FONKSİYONLAR Özet Konu Anlatımı - 10. Sınıf

10. Sınıf Fonksiyonlar konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Konuyu anladığınızı kontrol etmek için yazının altında yer alan listeye bakmanızı öneririm. Sorularınızı, soru sor sayfasından sorabilirsiniz.

Başlıklar

Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi

Fonksiyonların nasıl gösterildikleri ve nasıl okunduklarını anlattım. “f” fonksiyonu genel olarak fonksiyon adı olarak kullanılır. Bir fonksiyon “f” harfiyle adlandırılsa da “g” gibi başka harflerle de farklı bir fonksiyon olduğunu ifade etmek için adlandırılabilir. Genel tutum, “f” “g” gibi harflerle adlandırmak olsa bile istediğiniz bir harfle de bir fonksiyonu adlandırabilirsiniz.

$f: A \rightarrow B$
A kümesinden B kümesine, bir $f(A)$ fonksiyonu tanımlanırsa diye gösterilir ve okunur.
$f(x)=y$
$f$ fonksiyonu içerisinde x girerse y çıkar şeklinde gösterilir ve f içerisinde x eşittir y olarak okunur.
$f+g$
f fonksiyonu ile g fonksiyonunun toplamı şeklinde gösterilir ve okunur.
$f-g$
f fonksiyonu ile g fonksiyonunun farkı şeklinde gösterilir ve okunur.
$f \cdot g$
f fonksiyonu ile g fonksiyonunun çarpımı şeklinde gösterilir ve okunur.
$\frac{f}{g}$
f fonksiyonunun g fonksiyonunu bölümü şeklinde gösterilir ve okunur.
$I$
Birim fonksiyonunun kısaltması, $I$ şeklinde gösterilir ve okunur.

Fonksiyonlarla İlgili Problemler

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir. Fonksiyonlar genellikle f, h, g gibi sembollerle gösterilir.

Bir A kümesinden B kümesine tanımlı f fonksiyonu $f: A \rightarrow B$ ile gösterilir. A kümesine tanım kümesi, B kümesine değer kümesi denir. A dan A ya tanımlı bir fonksiyona kısaca A da tanımlı fonksiyon da denilebilir. f fonksiyonu A kümesinden alınan bir x elemanını B kümesindeki bir y elemanı ile eşliyor ise x elemanının f altındaki görüntüsü y elemanıdır denir. Bu durum y = f(x) biçiminde gösterilir.

$f:A\rightarrow B$ olmak üzere tanım kümesindeki elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye bu fonksiyonun görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi ortak özellik yöntemi ile $\mathrm{f}(\mathrm{A})={\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mid \mathrm{x} \in \mathrm{A}}$ olarak ifade edilir.

Fonksiyonun tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi

Tanım kümesinde boşta kalan herhangi bir eleman olmadığından ve tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde yalnız bir elemanla eşlendiğinden $f$ bir fonksiyondur.
$f$ fonksiyonunun tanım kümesi $A={a, b, c, c ̧}$ , değer kümesi $B={2,4,6,8}$ , görüntü kümesi $f(A)={2,4,6}$ ve $\mathrm{f}(\mathrm{A}) \subseteq \mathrm{B}$ olur.
a elemanının f altındaki görüntüsü 2 olup $f(a)=2$ olarak ifade edilir. Benzer şekilde $f(b)=4, f(c)=6$ ve $f(c ̧)=6$ olur.
$f$ fonksiyonu sıralı ikililer kullanılarak $f={(a, 2),(b, 4),(c, 6),(c, 6)}$ biçiminde de gösterilebilir.

A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere $s(A)=m$ ve $s(B)=n$ ise A kümesinden B kümesine tanımlı fonksiyon sayısı $n^m$ dir.

$f$ içine fonksiyon şeması

A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, $f: A \rightarrow B$ şeklinde tanımlanan $f$ fonksiyonu için $f(A) \ne B$ olduğuna göre (değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa) $f$ fonksiyonuna içine fonksiyon denir.
$f$ içine fonksiyon ise kısaca f içine denir. $f$ fonksiyonu içine fonksiyondur çünkü $f$ ‘nin görüntü kümesi {1, 2, 3, 4, 5} olup $f$ ‘nin değer kümesi olan {1, 2, 3, 4, 5, 6} ne eşit değildir.

Örten fonksiyon

A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, $f: A \rightarrow B$ tanımlanan $f$ fonksiyonu için $f(A) = B$ olduğuna göre (değer kümesindeki her elemana karşılık tanım kümesinde en az bir eleman varsa) $f$ fonksiyonuna örten fonksiyon denir. $f$ örten fonksiyon ise kısaca $f$ örtendir denir.
$f$ fonksiyonunun görüntü kümesi f(A)= { 1, 2, 3, 4} ve değer kümesi B = { 1, 2, 3, 4} olup f fonksiyonunun görüntü kümesi ile değer kümesi aynıdır. Bu yüzden $f$ örten fonksiyondur.

Bire bir örten fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere,
$f: A \rightarrow B$ tanımlanan $f$ fonksiyonu her x, y $\in$ A ve $x \ne y$ için $f(x) \ne f(y)$ ya da $f(x) = f(y)$ için $x = y$ oluyorsa bu fonksiyon bire bir fonksiyondur.
Bir fonksiyon hem bire bir hem de örten ise bu fonksiyona bire bir örten fonksiyon denir. $f$ fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

Eşit Fonksiyonlar

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere $f: A \rightarrow B$ , $g: A \rightarrow B$ tanımlanan $f$ ve $g$ fonksiyonları; $\forall x \in A$ için $f(x) = g(x)$ şeklinde yazılabiliyor ise bu fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve $f = g$ şeklinde gösterilir. Fonksiyonların eşit olması için tanım ve görüntü kümelerinin eşit olması, tanım kümesindeki her bir eleman için bu elemanların görüntülerinin de aynı olması gerekir.

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon

A boş kümeden farklı bir küme ve f, A dan A ya bir fonksiyon olmak üzere $\forall x \in A$ için $f(x)=x$ oluyorsa $f$ fonksiyonuna birim fonksiyon denir ve $I$ ile gösterilir.
Örneğin $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f$ birim fonksiyon olmak üzere;
– $f(7)=7$
– $f(\sqrt[3]{5}+2)=\sqrt[3]{5}+2$
– $f(a+4)=a+4$
– $f(x+10)=x+10$ olur.

Birim fonksiyon

Sabit Fonksiyon

A ve B boş olmayan kümeler ve $k \in B$ olmak üzere $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu verilsin. $\forall x \in A$ için $f(x)=k$ oluyorsa bu fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Sabit fonksiyon

$f$ fonksiyonu için $f: A \rightarrow B, \forall x \in A$ olmak üzere $f(x)=3$ olur.
Örneğin $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{2}$ olmak üzere,
– $f(7)=\sqrt{2}$
– $f(\sqrt[3]{5}+2)=\sqrt{2}$
– $f(4)=\sqrt{2}$
– $f(x+10)=\sqrt{2}$ olur.
Tanımlı olduğu aralıkta $f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}$ biçiminde verilen $f(x)$ fonksiyonu sabit fonksiyon ise $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ eşitliği sağlanır.

Doğrusal Fonksiyon

$a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x+b$ biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. $f$ bir doğrusal fonksiyon ise grafiği bir doğrudur.

Tek Fonksiyon ve Çift Fonksiyon

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere $\forall x \in \mathbb{R}$ için,
$f(-x)=f(x)$ olan $f$ fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
$f(-x)=-f(x)$ olan $f$ fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

Parçalı Fonksiyon

Tanım kümesinin ayrık alt kümelerinde farklı kurallarla belirlenen fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyonlar ya da parçalı fonksiyonlar denir. Örneğin $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ olmak üzere

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x), a \leq x<b \text { ise } \\ h(x), b \leq x \leq c \text { ise } \\ r(x), c<x \leq d \text { ise }\end{array}\right.$

biçiminde olan ve $\mathrm{g}(\mathrm{x}), \mathrm{h}(\mathrm{x}), \mathrm{r}(\mathrm{x})$ fonksiyonlarından oluşan f fonksiyonuna parçalı fonksiyon denir. a, b, c ve d fonksiyonun kritik noktalarıdır.

$A \subseteq \mathbb{R}$ ve $B \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g: B \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonları için,
$f+g: A \cap B \rightarrow \mathbb{R}, f-g: A \cap B \rightarrow \mathbb{R} f+g$ ve $f-g$ fonksiyonları $\forall x \in A \cap B$ için
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ ve $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ şeklinde tanımlanır.

$A \subseteq \mathbb{R}$ ve $B \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g: B \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonları için
$f \cdot g: A \cap B \rightarrow \mathbb{R}, \frac{f}{g}: A \cap B \rightarrow \mathbb{R} f \cdot g$ ve $\frac{f}{g}$ fonksiyonları $\forall x \in A \cap B$ için
$(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$ ve $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},(g(x) \neq 0)$ şeklinde tanımlanır.
Ayrıca $c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $\forall x \in A$ için $(c \cdot f)(x)=c \cdot f(x)$ olarak tanımlanır.

Fonksiyonların Grafikleri

Fonksiyon grafikleri; doğrusal fonksiyonların ve parçalı fonksiyonların grafiklerinden oluşuyor. Burada doğrusal fonksiyon grafikleri özetlendi.

Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri

$a, b \in \mathbb{R}$ ve $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=a x+b$ fonksiyonunun grafiği dik koordinat sisteminde $y=a x+b$ doğrusunun grafiğini belirtir. Bir doğrunun grafiğini dik koordinat sisteminde çizmek için bu doğrunun geçtiği en az 2 noktaya ihtiyaç vardır. Dolayısıyla $y=a x+b$ denklemini sağlayan en az 2 tane $(x, y)$ sıralı ikilisi seçilip bu sıralı ikililer dik koordinat sisteminde işaretlenir ve işaretlenen noktalar bir doğru parçası oluşturacak şekilde birleştirilip doğru çizilir.

Grafiği Verilen Fonksiyonlar ile İlgili Problemler

Bir fonksiyon grafiğinde düşey/dikey doğru testi kullanılarak fonksiyonun x ekseni üzerinde tanımlı olduğu her bir noktadan y eksenine paralel çizilen doğrular, grafiği yalnızca bir noktada keser. Bu doğrular, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyonun grafiği değildir.

$f(x) = 0$ denkleminin çözüm kümesinin elemanlarından biri $x_1$ ise bu fonksiyonun grafiği ( $x_1$ , 0) noktasından geçer ve x eksenini ( $x_1$ , 0) noktasında keser. Bir fonksiyonun grafiğinde $f(x) = 0$ denkleminin çözüm kümesinin elemanlarına $f$ ‘in sıfırları denir. Grafik x eksenini kesmiyorsa $f(x) = 0$ denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur.

İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi

$fog$ ,
$f: A \rightarrow B$ ve $g: B \rightarrow C$ olması durumunda, A’dan C’ye doğru fonksiyona bileşke fonksiyonlar denir ve $fog$ gösterilir ve $f$ birleşke $g$ şeklinde okunur.

$f^{-1}$ ,
$f$ fonksiyonunun tersi şeklinde gösterilir ve okunur.

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

Fonksiyonun grafiğini kesecek şekilde x eksenine paralel doğrular çizilir. Bu paralel doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa, fonksiyon bire bir fonksiyondur denir ve yapılan bu işleme yatay doğru testi denir

Yatay doğru testinde, değer kümesinde yer alan her eleman tanım kümesindeki bir elemana karşılık geliyorsa fonksiyon örten fonksiyon, karşılık gelmiyorsa içine fonksiyondur.

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi

A, B, C boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, $f: A \rightarrow B$ , $g: B \rightarrow C$ fonksiyonları verilsin. A kümesinin elemanlarını $f$ ve $g$ fonksiyonları yardımıyla C kümesinin elemanları ile eşleştiren fonksiyona $f$ ile $g$ fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir ve $(gof) (x)$ şeklinde gösterilir. $f$ fonksiyonunun değer kümesi ile $g$ fonksiyonunun tanım kümesi eşittir.
$gof$ fonksiyonu $f$ ‘nin tanım kümesindeki herhangi bir x değerini, $g$ ‘nin değer kümesindeki $g(f(x))$ biçimindeki bir z ile eşler. Bu ifade sembollerle,
$f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ olmak üzere
$\text { gof }=\{(x, z) \mid x \in A \text { ve } z=g(f(x)) \in C\}$ biçiminde gösterilebilir.

Birleşke fonksiyon

Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği olmadığı için, $f$ ve $g$ fonksiyonu için $fog = gof$ olmak zorunda değildir.

Bir f fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi yine kendisidir yani $f$ fonksiyonudur.
$f oI = Io f = f$ olur.

Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. Bu özellik $fo (goh) = (fog) oh$ olarak ifade edilir.

$f: A \rightarrow B$ ve $g: B \rightarrow C$ fonksiyonları bire bir ise $gof$ $: A \rightarrow C$ fonksiyonu da bire birdir.

$f: A \rightarrow B$ ve $g: B \rightarrow C$ fonksiyonları örten ise $gof$ : $A \rightarrow C$ fonksiyonu da örtendir.

Fonksiyonun Tersi

$f: A \rightarrow B, y=f(x)$ bire bir ve örten fonksiyonu verilsin. $x \in A$ için $f(x)=y$ iken $f^{-1}(y)=x$ oluyorsa $f^{-1}$ fonksiyonuna $f$ fonksiyonunun tersi denir. $f^{-1}, B$ kümesinden $A$ kümesine tanımlı bir fonksiyondur.

Fonksiyonun tersi

$f: A \rightarrow B$ ye olmak üzere $y=f(x)$ bire bir ve örten ise $f(x)$ fonksiyonunun tersi de fonksiyon olur.
$f: A \rightarrow B$ ise $f^{-1}: B \rightarrow A$ olur.

Bir fonksiyonun tersinin kuralını bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir.
I. y = f(x) kuralında x yerine y, y yerine x yazılır.
II. Elde edilen eşitlikte y yalnız bırakılır.
III. Son eşitlikte y yerine $f^{-1}(x)$ yazılır.

Uygun tanım aralıklarına göre;
$f(x)=a x+b$ ise $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$ olur.
$f(x)=a x$ ise $f^{-1}(x)=\frac{x}{a}$ olur.
$f(x)=\frac{a x+b}{c}$ ise $f^{-1}(x)=\frac{c x-b}{a}$ olur.
$f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}$ ise $f^{-1}(x)=\frac{-d x+b}{c x-a}$ olur.

Uygun koşullarda tanımlı f, g ve $\mathrm{h}$ fonksiyonları için;
$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ olur.
$\left(\right.$ fof $\left.^{-1}\right)=\left(f^{-1}\right.$ of $)=I$ olur ( $I$ , birim fonksiyondur).
$(f \circ g)^{-1}=g^{-1}$ of $^{-1}$ olur.
$f=g \Rightarrow f o h= goh$ veya $hof = hog$ olur.