İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler 11. Sınıf Konu Anlatım Özeti

11. Sınıf Fonksiyonlarda Uygulamalar ünitesinde yer alan İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafiklerkonusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyon Grafiğinin Çizimi

$a, b, c \in \mathbb{R}$ ve $a \neq 0$ olmak üzere, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^2+b x+c$ şeklindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir. Bu fonksiyonları sağlayan $(x, y)$ nin analitik düzlemde oluşturduğu noktalar kümesine ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiği denir.

Bu fonksiyonların grafiği parabol şeklindedir. Parabolde, fonksiyonun artan olduğu bir aralıktan azalan olduğu bir aralığa geçtiği nokta veya azalan olduğu bir aralıktan artan olduğu bir aralığa geçtiği nokta tepe noktası olarak adlandırılır. Tepe noktası $\mathbf{T}$ ile gösterilir. f: $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere fonksiyon en küçük ya da en büyük değerini tepe noktasında alır.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyon grafiği

$y = ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasından geçen ve $x$ ekseniyle dik olan doğruya simetri ekseni denir.

$f(x)=a x^2+b x+c$ Fonksiyonunun Grafiği

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^2+b x+c$ şeklindeki fonksiyonun grafiği (parabol), çizebilmek için parabolün eksenleriyle kesiştiği noktaları ve tepe noktasını bulmamız gerekmektedir. Bu noktaları birleştirerek parabolün grafiğini çizebiliriz.

Eğer $a >0$ parabolün kolları yukarı doğru açılırken, $a<0$ ise parabolün kolları aşağı doğru açılır.

– Parabolün eksenleri kestiği noktalar
$x=0 \Rightarrow f(0)=$ c olduğundan parabol, y eksenini $(0, c)$ noktasında keser.
– $y=0 \Rightarrow a x^2+b x+c=0$ olur. Bu durumda
$\Delta>0$ ise parabol $x$ eksenini farklı iki noktada keser.
$\Delta<0$ ise parabol $x$ eksenini kesmez.
$\Delta=0$ ise parabol $x$ eksenine teğettir.
– Parabolün tepe noktası
$y=a x^2+b x+c$ fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları $T(r, k)$ olmak üzere $r=-\frac{b}{2 a}$ ve $k=f(r)=f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$ olur.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyon olan $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^2+b x+c$ fonksiyonunun tepe noktası $T(r, k)$ olarak ifade edilen fonksiyon, $f(x)=a \cdot(x-r)^2+k$ şeklinde yazılabilir. $f(x)=a \cdot(x-r)^2+k$ fonksiyonu için $x=r=-\frac{b}{2 a}$ doğrusu fonksiyonun simetri eksenidir.

$f(x)=a x^2+b x+c$ fonksiyonu için $f(x)=0$ denkleminin kökleri $\mathrm{x}_1$ ve $\mathrm{x}_2$ ise tepe noktasının apsisi $\mathrm{r}=-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2}$ olarak hesaplanır.

Grafikte simetri ekseni

Parabolün Denklemini Yazma

Parabolün denklemi, parabolün grafiğine bağlı olarak üç farklı duruma göre yazılabilir.

Biri y ekseni üzerinde olmak üzere parabolün herhangi üç noktası $f(x)=a x^2+b x+c$ fonksiyonunda yerine yazılarak $a, b, c$ katsayıları bulunur ve parabol denklemi elde edilir.
$f(x)=a x^2+b x+c$ fonksiyonu için $f(x)=0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun. Bu durumda parabol denklemi $y=a \cdot\left(x-x_1\right) \cdot\left(x-x_2\right)$ şeklinde yazılır.
$\left(x_1, 0\right),\left(x_2, 0\right)$ noktaları dışında parabol üzerinde verilen üçüncü bir nokta yardımıyla a değeri bulunur ve parabol denklemi elde edilir.
Tepe noktasının koordinatları $T(r, k)$ olsun. Parabolün üzerinde tepe noktası dışında ikinci bir nokta bilindiğinde bu noktalar $y=a \cdot(x-r)^2+k$ denkleminde yerine yazılarak a değeri bulunur ve parabol denklemi elde edilir.

Bir Doğru ile Bir Parabolün Durumu

$y=a x^2+b x+c$ parabolü ile $y=m x+n$ ortak çözümünü bulmak için her iki denklemin y değerleri birbirine eşitlenir.

$a x^2+b x+c=m x+n \Rightarrow a x^2+(b-m) x+c-n=0$

Bu şekilde, iki denklemin ortak çözümüyle elde edilen denklem, ortak çözüm denklemi olarak adlandırılır. Ortak çözüm denklemi için, bulunan denklemin diskriminant $(\Delta)$ hesaplanır.