B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A n B)$

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

İki kümenin kartezyen çarpımı, matematikte önemli bir kavramdır. Kartezyen çarpım, birbirleriyle ilişkilendirilebilen elemanlardan oluşan yeni bir küme oluşturur. İki kümenin elemanlarının tüm ikililerini içeren bu yeni küme, çeşitli matematiksel operasyonlar ve analizler için kullanılır. Kartezyen çarpım, matematiksel modelleme, mantık, küme teorisi, veri analizi ve programlama gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılır.

Sıralı İkili

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A kümesinden a elemanı, B kümesinden b elemanı alınarak yazılan (a, b) biçimindeki elemana sıralı ikili denir. a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir. Sıralı ikilide bileşenlerin yazılış sırası önemlidir. Yani $(a, b)\neq (b, a)$ dir.

(a, b) ve (c, d) şeklindeki iki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirine, ikinci bileşenleri birbirine eşitse bu sıralı ikililer birbirine eşittir ve (a, b) = (c, d) şeklinde yazılır.
$(a, b) = (c, d)\Leftrightarrow a = c\wedge b = d$

Kartezyen Çarpım

İki kümenin kartezyen çarpımı sıralı ikililerden oluşan bir kümedir.

A ve B boş olmayan iki küme olsun. Birinci bileşeni A, ikinci bileşeni B kümesinin elemanı olan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve A x B şeklinde gösterilir

$A x B= \lbrace x,y\rbrace\lvert x\in A \wedge y\in B$

s(A X B) = s(A). s(B) tir.

$A x \varnothing = \varnothing x A = \varnothing$
$A x B = \varnothing \Rightarrow A =\varnothing$ veya $B = \varnothing$

Kartezyen çarpım işleminin değişme özelliği yoktur. Yani, $A x B \neq B x A$

Kartezyen çarpım işleminin birleşim işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır. Yani,
$A x (B\cup C) = (A x B)\cup (A x C)$ ve
$(B\cup C) x A = (B x A)\cup (C x A)$ olur.

Kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır. Yani,
$A x (B\cap C) = (A x B)\cap (A x C)$ ve
$(B\cap C) x A = (B x A)\cap (C x A)$ olur

Kümeler ile İlgili Temel Kavramlar

Kümelerin Farklı Gösterimleri

Sonlu ve Sonsuz Kümeler

Boş Küme

Evrensel Küme

Alt Küme

İki Kümenin Eşitliği

Kümelerde İşlemler

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemler

Bir Kümenin Tümleyeni

De Morgan Kuralları

Kümelerde Fark İşlemi

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

Sıralı İkili

Kartezyen Çarpım

Bir Yorum YazınYanıtı İptal Et