DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER 5. Sınıf Konu Anlatımı Özeti

5. Sınıf Doğal Sayılarda İşlemler konusunu tekrar etmek için çok güzel özet konu anlatımı hazırladım. Sorularınızı, Soru Sor sayfasından sorabilirsiniz.

Doğal Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Toplama işlemi yaparken eksik olan toplananı bulmak için toplamdan diğer toplananı çıkarırız. Bu, toplama işlemlerinde sık kullanılan bir stratejidir.

Örneğin,
6 512 + = 10 585 verildiğinde yerine gelecek sayıyı bulmak için; 10 585 – 6 512 işlemi yapılır.

Çıkarma işleminde eksileni bulmak için fark ile çıkan sayı toplanır. Çıkan sayıyı bulmak için ise eksilenden fark çıkarılır. Bu, çıkarma işlemleri için yaygın bir stratejidir.

Örneğin,
– 4073 = 4096 verildiğinde yerine gelecek sayıyı bulmak için; 4096 + 4073 işlemi yapılır.
8169 – = 4096 verildiğinde yerine gelecek sayıyı bulmak için; 8169 – 4096 işlemi yapılır.

Tahmini işlemler yaparken, sayıları yuvarlama yöntemini kullanabiliriz. Yuvarlama, bir sayıyı daha yakın bir değere tahmin etmek veya işlem yapmak için kullanılır.
Yuvarlama yapılacak basamaktan bir önceki basamaktaki rakam 5 ve 5’ten büyükse yuvarlama yapılacak basamak 1 artırılır, rakam 5’ten küçükse yuvarlama yapılacak basamaktaki rakam aynı kalır. Yuvarlama yapılacak basamağın sağında kalan tüm basamaklara sıfır yazılır.

Örneğin,
sayısını onlar basamağına yuvarladığımızda, 3 < 5 olduğu için onlar basamağındaki rakam değişmez ve sağında kalan basamaklara sıfır yazılır.
Bu durumda, sayı olarak yuvarlanır.

sayısını yüzler basamağına yuvarladığımızda, 8 > 5 olduğu için yüzler  basamağındaki rakam 1artırılır ve sağında kalan basamaklara sıfır yazılır. Bu durumda sayı olarak yuvarlanır.

sayısını yüzler basamağına yuvarladığımızda, 8 = 5 olduğu için binler basamağındaki rakam 1artırılır ve sağında kalan basamaklara sıfır yazılır. Bu durumda sayı olarak yuvarlanır.

Toplama işlemi yapılırken aynı basamaklardaki rakamların toplanmasına dikkat etmek önemlidir. Bu, doğru sonuçlar elde etmek için gereklidir.

Toplama işlemi yaparken, her bir basamaktaki rakamların ilgili basamaklardaki rakamlarla toplanması gerekir.
Örneğin; 62134 ve 27513 sayılarını toplayalım.
1.Yol:

2. Yol:

Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Zihinden toplama işlemi için bazı yöntemler vardır. Bunlar:

1. Sayılardan birini onluklarına ve birliklerine ayırarak sırasıyla diğer sayıya ekleyebiliriz.
   Örneğin, 35 + 17 işlemini zihinden yapmak istediğimizde,
   35 sayısını 30 ve 5 olarak ayırırız.
   Ardından 30’u 17 ile toplarız (30 + 17 = 47).
   Son olarak, 47 sayısına 5’i ekleriz.
   Sonuç olarak, 35 + 17 = 52 olarak bulunur.
2. Zihinden toplama yaparken, sayılardan birini diğer sayının üzerine önce onar onar sayabiliriz, sonra kalan sayıyı ekleyebiliriz.
   Örneğin, 26 + 18 işlemini zihinden yapmak istediğimizde,
   26 sayısının üzerine 10 ekleyerek 36 elde ederiz, sonra 36 sayısına 8’ı ekleriz.
   Sonuç olarak, 26 + 18 = 44 olarak bulunur.
3. Sayılardan birini, 10 ve 10’un katlarına benzetmek için diğer sayıdan gerektiği kadar birlik alabiliriz.
   Örneğin, 52 sayısını 45 sayısı ile toplarsak
   52 sayısından 2 alarak 45 sayısı ile toplayalım.
   Sonra 52 – 2 çıkarırız ve 50 elde ederiz.
   Son olarak, 45 + 2 ekleriz ve 47 sayısını elde ederiz.
   Sonuç olarak, 50 + 47 = 97 olarak bulunur.
4. Zihinden işlem yaparken, işlemi kolaylaştırmak için toplanan sayıları gruplayabiliriz.
   Bunu yaparak, işlemi daha hızlı ve etkili bir şekilde yapabiliriz.
   Örneğin, 67 + 15 + 43 işlemini zihinden yapmak istediğimizde, toplanan sayıları gruplayarak başlayabiliriz.
   Bu durumda, 67’yi 60 + 7, 15’i 10 + 5 ve 43’ü de 40 + 3 olarak gruplayabiliriz.
   Bu durumda, işlemi şu şekilde yapabiliriz:
   60 + 40 = 100
   7 + 3 = 10
   100 + 10 + 5 = 115 Sonuç olarak, 67 + 15 + 43 = 125 olarak bulunur

Zihinden çıkarma işlemi için bazı yöntemler vardır. Bunlar:

1. Çıkan sayıyı onluklarına ve birliklerine ayırarak eksilenden sırasıyla çıkarabiliriz.
   Örneğin, 68 – 27 işlemini zihinden yapmak istediğimizde,
   68 sayısını 60 + 8 olarak, 27 sayısını da 20 + 7 olarak ayırırız.
   Ardından sırasıyla 60’tan 20’yi çıkarırız (60 – 20 = 40) ve 8’den 7’yi çıkarırız (8 – 7 = 1).
   Sonra bu iki sayıyı toplarız, yani 40 + 1 = 41 elde ederiz.
   Sonuç olarak, 68 – 27 = 41 olarak bulunur.
2. Zihinden çıkarma yaparken, çıkan sayıyı eksilen sayıdan onar onar azaltabiliriz.
   Örneğin, 93 – 48 işlemini zihinden yapmak istediğimizde,
   Çıkanı, 48 = 10 + 10 + 10 + 10 + 8 şeklinde yazalım ve sırasıyla eksilenden çıkaralım.
   93 – 10 = 83
   83 – 10 = 73
   73 – 10 = 63
   63 – 10 = 53
   53 – 8 = 45
   Sonuç olarak, 93 – 48 = 45 olarak bulunur.
3. Çıkan sayıyı eksilen sayıya tamamlayarak da çıkarma işlemini yapabiliriz.
   Bu durumda, eksilen sayıya eklediğimiz sayıların toplamı farkı oluşturur.
   Örneğin, 52 – 17 işlemini zihinden yapmak istediğimizde,
   17 + 10 = 27
   27 + 10 = 37
   37 + 10 = 47
   47 + 5 =52
   17 sayısına eklediğimiz; 10, 10, 10, 5 sayılarını toplarsak 35 sayısını elde ederiz. Sonuç olarak, 52 – 17 = 35 olarak buluruz.
4. Çıkarma işleminde eksilen ve çıkan sayılara aynı sayıyı eklemek sonucu değiştirmez.
   Örneğin, 56 – 19 işlemini zihinden yapmak istediğimizde,
   hem eksilen olan 56 sayısına hem de çıkan olan 19 sayısına 4 eklersek; 60 ve 23 sayılarını elde ederiz.
   60 – 23 = 37 ve 56 – 19 = 37 sayısını elde ederiz.

Buraya kadar özetlersek;

Zihinden toplama işlemi yapılırken	Zihinden çıkarma işlemi yapılırken
Toplananlardan biri onluklarına ve birliklerine ayrılarak diğeri ile toplanabilir.	Çıkan sayı onluklarına ve birliklerine ayrılarak eksilen sayıdan çıkarılabilir.
Toplananlardan biri diğerinin üzerine sayılabilir.	Eksilen sayı çıkan sayı kadar onar onar azaltılabilir.
Toplananlardan biri 10 veya 10’un katlarına göre parçalanabilir.	Çıkan sayı eksilen sayıya tamamlanabilir.
Üç veya daha fazla sayı toplanıyorsa kolay toplananları önce toplayıp bulunan sayı diğerleri ile toplanabilir.	Çıkan sayı 10’un bir katına benzetilerek çıkarma işlemi yapılabilir.

Doğal Sayılarla Çarpma İşlemi

Bir çarpma işleminde, çarpılan sayılara “çarpan” denirken, elde edilen sonuca da “çarpım” denir.

Çarpma işleminin sonucunu tahmin etmek için çarpanlardan biri ya da ikisi en yakın onluğa veya yüzlüğe yuvarlanabilir.

Bu yöntem, çarpma işlemi için tahmini bir sonuç elde etmek için kullanılabilir. Çünkü yuvarlama, sayıları daha kolay ve hızlı bir şekilde işlem yapılabilir hale getirir.

Bir sayıyı 10, 100 ve 1000 ile çarparken çarpanın sıfırları yokmuş gibi işlem yapılabilir ve sıfırlar işlemin sonucuna eklenir.
Bu yöntem, çarpanların sıfırlarını hesaplama sırasında dikkate almamızı gerektirmez, böylece işlemi daha kolaylaştırır. Sıfırlar daha sonra işlem sonucuna eklenir.
Örneğin, 25’i 1000 ile çarpmak istediğimizi düşünelim. İşlemi aşağıdaki gibi yapabiliriz:
25 x 1000 = 25,000

ÖRNEK SORU: 72 x 54 işleminin sonucunu tahmin edelim. Gerçek sonuçla tahminimiz arasındaki farkı bulalım.

ÇÖZÜM:
Bu işlemin sonucunu önce tahmin edelim. 72’yi yaklaşık 70 ve 54’ü yaklaşık 50 olarak düşünürsek, sonuç yaklaşık 70 x 50 = 3500 olur.
Ya da 72’yi yaklaşık 80 ve 54’ü yaklaşık 60 olarak düşündüğümüzde, sonuç yaklaşık 80 x 60 = 4800 olur. O hâlde sonucumuz 3500 ile 4800 arasındadır.

Çarpma işlemini farklı yollarla yapabiliriz.

Çözüm yolu 1:

1.Adım: Sayıları basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazalım.

2. Adım: Basamak değerlerini bir tablo şeklinde yazalım. Sayıların kesiştiği kutulara çarpımlarını yazalım.

3. Adım: Bulduğumuz sonuçları toplayarak işlemin sonucunu elde edelim

70 x 50 = 3500
70 x 4 = 280
50 x 2 = 100
4 x 2 = 8
3500 + 280 + 100 + 8 = 3888

Çözüm yolu 2:
Çarpımı basamak tablosu ile yapalım.

Çarpma işleminde de sayıları en yakın onluğa veya yüzlüğe yuvarlayarak tahmin yapabiliriz.

Yuvarlama, çarpma işlemi için tahmini sonuç elde etmek veya işlemi daha kolay yapmak için kullanılabilen bir yöntemdir.

Örneğin, 23 x 48 işlemini ele alalım.
İki sayıyı da en yakın onluğa yuvarlayarak tahmin yapabiliriz. Böylece, 23’i 20’ye ve 48’i 50’ye yuvarlayabiliriz. Sonra, yuvarlanmış sayıları çarparız: 20 x 50 = 1000. Bu, tahmini sonucu temsil eder.

Sayıları farklı basamaklara göre yuvarladığımızda, tahmin sonuçları farklılık gösterebilir. Bu, yuvarlama işleminin hassasiyetine ve kullanılan basamağa bağlıdır.

Sağdaki çarpma işleminde sıfır olan basamaklar atlanabilir ve bir sonraki basamaktaki çarpma işlemine devam edilebilir.
Çarpma işlemi sırasında, sıfır olan basamaklar genellikle sonucu etkilemez ve atlanabilir. Çünkü sıfır ile çarpma işlemi sonucunda her zaman sıfır elde edilir.

Zihinden Çarpma İşlemi

Zihinden çarpma işlemi yaparken bazı kolaylaştırıcı yöntemler kullanılabilir.

1. 5 ile zihinden çarpma işlemi yapılırken sayı 10 ile çarpıldıktan sonra 2’ye bölünerek sonuç bulunabilir.
   Örneğin, 5 ile 8’i çarpmak istediğimizde, 8’i 10 ile çarparız ve sonucu elde ederiz: 8 x 10 = 80.
   Ardından, bu sonucu 2’ye böleriz: 80 / 2 = 40.
   Böylece, 5 ile 8’in çarpımı 40 olarak bulunur.
2. 8 ile zihinden çarpma işlemi yaparken sayının üç defa iki katı alınarak sonuç bulunabilir.
   Örneğin, 8 ile 7’yi çarpmak istediğimizde, 7’nin iki katını alırız: 7 x 2 = 14.
   Sonra bu sonucu üç defa tekrarlarız: 14 x 3 = 42.
   Böylece, 8 ile 7’nin çarpımı 42 olarak bulunur.
3. 9 ile zihinden çarpma işlemi yaparken, sayı önce 10 ile çarpılır, ardından bu sonuçtan sayının kendisi bir kez çıkarılarak sonuç bulunabilir.
   Örneğin, 9 ile 6’yı çarpmak istediğimizde, 6’yı 10 ile çarparız ve sonucu elde ederiz: 6 x 10 = 60.
   Daha sonra, bu sonuçtan 6’yı bir kez çıkarırız: 60 – 6 = 54.
   Böylece, 9 ile 6’nın çarpımı 54 olarak bulunur.
4. Çarpma işleminde, çarpanlardan birinin onluk ve birliklerine ayrılarak sırasıyla diğer sayı ile çarpılıp bulunan sonuçların toplanmasıyla işlem yapılabilir.
   Bu yöntem, çarpma işlemini basitleştirmek ve kolaylaştırmak için kullanılan bir stratejidir.
   Örneğin, 32 x 6 işlemini ele alalım.
   Burada, 32 sayısını onlar basamağındaki 3 ve birler basamağındaki 2 olarak ayırabiliriz.
   Daha sonra, bu iki basamağı sırasıyla 6 ile çarparız: 30 x 6 = 180 ve 2 x 6 = 12.
   Son olarak, bu iki sonucu toplarız: 180 + 12 = 192.
   Böylece, 32 x 6 işleminin sonucu 192 olarak bulunur.
5. En az biri çift sayı olan iki doğal sayıyı zihinden çarpmak için, çift sayının yarısı ile diğer sayının iki katı alınarak çarpma işlemi yapılabilir.
   Örneğin: 21 x 6 işlemini zihinden yapalım.
   Bu çarpma işlemini, çarpanlardan birinin yarısını diğerinin 2 katını alarak yapabiliriz.
   
   
   Bu işlemlerden elde edilen iki sonucu birbiriyle çarparsak, 42 x 3 = 126 sayısını elde etmiş oluruz.
   21 x 6 = 126’dır.

Problem Çözme

Problemleri çözerken her zaman belirli bir adım takip etmek zorunda olmayız, ancak genellikle bu adımlar problem çözme sürecini daha düzenli ve etkili hale getirebilir.

1. Problemi Anlama: İlk adım, problemi dikkatlice okumak ve anlamaktır. Verilenleri ve istenenleri anlamak önemlidir. Sorunun tam olarak ne olduğunu ve ne yapmamız gerektiğini anlamak için problemi analiz etmek gerekir.
2. Plan Yapma: İkinci adımda, problemi çözmek için bir plan yapmak gerekir. Bu, problemi çözmek için uygun bir yöntem veya strateji belirlemeyi içerir. Matematik problemlerinde kullanılabilecek farklı yöntemler vardır ve en uygun olanını seçmek önemlidir.
3. Planı Uygulama: Üçüncü adımda, belirlenen planı uygulamaya başlarız. Yani, problemi çözmek için adım adım planı takip ederiz. İşlemleri yaparız, hesaplamaları yaparız ve verilenleri kullanarak sorunun çözümüne ilerleriz.
4. Kontrol Etme: Son adım, bulunan sonucun doğruluğunu kontrol etmektir. Bu, farklı yöntemlerle veya başka bir şekilde eldeki verilerle sonucu doğrulamayı içerir. Eğer mümkünse, problemi farklı bir şekilde çözerek sonucu teyit edebiliriz.

Bu adımlar, problem çözme sürecini daha sistematik ve anlaşılır hale getirir. Ancak, her problem için aynı adımları takip etmek zorunlu değildir. Bazı basit problemlerde doğrudan çözüme geçilebilir veya farklı bir yaklaşım kullanılabilir. Önemli olan, problemi anlamak, bir plan yapmak, planı uygulamak ve sonucu doğrulamaktır.

Doğal Sayılarla Bölme İşlemi

Doğal sayılarda bölme işlemi, bir sayıyı başka bir sayıya eşit parçalara bölmek veya bir sayıyı başka bir sayıya eşit parçalar halinde dağıtmak için kullanılan bir matematiksel işlemdir.

Bir bölme işleminde bölüneni bulmak için bölen ve bölüm çarpılır ve bulunan sonuç kalan ile toplanır.
Ayrıca, bir sayıyı 10, 100 ve 1000 ile bölerken, bölünen sayıdan bölen sayının sıfırları kadar sıfır silinir.
Örneğin, 3000’i 10 ile bölmek istediğimizde, bölen sayısı 10 olduğu için bölünen sayıdan bir sıfır silinir. Bu durumda, 3000 / 10 = 300 olur.

Bölme işleminde, bölünen sayı bölenden küçüktür. Yani, bir sayıyı başka bir sayıya böldüğümüzde sonuç, bölünen sayıdan daha küçük olur.

Bir bölme işleminde, eğer bölme işlemi sonucunda kalan varsa, bu işlem “kalanlı bölme işlemi” olarak adlandırılır.
Örneğin: 184 sayısını 12’ye bölersek kalan 4 olur. Yani, bölme işlemi kalanlı bir bölme işlemidir

Çarpma işlemlerinde, verilmeyen çarpanı bulmak için çarpımı, verilen çarpana bölebiliriz.

Kalanlı Bölme

Bazen bölme işleminde kalan ihmal edilebilir

Bir bölme işleminde kalan kesir olarak belirtilebilir.
Örneğin; Pikniğe giden 4 aile, 21 tane elma eşit şekilde paylaşacaklardır. Her aileye kaç elma düşeceğini bulalım.
ÇÖZÜM: Verilen bilgilere göre, 4 aile toplamda 21 elmayı eşit şekilde paylaşacak. Bu durumda, her aileye düşen elma sayısını bulmak için bölme işlemi yapabiliriz.
21 sayısını 4’e bölelim: 21 / 4
Her aileye eşit sayıda elma düşeceği için beşer elma alırlar. Kalan 1 elma çeyrek olarak bölüştürülebilir. Bu durumda aile başı 5 tam ve bir çeyrek ( 1/4 ) elma düşer.

Bir sayıyı 5 ile bölerken, sayıyı önce 2 ile çarparız ve ardından elde edilen sonucu 10’a bölebiliriz. Bu yöntemi kullanarak, bir sayının 5 ile bölünme işlemini daha kolay yapabiliriz.
Örnek olarak, 30’u 5 ile bölmek istediğimizi düşünelim. Bu durumda, sayıyı önce 2 ile çarparız: 30 x 2 = 60. Sonra, 60’ı 10’a böleriz: 60 / 10 = 6. Sonuç olarak, 30’u 5 ile bölerken, 6 elde ederiz.

Bir Sayının Karesi ve Küpü

Bir sayının kendisiyle çarpımını kısa yoldan üslü ifade olarak gösterebiliriz.

Örnek: 4’ün kendisiyle çarpımını üslü ifade olarak gösterelim. Bu durumda, şeklinde yazılır. Yani, 4’ün kendisiyle çarpımı şeklinde ifade edilir.

gibi gösterimler “üslü gösterim” ya da “üslü ifade” olarak adlandırılır

Bir sayının kendisiyle çarpımı, o sayının “karesi” olarak ifade edilir.
Örneğin, ifadesi “dokuzun karesi” olarak okunur. Burada 9, taban sayısıdır ve üs sembolü ile ifade edilen 2, taban sayısının kendisiyle çarpımının kaç kez yapıldığını belirtir. Dolayısıyla ifadesi, 9’un kendisiyle çarpımının iki kez yapıldığını ve sonucunun 81 olduğunu gösterir. Bu durumda, “dokuzun karesi” 81 olarak ifade edilir.

Bir sayının kendisiyle iki kere çarpımı, o sayının “küpü” olarak ifade edilir.
Örneğin, ifadesi “üçün küpü” olarak okunur. Burada 3, taban sayısıdır ve  üs sembolü ile ifade edilen 3, taban sayısının kendisiyle çarpımının iki kez yapıldığını belirtir. Dolayısıyla ifadesi, 3’ün kendisiyle çarpımının iki kez yapıldığını ve sonucunun 27 olduğunu gösterir. Bu durumda, “üçün küpü” 27 olarak ifade edilir.

Parantezli İşlemler

Birden fazla işlemin olduğu durumlarda parantez varsa, öncelikle parantezin içindeki işlem yapılır.

Parantezler, matematiksel ifadelerde belirli bir işlem önceliği sağlamak için kullanılır. Parantez içindeki işlemler, diğer işlemlerden önce gerçekleştirilir.

Örneğin, (3 + 5) x 2 ifadesinde, parantez içindeki işlem olan 3 + 5 toplama işlemi yapılır. Sonuç olarak 8 elde edilir. Daha sonra bu sonuç, 2 ile çarpılır. Yani, (3 + 5) x 2 = 8 x 2 = 16 şeklinde hesaplama yapılır.