DOĞRUSAL DENKLEMLER Konu Anlatımı Özeti – 8. Sınıf

8. Sınıf Doğrusal Denklemler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, bir bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin en yüksek derecesinin bir olduğu denklemlerdir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genellikle “ax + b = c” eklinde yazılan denklemlerdir, burada “a” gerçek bir sayı olup sıfırdan farklıdır, “x” ise bilinmeyen değişkendir. Bu denklemlerde, bilinmeyenin en yüksek derecesi 1’dir.

Bu tür denklemleri çözmek için bazı temel adımları izleyebiliriz. İşte bu adımları sıralayalım:

  1. Denklemi inceleyin ve bilinmeyenin katsayısını (a) ve sabit terimi (b) belirleyin.
  2. Eğer mümkünse, denklemi basitleştirin veya terimleri düzenleyin.
  3. İki tarafı da etkilemeksizin denklemin her iki tarafına aynı işlemi uygulayarak bilinmeyeni izole edin. Örneğin, denklemdeki sabit terimi diğer tarafa taşıyabilir veya katsayıyla bölebilirsiniz.
  4. İzole edilmiş bilinmeyenin değerini bulun.
  5. Bulduğunuz değeri denklemde kontrol edin. Eşitlik sağlanıyorsa, doğru cevabı bulmuşsunuz demektir.

Örnek bir denklem üzerinden ilerleyelim: 2x + 3 = 7
Bu denklemde, bilinmeyenin katsayısı 2, sabit terim 3 ve sağ tarafta ise 7 bulunuyor. İlk adımı tamamladık.
İkinci adımda, denklemi basitleştirebiliriz: 2x = 7-3 2x=4
Üçüncü adımda, her iki tarafı da etkilemeksizin denklemin her iki tarafına aynı işlemi uygulayarak bilinmeyeni izole edelim. Bu durumda, her iki tarafı da 2 ile bölebiliriz: x = 2
Dördüncü adımda, bilinmeyenin değerini bulduk: x = 2.
Beşinci adımda, bulduğumuz değeri denklemde kontrol ederiz: 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7. Eşitlik sağlanıyor, yani doğru cevabı bulduk!

Katsayıları rasyonel ifadelere sahip denklemleri çözerken, aşağıdaki adımlardan yararlanabiliriz:

  1. Payda Eşitleme: Eğer denklemin katsayılarında farklı paydalar varsa, denklemdeki her terimi paydaları eşitleriz. Böylece denklemin katsayıları daha kolay işlenebilir hale gelir.
  2. Genişletme: Denklemin her iki tarafını da katsayıların paydalarını ortak payda yapacak şekilde genişletebiliriz. Böylece denklemdeki rasyonel ifadeleri daha kolay işleyebiliriz.
  3. Sadeleştirme: Genişletme adımından sonra, denklemdeki terimleri sadeleştirerek basitleştirebiliriz. Benzer terimleri toplayabilir veya çıkarabiliriz.
  4. İçler Dışlar Çarpımı: Eğer denklemin içinde rasyonel ifadeler varsa, bu ifadeleri içler dışlar çarpımını kullanırız. İçler dışlar çarpımı, iki veya daha fazla rasyonel ifadeyi çarparak daha basit bir ifade elde etmemizi sağlar.

Bir denklemin çözümü olması için, denklemin bilinmeyeni olan x’in belli bir değeri için eşitliğin geçerli olması gerekmektedir. Eğer hiçbir x değeri için eşitlik sağlanmıyorsa, denklemin çözümü yoktur.
Örneğin, x + 5 = x + 7 denklemini ele alalım. Herhangi bir x değeri için bu denklem geçerli olmadığından, denklemin çözümü yoktur.

Bir denklemde bilinmeyene verilen her değer için eşitlik sağlanıyorsa bilinmeyenin aldığı bütün değerler denklemin çözümüdür. Bu tür denklemler aynı zamanda birer özdeşliktir.
Öte yandan, 2x = 2x denklemi, bilinmeyenin herhangi bir değeri için eşitliği sağlar. Bu durumda, denklemin çözümü vardır ve denklem bir özdeştir.

Koordinat Sistemi

Koordinat sistemi, sayı doğrusunun 0 noktasında birbirleriyle dik olarak kesişen eksenlerin oluşturduğu bir sistemdir. Bu sistemde, başlangıç noktasına “orijin” denir. Yatay doğruya “x ekseni” ve dikey doğruya “y ekseni” adı verilir.

Koordinat Sistemi

Eksenler, koordinat sistemi içinde dört bölge oluşturur:

  1. bölgede, noktaların x koordinatı pozitif (+) ve y koordinatı pozitiftir (+).
  2. bölgede, noktaların x koordinatı negatif (-) ve y koordinatı pozitiftir (+).
  3. bölgede, noktaların x koordinatı negatif (-) ve y koordinatı negatiftir (-).
  4. bölgede, noktaların x koordinatı pozitif (+) ve y koordinatı negatiftir (-).

Koordinat sisteminde bir noktanın konumu belirtilmek istendiğinde, A(x, y) şeklinde ifade edilir. Burada, sıralı ikilinin birinci elemanı x ekseninden, ikinci elemanı ise y ekseninden seçilir.
Örneğin, noktanın konumu A(3, 2) olarak verildiğinde, bu nokta x ekseninde 3 birim sağda, y ekseninde ise 2 birim yukarıdadır.

Doğrusal İlişkiler

Doğrusal denklemler, genel olarak ax + by + c = 0 şeklinde ifade edilir, burada a, b ve c gerçek sayılar ve a veya b sıfırdan farklıdır. Bu denklemlerde x değişkeni bağımsız değişken olarak kabul edilir, çünkü ona herhangi bir değer atayabiliriz. Bu durumda, y değişkeni bağımlı değişken olarak kabul edilir çünkü x’e atanan değere bağlı olarak y değişkeni farklı değerler alır.

Doğrusal denklemler, genellikle düz çizgileri temsil eder ve iki boyutlu bir koordinat sistemi içinde grafik olarak çizilebilirler. Denklemin katsayıları olan a, b ve c değerleri, denklemin hangi doğruyu temsil ettiğini belirler.

Doğrusal Denklemlerin Grafiği

a sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere y = a şeklindeki doğrular x eksenine paraleldir. Bu ifadede a = 0 ise y = 0 olur ve bu doğru x eksenini belirtir. b sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere x = b şeklindeki doğrular y eksenine paraleldir. Bu ifadede b = 0 ise x = 0 olur ve bu doğru y eksenini belirtir.

a bir gerçek sayı olmak üzere y = ax şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri orijinden geçer.

a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere y = ax + b şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri:
+ orijinden geçmez.
+ eksenlere paralel değildir.

Özetlersek;
y = a şeklindeki doğrular, örneğin: y = 3 doğrusu x-eksenine paraleldir.
x = b şeklindeki doğrular, örneğin: x = -2 doğrusu y-eksenine paraleldir.
a bir gerçek sayı olmak üzere y = ax şeklindeki doğrular, örneğin: y = -2x doğrusu orjinden geçer.
a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere y = ax + b şeklindeki doğrular, örneğin: y = 2x + 4 doğrusu, x ve y eksenlerine paralel değildir ve orjinden geçmez.

Doğrusal İlişki İçeren Gerçek Hayat Durumları

a,b ve c gerçek sayı, a\neq 0 veya b\neq 0 ! olmak üzere ax + by + c = 0 formunda yazılan doğrusal denklemlerin grafikleri bir doğruyu temsil eder. Bu denklemler, iki değişkenli bir koordinat sistemi üzerinde çizilen doğruları ifade eder.

Doğrunun Eğimi

Eğim, bir doğrunun dikey uzunluğunun yatay uzunluğa oranıdır. Genellikle “m” harfi ile gösterilir.
m =\frac{\text { dikey uzunluk }}{\text { yatay uzunluk }}

Bir doğrunun eğiminin bulunması için farklı yöntemler kullanılır. m ve c birer gerçek sayı olmak üzere y = mx + c doğru denkleminden yararlanılır. Verilen doğru denklemine göre eğim = m’dir.
Örneğin; y = 3x + 8 denkleminde x’in katsayısı +3, denklemin eğimi ise +3’dür. Başka bir örnek verirsek; y = – 4x + 26 denkleminin eğimi ise -4’tür.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde x değişkenine bağlı olarak < (küçüktür), > (büyüktür), \leq (küçük veya eşit), \geq (büyük veya eşit) sembolleri kullanılır.

< (küçüktür) veya > (büyüktür) sembolleri kullanıldığında, sınır noktasının içi boş yapılır. Bu semboller, bir sayının diğer sayıdan daha küçük veya daha büyük olduğunu ifade eder.
\leq (küçük veya eşit) veya \geq (büyük veya eşit) sembolleri kullanıldığında, sınır noktasının içi dolu yapılır. Bu semboller, bir sayının diğer sayıdan küçük veya eşit, ya da daha büyük veya eşit olduğunu ifade eder.

  1. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı sayı ile toplandığında, eşitsizlik yön değiştirmez. Yani, iki tarafı da etkileyen toplama işlemi yapıldığında, eşitsizliğin yönü korunur.

Örnek: İlk eşitsizlik 3x < 7 olsun. Her iki tarafı da 2 ile topladığımızda, eşitsizlik şu şekilde değişir: 3x + 2 < 7 + 2. Yeni eşitsizlik 3x + 2 < 9 olarak elde edilir.

  1. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılırsa, eşitsizlik yön değiştirmez. Ancak, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılırsa, eşitsizlik yönü tersine döner.

Örnek 1: İkinci eşitsizlik 2x \leq 6 olsun. Her iki tarafı da 3 ile çarptığımızda, eşitsizlik şu şekilde değişir: 3(2x) \leq 3(6). Yeni eşitsizlik 6x \leq 18 olarak elde edilir.

Örnek 2: Üçüncü eşitsizlik -5x > 10 olsun. Her iki tarafı da -2 ile çarptığımızda, eşitsizlik şu şekilde değişir: -2(-5x) < -2(10). Yeni eşitsizlik 10x < -20 olarak elde edilir. Ancak, eşitsizliğin yönü tersine döndüğü için eşitsizlik şu şekilde yazılmalıdır: 10x > -20.

  1. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölündüğünde, eşitsizlik yön değiştirmez. Ancak, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde, eşitsizlik yönü tersine döner.

Örnek 1: Dördüncü eşitsizlik 4x \geq 12 olsun. Her iki tarafı da 2’ye böldüğümüzde, eşitsizlik şu şekilde değişir: \frac{4x}{2} \geq \frac{12}{2}. Yeni eşitsizlik 2x \geq 6 olarak elde edilir.

Örnek 2: Beşinci eşitsizlik -10x < 30 olsun. Her iki tarafı da -5’e böldüğümüzde, eşitsizlik şu şekilde değişir: \frac{-10x}{-5} > \frac{30}{-5}.

Bir Yorum Yazın

Yukarıdaki yazıyı nasıl buldunuz? Lütfen yorum yapın ve bizi değerlendirin.