Diğer eğitim projelerimize baktınız mı ? KolayBiyoloji.com KolayFizik.com KonuAnlatım.com
FONKSİYONLARDA UYGULAMALAR 11. Sınıf Özet Konu Anlatımı
11. Sınıf Fonksiyonlarda Uygulama konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.
Fonksiyonlarla ilgili uygulamalar
Fonksiyonların uygulama alanlarıyla ilgili bilgileri özetledim.
Fonksiyonu grafik tablo kullanarak problem çözme
şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile uygulamaları
Bir ürünün alış ve satış fiyatı, bir aracın yakıt tüketimi ve bir bitkinin boyunun zamana göre değişimi arasındaki ilişki gibi durumlarda olmak üzere
şeklindeki fonksiyonların grafikleri ile ifade edilebilir.
Fonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar
Polinom fonksiyonlarının grafiği, x veya y eksenini en az bir noktada keser. Örneğin, x eksenini kesen noktaları bulmak için fonksiyonun içinde y yerine sıfır koyarız ve x değerlerini buluruz. Aynı şekilde, y eksenini kesen noktaları bulmak için fonksiyonun içinde x yerine sıfır koyarız ve y değerlerini buluruz. Bu şekilde analitik düzlemde bir fonksiyonun grafiğinin eksenleri kesen noktaları bulabiliriz.
Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar
Fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu aralıklar grafik üzerinden açıklayacağız.
Grafikte, ve
aralıkları için
ve
değerleri pozitiftir. Bu,
fonksiyonunun pozitif değer aldığı aralığın
ve
olduğu anlamına gelir. Yani, grafiğin
ekseninin üst kısmındaki bölümlerinde herhangi bir
değeri için
olur.
Grafikte, ve
aralıkları için
ve
değerleri negatiftir. Bu,
fonksiyonunun negatif değer aldığı aralığın
ve
olduğu anlamına gelir. Yani,
fonksiyon grafiğin
ekseninin alt kısmındaki bölümlerinde herhangi bir
değeri için
olur. Grafiğin, x eksenini kestiği
,
,
noktaları
denkleminin kökleridir.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
ve
olacak şekilde bir
fonksiyonu verilsin.
Bu durumda her için
olduğunda
olursa
fonksiyonuna
de artan fonksiyon denir.
Her için
olduğunda
olursa
fonksiyonuna
de azalan fonksiyon denir. Yukarıdaki grafikte (a, b) nda alınan
şartını sağlayan her
için
olduğundan f fonksiyonu
nda artandir.
(b, c) nda alınan şartnnı sağlayan her
için
olduğundan
fonksiyonu (b, c) nda azalandır.
(c, d) nda alınan şartını sağlayan her
için
olduğundan f fonksiyonu (c, d) nda artandır.
Maksimum ve Minimum Noktalar
Analitik düzlemde verilen bir fonksiyonun grafiği görüntü kümesinde aldığı en büyük ve en küçük değerler;
fonksiyonunun aldığı en büyük değer
için
, en küçük değer
için
şeklinde bulunur.
Tanım yaparsak; olmak üzere
bir fonksiyon olsun. Her
için
olacak şekilde bir
sayısı varsa
noktasına
nin maksimum noktası,
ye
nin maksimum değeri denir.
Her için
olacak şekilde bir
sayısı varsa
noktasına
nin minimum noktası,
ye
nin minimum değeri denir.
Ortalama Değişim Hızı
Hava koşulları bir bitkiyi büyümekte pozitif veya negatif bir etki yapabilir. Bu nedenle, bir bitkinin büyüme hızı zamanla değişebilir. Otoyolda belirli bir süre boyunca sabit bir hızla giden bir araç varsayalım. Bu aracın yakıt deposundaki yakıt miktarındaki azalma hızı zamanla sabit kalır. Nesnelerin birim zaman içindeki değişim hızı ortalama değişim hızı olarak adlandırılır. Fonksiyonların belirli bir aralıkta ortalama değişim hızı aşağıdaki şekilde hesaplanır.
fonksiyonunun
nda ortalama değişim hızı
olarak tanımlanır.
: A dan
ye
değerindeki değişim ve
dan
ye y değerindeki değişim)
Doğrusal fonksiyonların herhangi bir aralıktaki ortalama değişim hızı sabittir ve doğrunun eğimine eşittir. ndaki ortalama değişim hızı
ve
noktalarından geçen kesenin eğimine eşittir.
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLER
İkinci dereceden fonksiyonlar ve grafikleri konusundaki önemli kısımları özetledim.
İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyon Grafiğinin Çizimi
ve
olmak üzere
biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir.
Bu fonksiyonları sağlayan nin analitik düzlemde oluşturduğu noktalar kümesine ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiği denir.
Bu fonksiyonların grafiği paraboldür. Parabolde fonksiyonun artan olduğu aralıktan azalan olduğu aralığa geçtiği noktaya veya azalan olduğu aralıktan artan olduğu aralığa geçtiği noktaya tepe noktası denir. Tepe noktası ile gösterilir. f:
olmak üzere fonksiyon en küçük ya da en büyük değerini tepe noktasında alır.
parabolünün tepe noktasından geçen ve
eksenine dik olan doğruya simetri ekseni denir.
Fonksiyonunun Grafiği
biçimindeki fonksiyonun grafiğini (parabol) çizebilmek için parabolün eksenleri kestiği noktalar ve parabolün tepe noktası bulunur. Bu noktalar ardışık birleştirilerek parabolün grafiği çizilir.
a ise parabolün kolları yukarı,
ise parabolün kolları aşağı doğrudur.
– Parabolün eksenleri kestiği noktalar
c olduğundan parabol, y eksenini
noktasında keser.
olur. Bu durumda
ise parabol
eksenini farklı iki noktada keser.
ise parabol
eksenini kesmez.
ise parabol
eksenine teğettir.
– Parabolün tepe noktası
fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları
olmak üzere
ve
olur.
Sonuç olarak; fonksiyonunun tepe noktası
olmak üzere fonksiyon
biçiminde ifade edilir.
fonksiyonu için
doğrusu fonksiyonun simetri eksenidir.
fonksiyonu için
denkleminin kökleri
ve
ise tepe noktasının apsisi
olur.
Parabolün Denklemini Yazma
Parabolün grafiğine bağlı olarak denklem üç farklı duruma göre yazılabilir.
1. Biri y ekseni üzerinde olmak üzere parabolün herhangi üç noktası fonksiyonunda yerine yazılarak
katsayıları bulunur ve parabol denklemi elde edilir.
2. fonksiyonu için
denkleminin kökleri
ve
olsun. Bu durumda parabol denklemi
şeklinde yazılır.
noktaları dışında parabol üzerinde verilen üçüncü bir nokta yardımıyla a değeri bulunur ve parabol denklemi elde edilir.
3. Tepe noktasının koordinatları olsun. Parabolün üzerinde tepe noktası dışında ikinci bir nokta bilindiğinde bu noktalar
denkleminde yerine yazılarak a değeri bulunur ve parabol denklemi elde edilir.
Bir Doğru ile Bir Parabolün Durumu
parabolü ile
doğrusunun durumları incelenirken denklemlerin ortak çözümü yapılır. Bunun için her iki denklemde y değerleri birbirine eşitlenir.
iki denklemin ortak çözümüyle ulaşılan denkleme ortak çözüm denklemi denir. Bulunan ortak çözüm iki denklemin diskrimantı için;
1. ise, Ortak çözüm denkleminin kökü yoktur. O hâlde parabol ile doğru kesişmez.
2. ise
Ortak çözüm denkleminin birbirine eşit iki kökü vardır. O hâlde doğru, parabole teğettir.
3. ise,
Ortak çözüm denkleminin farklı iki reel kökü vardır. O hâlde parabol ile doğru farklı iki noktada kesişir.
Fonksiyonların Dönüşümleri
Tek ve çift fonksiyonların grafiklerinin simetri özelliklerindeki vefonksiyon dönüşümlerindeki önemli yerleri kısaca özetledim.
Tek ve Çift Fonksiyonların Grafiklerinin Simetri Özellikleri
Çift fonksiyonların grafikleri y-eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri orjine göre simetriktir.
Bir fonksiyon tek fonksiyon ise orjine göre simetriktir. Bir fonksiyon orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
Fonksiyonların Dönüşümleri
fonksiyonunun grafiğinde
ise
fonksiyonunun grafiği
birim yukarı,
ise
fonksiyonunun grafiği
birim aşağı ötelenerek
fonksiyonunun grafiği elde edilir.
fonksiyonunda a pozitif ise
fonksiyonun grafiği a birim sağa, a negatif ise
fonksiyonu
birim sola ötelenir.
parabolünde k değeri mutlak değer olarak arttıkça
parabolünün kolları arasındaki açıklık daralmaktadır. k değeri mutlak değer olarak küçüldükçe parabolün kolları arasındaki açıklık artmaktadır.
bir parabol olmak üzere
in grafiğinin kolları arasındaki açıklık
in kolları arasındaki açıkıığın
katına eşittir.
foksiyonunun grafiği ile
fonksiyonunun grafiği x eksenine göre simetriktir.
ile
’in grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Fonksiyonlarla İlgili Terimler ve Kavramlar
Fonksiyonlarda uygulama konusunda bahsettiğimiz kavramlar;
- Ortalama değişme hızı
- İkinci dereceden fonksiyonlar
- Tepe noktası
- Parabol
- Simetri ekseni
- Öteleme
- Simetri
- Dönüşüm
- Tek fonksiyon
- Çift fonksiyon