FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR 11. Sınıf Özet Konu Anlatımı

11. Sınıf Fonksiyonlarda Uygulama konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Fonksiyonlarla ilgili uygulamalar

Fonksiyonların uygulama alanlarıyla ilgili bilgileri özetledim.

Fonksiyonu grafik tablo kullanarak problem çözme

y = f(x) = ax + b şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile uygulamaları

Bir ürünün alış ve satış fiyatı, bir aracın yakıt tüketimi ve bir bitkinin boyunun zamana göre değişimi arasındaki ilişki gibi durumlarda a, b \in \mathbb{R} olmak üzere y=a x+b şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile ifade edilebilir.

Fonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar

Polinom fonksiyonlarının grafiği, x veya y eksenini en az bir noktada keser. Örneğin, x eksenini kesen noktaları bulmak için fonksiyonun içinde y yerine sıfır koyarız ve x değerlerini buluruz. Aynı şekilde, y eksenini kesen noktaları bulmak için fonksiyonun içinde x yerine sıfır koyarız ve y değerlerini buluruz. Bu şekilde analitik düzlemde bir fonksiyonun grafiğinin eksenleri kesen noktaları bulabiliriz.

Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar

Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıklar grafik üzerinden açıklayacağız.
Grafikte, x_1<a ve b<x_3<c aralıkları için f(x_1) ve f(x_3) değerleri pozitiftir. Bu, f(x) fonksiyonunun pozitif değer aldığı aralığın (-\infty, a) ve (b, c) olduğu anlamına gelir. Yani, grafiğin x ekseninin üst kısmındaki bölümlerinde herhangi bir x değeri için f(x)>0 olur. 
Grafikte, a<x_2<b ve c<x_4 aralıkları için f(x_2) ve f(x_4) değerleri negatiftir. Bu, f(x) fonksiyonunun negatif değer aldığı aralığın (a, b) ve (c, \infty) olduğu anlamına gelir. Yani, y = f(x) fonksiyon grafiğin x ekseninin alt kısmındaki bölümlerinde herhangi bir x değeri için f(x)<0 olur. Grafiğin, x eksenini kestiği a, b, c noktaları f(x)=0 denkleminin kökleridir.

Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu grafik

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

A \subset \mathbb{R}, B \subset A ve f: A \rightarrow \mathbb{R} olacak şekilde bir f fonksiyonu verilsin.
Bu durumda her \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2 \in \mathrm{B} için \mathrm{x}_1<\mathrm{x}_2 olduğunda \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_1\right)<f\left(\mathrm{x}_2\right) olursa f fonksiyonuna B de artan fonksiyon denir.
Her x_1, x_2 \in B için x_1<x_2 olduğunda f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right) olursa f fonksiyonuna B de azalan fonksiyon denir. Yukarıdaki grafikte (a, b) nda alınan x_1<x_2 şartını sağlayan her x_1, x_2 için f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right) olduğundan f fonksiyonu (a, b) nda artandir.

(b, c) nda alınan x_3<x_4 şartnnı sağlayan her x_3, x_4 için f\left(x_3\right)>f\left(x_4\right) olduğundan f fonksiyonu (b, c) nda azalandır.

(c, d) nda alınan x_5<x_6 şartını sağlayan her x_5, x_6 için f\left(x_5\right)<f\left(x_6\right) olduğundan f fonksiyonu (c, d) nda artandır.

Artan azalan fonksiyon grafiği

Maksimum ve Minimum Noktalar

Analitik düzlemde verilen bir fonksiyonun grafiği görüntü kümesinde aldığı en büyük ve en küçük değerler;

f:[-4,8] \rightarrow[-4,2], y=f(x) fonksiyonunun aldığı en büyük değer x=8 için f(8)=2, en küçük değer x=-4 için f(-4)=-4 şeklinde bulunur.

Fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları

Tanım yaparsak;
A \subseteq \mathbb{R} olmak üzere f: A \rightarrow \mathbb{R} bir fonksiyon olsun. Her x \in A için f(x) \leq f(p) olacak şekilde bir p \in A sayısı varsa (p, f(p)) noktasına f nin maksimum noktası, f(p) ye f nin maksimum değeri denir.
Her x \in A için f(x) \geq f(t) olacak şekilde bir t \in A sayısı varsa (t, f(t)) noktasına f nin minimum noktası, f(t) ye f nin minimum değeri denir.

Fonksiyonun maksimum ve minimum değeri
Ortalama Değişim Hızı

Hava koşulları bir bitkiyi büyümekte pozitif veya negatif bir etki yapabilir. Bu nedenle, bir bitkinin büyüme hızı zamanla değişebilir. Otoyolda belirli bir süre boyunca sabit bir hızla giden bir araç varsayalım. Bu aracın yakıt deposundaki yakıt miktarındaki azalma hızı zamanla sabit kalır. Nesnelerin birim zaman içindeki değişim hızı ortalama değişim hızı olarak adlandırılır. Fonksiyonların belirli bir aralıkta ortalama değişim hızı aşağıdaki şekilde hesaplanır.

y=f(x) fonksiyonunun \left[x_1, x_2\right] nda ortalama değişim hızı \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} olarak tanımlanır.
\Delta x : A dan B ye x değerindeki değişim ve \Delta y: A dan B ye y değerindeki değişim)

Doğrusal fonksiyonların herhangi bir aralıktaki ortalama değişim hızı sabittir ve doğrunun eğimine eşittir.
\left[x_1, x_2\right] ndaki ortalama değişim hızı A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right) ve B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right) noktalarından geçen kesenin eğimine eşittir.

Ortalama değişim hızı

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLER

İkinci dereceden fonksiyonlar ve grafikleri konusundaki önemli kısımları özetledim.

İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyon Grafiğinin Çizimi

a, b, c \in \mathbb{R} ve a \neq 0 olmak üzere

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^2+b x+c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir.

Bu fonksiyonları sağlayan (x, y) nin analitik düzlemde oluşturduğu noktalar kümesine ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiği denir.

Bu fonksiyonların grafiği paraboldür. Parabolde fonksiyonun artan olduğu aralıktan azalan olduğu aralığa geçtiği noktaya veya azalan olduğu aralıktan artan olduğu aralığa geçtiği noktaya tepe noktası denir. Tepe noktası \mathbf{T} ile gösterilir. f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere fonksiyon en küçük ya da en büyük değerini tepe noktasında alır.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyon grafiği

y=a x^2+b x+c parabolünün tepe noktasından geçen ve x eksenine dik olan doğruya simetri ekseni denir.

f(x)=a x^2+b x+c Fonksiyonunun Grafiği

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^2+b x+c biçimindeki fonksiyonun grafiğini (parabol) çizebilmek için parabolün eksenleri kestiği noktalar ve parabolün tepe noktası bulunur. Bu noktalar ardışık birleştirilerek parabolün grafiği çizilir.

a >0 ise parabolün kolları yukarı, a<0 ise parabolün kolları aşağı doğrudur.

– Parabolün eksenleri kestiği noktalar

x=0 \Rightarrow f(0)= c olduğundan parabol, y eksenini (0, c) noktasında keser. y=0 \Rightarrow a x^2+b x+c=0 olur. Bu durumda \Delta>0 ise parabol x eksenini farklı iki noktada keser. \Delta<0 ise parabol x eksenini kesmez. \Delta=0 ise parabol x eksenine teğettir.

– Parabolün tepe noktası

y=a x^2+b x+c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları T(r, k) olmak üzere
r=-\frac{b}{2 a} ve k=f(r)=f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^2}{4 a} olur.

Sonuç olarak;
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x^2+b x+c fonksiyonunun tepe noktası T(r, k) olmak üzere fonksiyon f(x)=a \cdot(x-r)^2+k biçiminde ifade edilir.
f(x)=a \cdot(x-r)^2+k fonksiyonu için x=r=-\frac{b}{2 a} doğrusu fonksiyonun simetri eksenidir.
f(x)=a x^2+b x+c fonksiyonu için f(x)=0 denkleminin kökleri \mathrm{x}_1 ve \mathrm{x}_2 ise tepe noktasının apsisi \mathrm{r}=-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} olur.

Grafikte simetri ekseni
Parabolün Denklemini Yazma

Parabolün grafiğine bağlı olarak denklem üç farklı duruma göre yazılabilir.
1. Biri y ekseni üzerinde olmak üzere parabolün herhangi üç noktası f(x)=a x^2+b x+c fonksiyonunda yerine yazılarak a, b, c katsayıları bulunur ve parabol denklemi elde edilir.

2. f(x)=a x^2+b x+c fonksiyonu için f(x)=0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 olsun. Bu durumda parabol denklemi y=a \cdot\left(x-x_1\right) \cdot\left(x-x_2\right) şeklinde yazılır.
\left(x_1, 0\right),\left(x_2, 0\right) noktaları dışında parabol üzerinde verilen üçüncü bir nokta yardımıyla a değeri bulunur ve parabol denklemi elde edilir.

3. Tepe noktasının koordinatları T(r, k) olsun. Parabolün üzerinde tepe noktası dışında ikinci bir nokta bilindiğinde bu noktalar y=a \cdot(x-r)^2+k denkleminde yerine yazılarak a değeri bulunur ve parabol denklemi elde edilir.

Bir Doğru ile Bir Parabolün Durumu

y=a x^2+b x+c parabolü ile y=m x+n doğrusunun durumları incelenirken denklemlerin ortak çözümü yapılır. Bunun için her iki denklemde y değerleri birbirine eşitlenir.

    \[a x^2+b x+c=m x+n \Rightarrow a x^2+(b-m) x+c-n=0\]


iki denklemin ortak çözümüyle ulaşılan denkleme ortak çözüm denklemi denir. Bulunan ortak çözüm iki denklemin diskrimantı için;

1. \Delta<0 ise, Ortak çözüm denkleminin kökü yoktur. O hâlde parabol ile doğru kesişmez.

Ortak çözüm denkleminin kökü olmayan parabol ve doğru

2. \Delta=0 ise
Ortak çözüm denkleminin birbirine eşit iki kökü vardır. O hâlde doğru, parabole teğettir.

Ortak çözüm denkleminin birbirinin aynısı iki eşit kökü olduğunda parabol ve doğru

3. \Delta>0 ise,
Ortak çözüm denkleminin farklı iki reel kökü vardır. O hâlde parabol ile doğru farklı iki noktada kesişir.

Ortak çözüm denkleminin iki farklı kökü olduğunda parabol ve doğru

Fonksiyonların Dönüşümleri

Tek ve çift fonksiyonların grafiklerinin simetri özelliklerindeki vefonksiyon dönüşümlerindeki önemli yerleri kısaca özetledim.


Tek ve Çift Fonksiyonların Grafiklerinin Simetri Özellikleri

Çift fonksiyonların grafikleri y-eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri orjine göre simetriktir.

Bir fonksiyon tek fonksiyon ise  orjine göre simetriktir. Bir fonksiyon orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.

Fonksiyonların Dönüşümleri

f(x)+b fonksiyonunun grafiğinde b>0 ise f(x) fonksiyonunun grafiği b birim yukarı, b<0 ise f(x) fonksiyonunun grafiği |b| birim aşağı ötelenerek y=f(x)+b fonksiyonunun grafiği elde edilir.

f(x-a) fonksiyonunda a pozitif ise f(x) fonksiyonun grafiği a birim sağa, a negatif ise f(x) fonksiyonu |a| birim sola ötelenir.

k.f(x) parabolünde k değeri mutlak değer olarak arttıkça f(x) parabolünün kolları arasındaki açıklık daralmaktadır. k değeri mutlak değer olarak küçüldükçe parabolün kolları arasındaki açıklık artmaktadır.

f(x) bir parabol olmak üzere f(k \cdot x) in grafiğinin kolları arasındaki açıklık f(x) in kolları arasındaki açıkıığın \frac{1}{\mathrm{k}} katına eşittir.

f(x) foksiyonunun grafiği ile -f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenine göre simetriktir.

-f(x) ile f(x)’in grafikleri y eksenine göre simetriktir.

Fonksiyonlarla İlgili Terimler ve Kavramlar

Fonksiyonlarda uygulama konusunda bahsettiğimiz kavramlar;

  • Ortalama değişme hızı
  • İkinci dereceden fonksiyonlar
  • Tepe noktası
  • Parabol
  • Simetri ekseni
  • Öteleme
  • Simetri
  • Dönüşüm
  • Tek fonksiyon
  • Çift fonksiyon

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.