KÖKLÜ İFADELER Konu Anlatımı Özeti – 8. Sınıf

8. Sınıf Köklü İfadeler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Köklü İfadeler

Tam kare pozitif tam sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılması sonucunda elde edilen pozitif tam sayılardır. Örneğin, 1 . 1 = 1, 2 . 2 = 4, 3 . 3 = 9 gibi. Bu sayılar 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 gibi devam eder. Bu sayılar tam kare pozitif tam sayılar olarak adlandırılır çünkü her biri bir tam sayının karesini temsil eder.
Karekök alma işlemi ise tam tersidir. Bir sayının karekökünü bulmak, o sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmaktır. Karekök işareti ” \sqrt” sembolü ile gösterilir. Örneğin, \sqrt 4 = 2, \sqrt 9 = 3, \sqrt 16 = 4 gibi. Burada, 2’nin karesi 4, 3’ün karesi 9, 4’ün karesi ise 16’dır.

Tam Kare Olmayan Kareköklü Sayıların Hangi İki Doğal Sayı Arasında Olduğunu Belirleme

Tam kare olmayan kareköklü sayıların karekökleri iki doğal sayı arasında yer alır. Bu durumu anlamak için karekökün içindeki sayıdan önceki ve sonraki tam kare sayıları kullanabiliriz.
Örneğin, \sqrt{5} sayısını ele alalım. Öncesindeki tam kare sayı 4 (2’nin karesi) ve sonrasındaki tam kare sayı 9 (3’ün karesi) olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla, \sqrt{5} sayısı 4 ile 9 arasında yer alır.

Benzer şekilde, \sqrt{11} sayısı için öncesindeki tam kare sayı 9 (3’ün karesi) ve sonrasındaki tam kare sayı 16 (4’ün karesi) olduğunu gözlemleyebiliriz. Bu da \sqrt{11} sayısının 9 ile 16 arasında yer aldığını gösterir.
Aynı şekilde, \sqrt{18} sayısı için öncesindeki tam kare sayı 16 (4’ün karesi) ve sonrasındaki tam kare sayı 25 (5’in karesi) olduğunu görüyoruz. Bu da \sqrt{18} sayısının 16 < \sqrt{18} < 25 arasında yer alır.

Kareköklü Bir İfadeyi a\sqrt{b} Şeklinde Yazma ve a\sqrt{b} Şeklindeki İfadede Katsayıyı Karekök İçine Alma

Karekök içindeki sayılardan biri tam kare sayı ise, bu sayıyı karekök sembolünün başına katsayı olarak yazabiliriz. Diğer çarpan ise karekök içinde kalır. Örneğin, \sqrt{9 \cdot 16} = 3\sqrt{16} şeklinde yazılabilir. Burada, 9 tam kare bir sayıdır ve karekök içinde kendi karekök sembolünün başına katsayı olarak yazılırken, 16 çarpan olarak karekök içinde kalır.

Ayrıca, a\sqrt{b} şeklinde yazılmış bir ifadeyi karekök içine almak istediğimizde, a sayısının karesini alırız ve bu sayıyı karekök içindeki sayıyla çarparız. Yani, a\sqrt{b} = \sqrt{a^{2} \cdot b} şeklinde yazılabilir. Örneğin, 2\sqrt{5} ifadesini karekök içine almak istediğimizde, 2 sayısının karesi olan 4’ü alır ve karekök içindeki 5 ile çarparız, böylece \sqrt{4 \cdot 5} elde ederiz.

ÖRNEK SORU: 2\sqrt{7}, 4\sqrt{6}, \sqrt{66}, 8 sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
ÇÖZÜM:
Sayıları karekök içine alalım.

  1. \sqrt{66}.
  2. 4\sqrt{6}: 4’ü karekök içine alalım, \sqrt{16 . 6} = \sqrt{96}.
  3. 2\sqrt{7}: 2’yi karekök içine alalım, \sqrt{4 . 7} = \sqrt{28}.
  4. 8: 8’i karekök içine alalım, \sqrt{64} olur.

Böylece, büyükten küçüğe doğru sıralama şu şekildedir:
4\sqrt{6} > 8 > \sqrt{66} > 2\sqrt{7}

Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemler

Çarpma İşlemi: Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yaparken, karekökün önündeki katsayılar (sayılar) kendi aralarında çarpılır ve katsayı kısmına yazılır. Karekök içindeki sayılar da (tam kare olmayan ifade) kendi aralarında çarpılır ve karekök içine yazılır. Eğer çarpım sonucunda karekök içinde tam kare bir sayı bulunuyorsa, bu tam kare sayı karekök dışına çıkarılır.
a\sqrt{b} . c\sqrt{d} = a. c\sqrt{b . d}

Örneğin, 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} ifadesini çarpmak istediğimizi düşünelim. Katsayılar 2 ve 3’ü çarptığımızda 6 elde ederiz. Karekök içindeki sayılar olan 3 ve 2’yi çarptığımızda ise 6 elde ederiz. Dolayısıyla sonuç olarak 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6} olur.

Bölme İşlemi: Kareköklü ifadelerde bölme işlemi yaparken, karekök dışındaki katsayılar kendi aralarında bölünür ve katsayı kısmına yazılır. Karekök içindeki sayılar da kendi aralarında bölünerek karekök içine yazılır. Eğer karekök içinde tam kare bir çarpan varsa, bu tam kare çarpan karekök dışına çıkarılır.
\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}} = \frac{a}{c} . \sqrt{\frac{b}{d}}

Örneğin, \frac{5\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} ifadesini bölmek istediğimizi düşünelim. Katsayılar olan 5 ve 2’yi böldüğümüzde \frac{5}{2} elde ederiz. Karekök içindeki sayılar olan 12 ve 3’ü böldüğümüzde ise \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 elde ederiz. Dolayısıyla sonuç olarak \frac{5\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2}\sqrt{4} = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 olur.

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemler

Toplama İşlemi: Kareköklü ifadelerde toplama işlemi yaparken, karekök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır ve karekök içleri aynen yazılır. Yani, aynı karekök ifadeleri birleştirerek toplarız. Eğer karekök içindeki sayılar eşit değilse, karekök içleri eşitlenir ve toplama işlemi yapılır.
a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a + c)\sqrt{b}

Örneğin, 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} ifadesini toplamak istediğimizi düşünelim. Karekök içleri aynı olan terimlerin katsayıları olan 2 ve 3’ü topladığımızda 5 elde ederiz. Karekök içleri de aynı olduğu için karekök ifadesi aynen yazılır. Dolayısıyla sonuç olarak 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} olur.

Çıkarma İşlemi: Kareköklü ifadelerde çıkarma işlemi yaparken de aynı prensibi kullanırız. Karekök içleri aynı olan terimlerin katsayıları çıkarılır ve karekök içleri aynen yazılır. Eğer karekök içindeki sayılar eşit değilse, karekök içleri eşitlenir ve çıkarma işlemi yapılır.
a\sqrt{b} - c\sqrt{b} = (a - c)\sqrt{b}

Örneğin, 5\sqrt{7} - 2\sqrt{7} ifadesini çıkarmak istediğimizi düşünelim. Karekök içleri aynı olan terimlerin katsayıları olan 5 ve 2’yi çıkararak 3 elde ederiz. Karekök içleri de aynı olduğu için karekök ifadesi aynen yazılır. Dolayısıyla sonuç olarak 5\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7} olur.

Kareköklü Bir İfade İle Çarpıldığında Sonucu Bir Doğal Sayı Yapan Çarpanlar

a\sqrt{b} şeklindeki bir sayıyı içinde b olan bir çarpan ile çarparsak, sonuç bir doğal sayı olur. Bu çarpan b’nin tam kare hali olmalıdır.
a\sqrt{b} . \sqrt{b} = a\sqrt{b^2} = a . b

Örneğin, 2\sqrt{3} sayısını \sqrt{3} ile çarpmak istediğimizi düşünelim. Burada b = 3 olduğu için, içinde b olan bir çarpan olarak \sqrt{3}‘ü seçiyoruz. Bu durumda, çarpma işlemi aşağıdaki gibi gerçekleşir:
2\sqrt{3} . \sqrt{3} = 2\sqrt{3^2} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6
Görüldüğü gibi, \sqrt{3} ile çarptığımızda sonuç 6, yani bir doğal sayı elde ediyoruz.

Bu durumu genellemek gerekirse, kareköklü bir ifadeyi içinde tam kare bir sayı olan çarpanlarla çarptığımızda, sonuç her zaman bir doğal sayı olur. Tam kare olan çarpan, karekök ifadesinin içindeki sayıya denk gelir.
Bu kuralı kullanarak kareköklü ifadelerle çarpmalar yapabilir ve sonucu bir doğal sayı elde edebiliriz.

ÖRNEK SORU: \sqrt{72} sayısının hangi sayı ile çarpıldığında sonucun bir doğal sayı olacağını bulalım.

ÇÖZÜM: \sqrt{72} = \sqrt{2^3 . 3^2} = 6\sqrt{2} olduğu için, \sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}….. sayıları ile çarpıldığında sonuç bir doğal sayı olur.

Bir paydasında kareköklü bir ifade bulunan ( b\neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} şeklinde yazılabilen) ifadeyi paydasını doğal sayı yapmak için, paydanın tam kare olabileceği şekilde ifadeyi genişletmemiz gerekmektedir. Örneğin, \frac{a}{b} şeklinde yazılan bir ifadenin paydasını doğal sayı yapmak için, paydada yer alan kareköklü ifadeyi tam kare bir çarpan ile çarparız.
Örnek olarak, \frac{5}{\sqrt{3}} ifadesini ele alalım. Burada paydanın kareköklü bir ifade olduğunu görüyoruz. Paydanın tam kare olmasını istediğimiz için, \sqrt{3} ifadesini \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} şeklinde genişletebiliriz. Bu durumda ifademiz şu şekilde yeniden yazılabilir: \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}.
Şimdi, paydanın tam kareye denk geldiğini görmekteyiz. Sonuç olarak, ifademiz \frac{5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} olarak genişletilirken payda doğal sayı hâline gelmiştir.

Ondalık İfadelerin Karekökü

Karekök içindeki ondalık gösterimler, rasyonel sayıya çevrildikten sonra pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınarak sonuç bulunur.
Örneğin; \sqrt{0,36} = \frac{6}{10} = 0,6

İrrasyonel Sayılar ve Gerçek Sayılar

Küçük bir hatırlatma;
Bir devirli ondalık sayının rasyonel ifadesini bulmak için, devretmeyen kısmı paya yazıp, devreden kısmın basamak sayısı kadar paydanın üzerine 0 (sıfır) yazılır. Ardından, sayının tamamından devretmeyen kısmı çıkarıp paydanın üzerine yazılır. Payda ise, devretmeyen kısmın basamak sayısı kadar 9 yazılır.
a,bc\overline{de} = \frac{abcde-abc}{9900}
Örneğin, 2,\overline{3} sayısının rasyonel ifadesini bulalım. Devretmeyen kısım yok ve devreden kısım 3’tür. Basamak sayısı 1 olduğu için payda 9 olacaktır.
2,\overline{3} = \frac{23-2}{9} = \frac{7}{3}

Tam sayılar ve kesirli sayılar birer rasyonel sayıdır. Örneğin, 3, -2, 5/7 gibi sayılar rasyonel sayılardır çünkü bu sayıları a/b şeklinde ifade edebiliriz, burada a ve b tam sayılardır ve b sıfırdan farklıdır.

Ancak, irrasyonel sayılar rasyonel sayılar şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. Örnek olarak, \sqrt{2}, \pi, \sqrt{\frac{3}{5}} gibi sayılar irrasyonel sayılardır. Bu sayıları kesirli ya da tam sayı olarak ifade edemeyiz.

Gerçek sayılar kümesi ise rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. R ile gösterilen gerçek sayılar kümesi, tüm rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.